微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x^{2}}{9 y^{2} - 4}$ , $y (2) = 0$

解题步骤 1

分离变量。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

两边同时乘以 $9 y^{2} - 4$ 。

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = (9 y^{2} - 4) \frac{6 x^{2}}{9 y^{2} - 4}$

解题步骤 1.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1.1

将 $9 y^{2}$ 重写为 ${(3 y)}^{2}$ 。

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = (9 y^{2} - 4) \frac{6 x^{2}}{{(3 y)}^{2} - 4}$

解题步骤 1.2.1.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = (9 y^{2} - 4) \frac{6 x^{2}}{{(3 y)}^{2} - 2^{2}}$

解题步骤 1.2.1.3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 3 y$ 和 $b = 2$ 。

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = (9 y^{2} - 4) \frac{6 x^{2}}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$

解题步骤 1.2.2

将 $9 y^{2} - 4$ 乘以 $\frac{6 x^{2}}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$ 。

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = \frac{(9 y^{2} - 4) (6 x^{2})}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$

解题步骤 1.2.3

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.3.1

将 $9 y^{2}$ 重写为 ${(3 y)}^{2}$ 。

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = \frac{({(3 y)}^{2} - 4) \cdot 6 x^{2}}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$

解题步骤 1.2.3.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = \frac{({(3 y)}^{2} - 2^{2}) \cdot 6 x^{2}}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$

解题步骤 1.2.3.3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 3 y$ 和 $b = 2$ 。

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = \frac{(3 y + 2) (3 y - 2) \cdot 6 x^{2}}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$

解题步骤 1.2.4

约去 $3 y + 2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.4.1

约去公因数。

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = \frac{(3 y + 2) (3 y - 2) \cdot 6 x^{2}}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$

解题步骤 1.2.4.2

重写表达式。

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = \frac{(3 y - 2) \cdot 6 x^{2}}{3 y - 2}$

解题步骤 1.2.5

约去 $3 y - 2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.5.1

约去公因数。

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = \frac{(3 y - 2) \cdot 6 x^{2}}{3 y - 2}$

解题步骤 1.2.5.2

用 $6 x^{2}$ 除以 $1$ 。

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = 6 x^{2}$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$(9 y^{2} - 4) d y = 6 x^{2} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int 9 y^{2} - 4 d y = \int 6 x^{2} d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 9 y^{2} d y + \int - 4 d y = \int 6 x^{2} d x$

解题步骤 2.2.2

由于 $9$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $9$ 移到积分外。

$9 \int y^{2} d y + \int - 4 d y = \int 6 x^{2} d x$

解题步骤 2.2.3

根据幂法则， $y^{2}$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{3} y^{3}$ 。

$9 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1}) + \int - 4 d y = \int 6 x^{2} d x$

解题步骤 2.2.4

应用常数不变法则。

$9 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1}) - 4 y + C_{2} = \int 6 x^{2} d x$

解题步骤 2.2.5

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.5.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $y^{3}$ 。

$9 (\frac{y^{3}}{3} + C_{1}) - 4 y + C_{2} = \int 6 x^{2} d x$

解题步骤 2.2.5.2

化简。

$3 y^{3} - 4 y + C_{3} = \int 6 x^{2} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

由于 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $6$ 移到积分外。

$3 y^{3} - 4 y + C_{3} = 6 \int x^{2} d x$

解题步骤 2.3.2

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$3 y^{3} - 4 y + C_{3} = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4})$

解题步骤 2.3.3

化简答案。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.3.1

将 $6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4})$ 重写为 $6 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$ 。

$3 y^{3} - 4 y + C_{3} = 6 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

解题步骤 2.3.3.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.3.2.1

组合 $6$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$3 y^{3} - 4 y + C_{3} = \frac{6}{3} x^{3} + C_{4}$

解题步骤 2.3.3.2.2

约去 $6$ 和 $3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.3.2.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 y^{3} - 4 y + C_{3} = \frac{3 \cdot 2}{3} x^{3} + C_{4}$

解题步骤 2.3.3.2.2.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.3.2.2.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 y^{3} - 4 y + C_{3} = \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} x^{3} + C_{4}$

解题步骤 2.3.3.2.2.2.2

约去公因数。

$3 y^{3} - 4 y + C_{3} = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} x^{3} + C_{4}$

解题步骤 2.3.3.2.2.2.3

重写表达式。

$3 y^{3} - 4 y + C_{3} = \frac{2}{1} x^{3} + C_{4}$

解题步骤 2.3.3.2.2.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$3 y^{3} - 4 y + C_{3} = 2 x^{3} + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$3 y^{3} - 4 y = 2 x^{3} + K$

解题步骤 3

使用初始条件，通过将 $2$ 代入 $x$ ，将 $0$ 代入 $y$ ，在 $3 y^{3} - 4 y = 2 x^{3} + K$ 中求 $K$ 的值。

$3 \cdot 0^{3} - 4 \cdot 0 = 2 \cdot 2^{3} + K$

解题步骤 4

求解 $K$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

将方程重写为 $2 \cdot 2^{3} + K = 3 \cdot 0^{3} - 4 \cdot 0$ 。

$2 \cdot 2^{3} + K = 3 \cdot 0^{3} - 4 \cdot 0$

解题步骤 4.2

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1

通过指数相加将 $2$ 乘以 $2^{3}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1.1

将 $2$ 乘以 $2^{3}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1.1.1

对 $2$ 进行 $1$ 次方运算。

$2^{1} \cdot 2^{3} + K = 3 \cdot 0^{3} - 4 \cdot 0$

解题步骤 4.2.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2^{1 + 3} + K = 3 \cdot 0^{3} - 4 \cdot 0$

解题步骤 4.2.1.2

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$2^{4} + K = 3 \cdot 0^{3} - 4 \cdot 0$

解题步骤 4.2.2

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$16 + K = 3 \cdot 0^{3} - 4 \cdot 0$

解题步骤 4.3

化简 $3 \cdot 0^{3} - 4 \cdot 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$16 + K = 3 \cdot 0 - 4 \cdot 0$

解题步骤 4.3.1.2

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$16 + K = 0 - 4 \cdot 0$

解题步骤 4.3.1.3

将 $- 4$ 乘以 $0$ 。

$16 + K = 0 + 0$

解题步骤 4.3.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$16 + K = 0$

解题步骤 4.4

从等式两边同时减去 $16$ 。

$K = - 16$

解题步骤 5

代入 $- 16$ 替换 $3 y^{3} - 4 y = 2 x^{3} + K$ 中的 $K$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

代入 $- 16$ 替换 $K$ 。

$3 y^{3} - 4 y = 2 x^{3} - 16$

微积分学 示例

微积分学示例