微积分学示例

$2 \frac{d y}{d x} = \frac{7 x^{3}}{y}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $y$ 。

$y (2 \frac{d y}{d x}) = y \frac{7 x^{3}}{y}$

解题步骤 1.2

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

约去公因数。

$y (2 \frac{d y}{d x}) = y \frac{7 x^{3}}{y}$

解题步骤 1.2.2

重写表达式。

$y (2 \frac{d y}{d x}) = 7 x^{3}$

解题步骤 1.3

去掉多余的括号。

$y \cdot 2 \frac{d y}{d x} = 7 x^{3}$

解题步骤 1.4

重写该方程。

$y \cdot 2 d y = 7 x^{3} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int y \cdot 2 d y = \int 7 x^{3} d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

将 $2$ 移到 $y$ 的左侧。

$\int 2 y d y = \int 7 x^{3} d x$

解题步骤 2.2.2

由于 $2$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int y d y = \int 7 x^{3} d x$

解题步骤 2.2.3

根据幂法则， $y$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{2} y^{2}$ 。

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int 7 x^{3} d x$

解题步骤 2.2.4

化简答案。

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解题步骤 2.2.4.1

将 $2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ 重写为 $2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ 。

$2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int 7 x^{3} d x$

解题步骤 2.2.4.2

化简。

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解题步骤 2.2.4.2.1

组合 $2$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{2}{2} y^{2} + C_{1} = \int 7 x^{3} d x$

解题步骤 2.2.4.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.4.2.2.1

约去公因数。

$\frac{2}{2} y^{2} + C_{1} = \int 7 x^{3} d x$

解题步骤 2.2.4.2.2.2

重写表达式。

$1 y^{2} + C_{1} = \int 7 x^{3} d x$

解题步骤 2.2.4.2.3

将 $y^{2}$ 乘以 $1$ 。

$y^{2} + C_{1} = \int 7 x^{3} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $7$ 移到积分外。

$y^{2} + C_{1} = 7 \int x^{3} d x$

解题步骤 2.3.2

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$y^{2} + C_{1} = 7 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2})$

解题步骤 2.3.3

化简答案。

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解题步骤 2.3.3.1

将 $7 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2})$ 重写为 $7 (\frac{1}{4}) x^{4} + C_{2}$ 。

$y^{2} + C_{1} = 7 (\frac{1}{4}) x^{4} + C_{2}$

解题步骤 2.3.3.2

组合 $7$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$y^{2} + C_{1} = \frac{7}{4} x^{4} + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$y^{2} = \frac{7}{4} x^{4} + K$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \pm \sqrt{\frac{7}{4} x^{4} + K}$

解题步骤 3.2

化简 $\pm \sqrt{\frac{7}{4} x^{4} + K}$ 。

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解题步骤 3.2.1

组合 $\frac{7}{4}$ 和 $x^{4}$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{7 x^{4}}{4} + K}$

解题步骤 3.2.2

要将 $K$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{7 x^{4}}{4} + K \cdot \frac{4}{4}}$

解题步骤 3.2.3

化简项。

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解题步骤 3.2.3.1

组合 $K$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{7 x^{4}}{4} + \frac{K \cdot 4}{4}}$

解题步骤 3.2.3.2

在公分母上合并分子。

$y = \pm \sqrt{\frac{7 x^{4} + K \cdot 4}{4}}$

解题步骤 3.2.4

将 $4$ 移到 $K$ 的左侧。

$y = \pm \sqrt{\frac{7 x^{4} + 4 K}{4}}$

解题步骤 3.2.5

将 $\frac{7 x^{4} + 4 K}{4}$ 重写为 ${(\frac{1}{2})}^{2} (7 x^{4} + 4 K)$ 。

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解题步骤 3.2.5.1

从 $7 x^{4} + 4 K$ 中因式分解出完全幂数 $1^{2}$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (7 x^{4} + 4 K)}{4}}$

解题步骤 3.2.5.2

从 $4$ 中因式分解出完全幂数 $2^{2}$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (7 x^{4} + 4 K)}{2^{2} \cdot 1}}$

解题步骤 3.2.5.3

重新整理分数 $\frac{1^{2} (7 x^{4} + 4 K)}{2^{2} \cdot 1}$ 。

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (7 x^{4} + 4 K)}$

解题步骤 3.2.6

从根式下提出各项。

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{7 x^{4} + 4 K}$

解题步骤 3.2.7

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\sqrt{7 x^{4} + 4 K}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{7 x^{4} + 4 K}}{2}$

解题步骤 3.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.3.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$y = \frac{\sqrt{7 x^{4} + 4 K}}{2}$

解题步骤 3.3.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$y = - \frac{\sqrt{7 x^{4} + 4 K}}{2}$

解题步骤 3.3.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$y = \frac{\sqrt{7 x^{4} + 4 K}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{7 x^{4} + 4 K}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{7 x^{4} + 4 K}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{7 x^{4} + 4 K}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{7 x^{4} + 4 K}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{7 x^{4} + 4 K}}{2}$

解题步骤 4

化简积分常数。

$y = \frac{\sqrt{7 x^{4} + K}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{7 x^{4} + K}}{2}$

微积分学 示例

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