微积分学示例

$x y \frac{d y}{d x} = x^{2} - y^{2}$

解题步骤 1

将微分方程重写为 $\frac{y}{x}$ 的函数。

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解题步骤 1.1

将 $x y \frac{d y}{d x} = x^{2} - y^{2}$ 中的每一项除以 $x y$ 并化简。

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解题步骤 1.1.1

将 $x y \frac{d y}{d x} = x^{2} - y^{2}$ 中的每一项都除以 $x y$ 。

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{x^{2}}{x y} + \frac{- y^{2}}{x y}$

解题步骤 1.1.2

化简左边。

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解题步骤 1.1.2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{x^{2}}{x y} + \frac{- y^{2}}{x y}$

解题步骤 1.1.2.1.2

重写表达式。

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{x^{2}}{x y} + \frac{- y^{2}}{x y}$

解题步骤 1.1.2.2

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.2.1

约去公因数。

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{x^{2}}{x y} + \frac{- y^{2}}{x y}$

解题步骤 1.1.2.2.2

用 $\frac{d y}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{x y} + \frac{- y^{2}}{x y}$

解题步骤 1.1.3

化简右边。

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解题步骤 1.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.3.1.1

约去 $x^{2}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.3.1.1.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x y} + \frac{- y^{2}}{x y}$

解题步骤 1.1.3.1.1.2

约去公因数。

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解题步骤 1.1.3.1.1.2.1

从 $x y$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x (y)} + \frac{- y^{2}}{x y}$

解题步骤 1.1.3.1.1.2.2

约去公因数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x y} + \frac{- y^{2}}{x y}$

解题步骤 1.1.3.1.1.2.3

重写表达式。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} + \frac{- y^{2}}{x y}$

解题步骤 1.1.3.1.2

约去 $y^{2}$ 和 $y$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.3.1.2.1

从 $- y^{2}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} + \frac{y (- y)}{x y}$

解题步骤 1.1.3.1.2.2

约去公因数。

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解题步骤 1.1.3.1.2.2.1

从 $x y$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} + \frac{y (- y)}{y x}$

解题步骤 1.1.3.1.2.2.2

约去公因数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} + \frac{y (- y)}{y x}$

解题步骤 1.1.3.1.2.2.3

重写表达式。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} + \frac{- y}{x}$

解题步骤 1.1.3.1.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} - \frac{y}{x}$

解题步骤 1.2

将 $\frac{x}{y}$ 重写为 ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ 。

$\frac{d y}{d x} = {(\frac{y}{x})}^{- 1} - \frac{y}{x}$

解题步骤 2

设 $V = \frac{y}{x}$ 。将 $V$ 代入 $\frac{y}{x}$ 。

$\frac{d y}{d x} = V^{- 1} - V$

解题步骤 3

求解 $y$ 的 $V = \frac{y}{x}$ 。

$y = V x$

解题步骤 4

使用乘积法则求 $y = V x$ 对 $x$ 的导数。

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

解题步骤 5

代入 $x \frac{d V}{d x} + V$ 替换 $\frac{d y}{d x}$ 。

$x \frac{d V}{d x} + V = V^{- 1} - V$

解题步骤 6

求解代入的微分方程。

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解题步骤 6.1

分离变量。

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解题步骤 6.1.1

求解 $\frac{d V}{d x}$ 。

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解题步骤 6.1.1.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{1}{V} - V$

解题步骤 6.1.1.2

将所有不包含 $\frac{d V}{d x}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 6.1.1.2.1

从等式两边同时减去 $V$ 。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} - V - V$

解题步骤 6.1.1.2.2

从 $- V$ 中减去 $V$ 。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} - 2 V$

解题步骤 6.1.1.3

将 $x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} - 2 V$ 中的每一项除以 $x$ 并化简。

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解题步骤 6.1.1.3.1

将 $x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} - 2 V$ 中的每一项都除以 $x$ 。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{V}}{x} + \frac{- 2 V}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.2

