微积分学示例

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 9 y = 0$

解题步骤 1

假设所有解都为 $y = e^{r x}$ 形式。

解题步骤 2

求 $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 9 y = 0$ 的特征方程。

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解题步骤 2.1

求一阶导数。

$\frac{d y}{d x} = r e^{r x}$

解题步骤 2.2

求二阶导数。

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = r^{2} e^{r x}$

解题步骤 2.3

代入微分方程。

$r^{2} e^{r x} - 9 e^{r x} = 0$

解题步骤 2.4

因式分解出 $e^{r x}$ 。

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解题步骤 2.4.1

从 $r^{2} e^{r x}$ 中分解出因数 $e^{r x}$ 。

$e^{r x} r^{2} - 9 e^{r x} = 0$

解题步骤 2.4.2

从 $- 9 e^{r x}$ 中分解出因数 $e^{r x}$ 。

$e^{r x} r^{2} + e^{r x} \cdot - 9 = 0$

解题步骤 2.4.3

从 $e^{r x} r^{2} + e^{r x} \cdot - 9$ 中分解出因数 $e^{r x}$ 。

$e^{r x} (r^{2} - 9) = 0$

$e^{r x} (r^{2} - 9) = 0$

解题步骤 2.5

由于指数永远不可能为零，在两边同时除以 $e^{r x}$ 。

$r^{2} - 9 = 0$

$r^{2} - 9 = 0$

解题步骤 3

求解 $r$ 。

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解题步骤 3.1

在等式两边都加上 $9$ 。

$r^{2} = 9$

解题步骤 3.2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$r = \pm \sqrt{9}$

解题步骤 3.3

化简 $\pm \sqrt{9}$ 。

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解题步骤 3.3.1

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$r = \pm \sqrt{3^{2}}$

解题步骤 3.3.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$r = \pm 3$

$r = \pm 3$

解题步骤 3.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$r = 3$

解题步骤 3.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$r = - 3$

解题步骤 3.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$r = 3, - 3$

$r = 3, - 3$

$r = 3, - 3$

解题步骤 4

使用求到的两个 $r$ 值，可以构建两个解。

$y_{1} = e^{3 x}$

$y_{2} = e^{- 3 x}$

解题步骤 5

根据叠加原理，二阶齐次线性微分方程的通解是其两个解的线性组合。

$y = c_{1} e^{3 x} + c_{2} e^{- 3 x}$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$