化简左边。

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解题步骤 6.1.1.3.2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.1.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{V}}{x} + \frac{- 2 V}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.2.1.2

用 $\frac{d V}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{V}}{x} + \frac{- 2 V}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.3

化简右边。

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解题步骤 6.1.1.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 6.1.1.3.3.1.1

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} \cdot \frac{1}{x} + \frac{- 2 V}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.3.1.2

将 $\frac{1}{V}$ 乘以 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V x} + \frac{- 2 V}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.3.1.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V x} - \frac{2 V}{x}$

解题步骤 6.1.2

因数。

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解题步骤 6.1.2.1

要将 $- \frac{2 V}{x}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{V}{V}$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V x} - \frac{2 V}{x} \cdot \frac{V}{V}$

解题步骤 6.1.2.2

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $V x$ 的形式。

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解题步骤 6.1.2.2.1

将 $\frac{2 V}{x}$ 乘以 $\frac{V}{V}$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V x} - \frac{2 V \cdot V}{x V}$

解题步骤 6.1.2.2.2

重新排序 $x V$ 的因式。

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V x} - \frac{2 V \cdot V}{V x}$

解题步骤 6.1.2.3

在公分母上合并分子。

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 - 2 V \cdot V}{V x}$

解题步骤 6.1.2.4

通过指数相加将 $V$ 乘以 $V$ 。

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解题步骤 6.1.2.4.1

移动 $V$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 - 2 (V \cdot V)}{V x}$

解题步骤 6.1.2.4.2

将 $V$ 乘以 $V$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 - 2 V^{2}}{V x}$

解题步骤 6.1.3

重新组合因数。

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 - 2 V^{2}}{V} \cdot \frac{1}{x}$

解题步骤 6.1.4

两边同时乘以 $\frac{V}{1 - 2 V^{2}}$ 。

$\frac{V}{1 - 2 V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 - 2 V^{2}} (\frac{1 - 2 V^{2}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

解题步骤 6.1.5

化简。

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解题步骤 6.1.5.1

将 $\frac{1 - 2 V^{2}}{V}$ 乘以 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{V}{1 - 2 V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 - 2 V^{2}} \cdot \frac{1 - 2 V^{2}}{V x}$

解题步骤 6.1.5.2

约去 $V$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.5.2.1

从 $V x$ 中分解出因数 $V$ 。

$\frac{V}{1 - 2 V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 - 2 V^{2}} \cdot \frac{1 - 2 V^{2}}{V (x)}$

解题步骤 6.1.5.2.2

约去公因数。

$\frac{V}{1 - 2 V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 - 2 V^{2}} \cdot \frac{1 - 2 V^{2}}{V x}$

解题步骤 6.1.5.2.3

重写表达式。

$\frac{V}{1 - 2 V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{1 - 2 V^{2}} \cdot \frac{1 - 2 V^{2}}{x}$

解题步骤 6.1.5.3

约去 $1 - 2 V^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.5.3.1

约去公因数。

$\frac{V}{1 - 2 V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{1 - 2 V^{2}} \cdot \frac{1 - 2 V^{2}}{x}$

解题步骤 6.1.5.3.2

重写表达式。

$\frac{V}{1 - 2 V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

解题步骤 6.1.6

重写该方程。

$\frac{V}{1 - 2 V^{2}} d V = \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2

对两边积分。

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解题步骤 6.2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{V}{1 - 2 V^{2}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2

对左边积分。

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解题步骤 6.2.2.1

使 $u = 1 - 2 V^{2}$ 。然后使 $d u = - 4 V d V$ ，以便 $- \frac{1}{4} d u = V d V$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 6.2.2.1.1

设 $u = 1 - 2 V^{2}$ 。求 $\frac{d u}{d V}$ 。

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解题步骤 6.2.2.1.1.1

对 $1 - 2 V^{2}$ 求导。

$\frac{d}{d V} [1 - 2 V^{2}]$

解题步骤 6.2.2.1.1.2

求微分。

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解题步骤 6.2.2.1.1.2.1

根据加法法则， $1 - 2 V^{2}$ 对 $V$ 的导数是 $\frac{d}{d V} [1] + \frac{d}{d V} [- 2 V^{2}]$ 。

$\frac{d}{d V} [1] + \frac{d}{d V} [- 2 V^{2}]$

解题步骤 6.2.2.1.1.2.2

因为 $1$ 对于 $V$ 是常数，所以 $1$ 对 $V$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d V} [- 2 V^{2}]$

解题步骤 6.2.2.1.1.3

计算 $\frac{d}{d V} [- 2 V^{2}]$ 。

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解题步骤 6.2.2.1.1.3.1

因为 $- 2$ 对于 $V$ 是常数，所以 $- 2 V^{2}$ 对 $V$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d V} [V^{2}]$ 。

$0 - 2 \frac{d}{d V} [V^{2}]$

解题步骤 6.2.2.1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ 等于 $n V^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$0 - 2 (2 V)$

解题步骤 6.2.2.1.1.3.3

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$0 - 4 V$

解题步骤 6.2.2.1.1.4

从 $0$ 中减去 $4 V$ 。

$- 4 V$

解题步骤 6.2.2.1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 4} d u = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.2

化简。

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解题步骤 6.2.2.2.1

将负号移到分数的前面。

$\int \frac{1}{u} (- \frac{1}{4}) d u = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.2.2

将 $\frac{1}{u}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$\int - \frac{1}{u \cdot 4} d u = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.2.3

将 $4$ 移到 $u$ 的左侧。

$\int - \frac{1}{4 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.3

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int \frac{1}{4 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.4

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$- (\frac{1}{4} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.5

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$- \frac{1}{4} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.6

化简。

$- \frac{1}{4} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.7

使用 $1 - 2 V^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{1}{4} \ln (| 1 - 2 V^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.3

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$- \frac{1}{4} \ln (| 1 - 2 V^{2} |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

解题步骤 6.2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$- \frac{1}{4} \ln (| 1 - 2 V^{2} |) = \ln (| x |) + C$

解题步骤 6.3

求解 $V$ 。

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解题步骤 6.3.1

等式两边同时乘以 $- 4$ 。

$- 4 (- \frac{1}{4} \ln (| 1 - 2 V^{2} |)) = - 4 (\ln (| x |) + C)$

解题步骤 6.3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 6.3.2.1

化简左边。

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解题步骤 6.3.2.1.1

化简 $- 4 (- \frac{1}{4} \ln (| 1 - 2 V^{2} |))$ 。

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解题步骤 6.3.2.1.1.1

组合 $\ln (| 1 - 2 V^{2} |)$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$- 4 (- \frac{\ln (| 1 - 2 V^{2} |)}{4}) = - 4 (\ln (| x |) + C)$

解题步骤 6.3.2.1.1.2

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.2.1.1.2.1

将 $- \frac{\ln (| 1 - 2 V^{2} |)}{4}$ 中前置负号移到分子中。

$- 4 \frac{- \ln (| 1 - 2 V^{2} |)}{4} = - 4 (\ln (| x |) + C)$

解题步骤 6.3.2.1.1.2.2

从 $- 4$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (- 1) \frac{- \ln (| 1 - 2 V^{2} |)}{4} = - 4 (\ln (| x |) + C)$

解题步骤 6.3.2.1.1.2.3

约去公因数。

$4 \cdot - 1 \frac{- \ln (| 1 - 2 V^{2} |)}{4} = - 4 (\ln (| x |) + C)$

解题步骤 6.3.2.1.1.2.4

重写表达式。

$- - \ln (| 1 - 2 V^{2} |) = - 4 (\ln (| x |) + C)$

解题步骤 6.3.2.1.1.3

乘。

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解题步骤 6.3.2.1.1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 \ln (| 1 - 2 V^{2} |) = - 4 (\ln (| x |) + C)$

解题步骤 6.3.2.1.1.3.2

将 $\ln (| 1 - 2 V^{2} |)$ 乘以 $1$ 。

$\ln (| 1 - 2 V^{2} |) = - 4 (\ln (| x |) + C)$

解题步骤 6.3.2.2

化简右边。

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解题步骤 6.3.2.2.1

运用分配律。

$\ln (| 1 - 2 V^{2} |) = - 4 \ln (| x |) - 4 C$

解题步骤 6.3.3

将所有包含对数的项移到等式左边。

$\ln (| 1 - 2 V^{2} |) + 4 \ln (| x |) = - 4 C$

解题步骤 6.3.4

化简左边。

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解题步骤 6.3.4.1

化简 $\ln (| 1 - 2 V^{2} |) + 4 \ln (| x |)$ 。

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解题步骤 6.3.4.1.1

化简每一项。

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解题步骤 6.3.4.1.1.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $4 \ln (| x |)$ 。

$\ln (| 1 - 2 V^{2} |) + \ln ({| x |}^{4}) = - 4 C$

解题步骤 6.3.4.1.1.2

去掉 ${| x |}^{4}$ 的绝对值符号，因为偶次幂的求幂结果恒为正。

$\ln (| 1 - 2 V^{2} |) + \ln (x^{4}) = - 4 C$

解题步骤 6.3.4.1.2

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$\ln (| 1 - 2 V^{2} | x^{4}) = - 4 C$

解题步骤 6.3.4.1.3

将 $\ln (| 1 - 2 V^{2} | x^{4})$ 中的因式重新排序。

$\ln (x^{4} | 1 - 2 V^{2} |) = - 4 C$

解题步骤 6.3.5

要求解 $V$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (x^{4} | 1 - 2 V^{2} |)} = e^{- 4 C}$

解题步骤 6.3.6

使用对数的定义将 $\ln (x^{4} | 1 - 2 V^{2} |) = - 4 C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{- 4 C} = x^{4} | 1 - 2 V^{2} |$

解题步骤 6.3.7

求解 $V$ 。

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解题步骤 6.3.7.1

将方程重写为 $x^{4} | 1 - 2 V^{2} | = e^{- 4 C}$ 。

$x^{4} | 1 - 2 V^{2} | = e^{- 4 C}$

解题步骤 6.3.7.2

将 $x^{4} | 1 - 2 V^{2} | = e^{- 4 C}$ 中的每一项除以 $x^{4}$ 并化简。

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解题步骤 6.3.7.2.1

将 $x^{4} | 1 - 2 V^{2} | = e^{- 4 C}$ 中的每一项都除以 $x^{4}$ 。

$\frac{x^{4} | 1 - 2 V^{2} |}{x^{4}} = \frac{e^{- 4 C}}{x^{4}}$

解题步骤 6.3.7.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.3.7.2.2.1

约去 $x^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.7.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x^{4} | 1 - 2 V^{2} |}{x^{4}} = \frac{e^{- 4 C}}{x^{4}}$

解题步骤 6.3.7.2.2.1.2

用 $| 1 - 2 V^{2} |$ 除以 $1$ 。

$| 1 - 2 V^{2} | = \frac{e^{- 4 C}}{x^{4}}$

解题步骤 6.3.7.3

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$1 - 2 V^{2} = \pm \frac{e^{- 4 C}}{x^{4}}$

解题步骤 6.3.7.4

从等式两边同时减去 $1$ 。

$- 2 V^{2} = \pm \frac{e^{- 4 C}}{x^{4}} - 1$

解题步骤 6.3.7.5

将 $- 2 V^{2} = \pm \frac{e^{- 4 C}}{x^{4}} - 1$ 中的每一项除以 $- 2$ 并化简。

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解题步骤 6.3.7.5.1

将 $- 2 V^{2} = \pm \frac{e^{- 4 C}}{x^{4}} - 1$ 中的每一项都除以 $- 2$ 。

$\frac{- 2 V^{2}}{- 2} = \frac{\pm \frac{e^{- 4 C}}{x^{4}}}{- 2} + \frac{- 1}{- 2}$

解题步骤 6.3.7.5.2

化简左边。

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解题步骤 6.3.7.5.2.1

约去 $- 2$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.7.5.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 2 V^{2}}{- 2} = \frac{\pm \frac{e^{- 4 C}}{x^{4}}}{- 2} + \frac{- 1}{- 2}$

解题步骤 6.3.7.5.2.1.2

用 $V^{2}$ 除以 $1$ 。

$V^{2} = \frac{\pm \frac{e^{- 4 C}}{x^{4}}}{- 2} + \frac{- 1}{- 2}$

解题步骤 6.3.7.5.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.7.5.3.1

化简每一项。

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解题步骤 6.3.7.5.3.1.1

化简 $\frac{\pm \frac{e^{- 4 C}}{x^{4}}}{- 2}$ 。

$V^{2} = \frac{\pm \frac{e^{- 4 C}}{x^{4}}}{2} + \frac{- 1}{- 2}$

解题步骤 6.3.7.5.3.1.2

将两个负数相除得到一个正数。

$V^{2} = \frac{\pm \frac{e^{- 4 C}}{x^{4}}}{2} + \frac{1}{2}$

解题步骤 6.3.7.6

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$V = \pm \sqrt{\frac{\pm \frac{e^{- 4 C}}{x^{4}}}{2} + \frac{1}{2}}$

解题步骤 6.3.7.7

化简 $\pm \sqrt{\frac{\pm \frac{e^{- 4 C}}{x^{4}}}{2} + \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 6.3.7.7.1

在公分母上合并分子。

$V = \pm \sqrt{\frac{\pm \frac{e^{- 4 C}}{x^{4}} + 1}{2}}$

解题步骤 6.3.7.7.2

将 $\sqrt{\frac{\pm \frac{e^{- 4 C}}{x^{4}} + 1}{2}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{\pm \frac{e^{- 4 C}}{x^{4}} + 1}}{\sqrt{2}}$ 。

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{e^{- 4 C}}{x^{4}} + 1}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 6.3.7.7.3

将 $\frac{\sqrt{\pm \frac{e^{- 4 C}}{x^{4}} + 1}}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{e^{- 4 C}}{x^{4}} + 1}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 6.3.7.7.4

合并和化简分母。

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解题步骤 6.3.7.7.4.1

将 $\frac{\sqrt{\pm \frac{e^{- 4 C}}{x^{4}} + 1}}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{e^{- 4 C}}{x^{4}} + 1} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 6.3.7.7.4.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{e^{- 4 C}}{x^{4}} + 1} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

解题步骤 6.3.7.7.4.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{e^{- 4 C}}{x^{4}} + 1} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

解题步骤 6.3.7.7.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{e^{- 4 C}}{x^{4}} + 1} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

解题步骤 6.3.7.7.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{e^{- 4 C}}{x^{4}} + 1} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

解题步骤 6.3.7.7.4.6

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 6.3.7.7.4.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{e^{- 4 C}}{x^{4}} + 1} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 6.3.7.7.4.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{e^{- 4 C}}{x^{4}} + 1} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 6.3.7.7.4.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{e^{- 4 C}}{x^{4}} + 1} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 6.3.7.7.4.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.7.7.4.6.4.1

约去公因数。

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{e^{- 4 C}}{x^{4}} + 1} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 6.3.7.7.4.6.4.2

重写表达式。

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{e^{- 4 C}}{x^{4}} + 1} \sqrt{2}}{2^{1}}$

解题步骤 6.3.7.7.4.6.5

计算指数。

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{e^{- 4 C}}{x^{4}} + 1} \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 6.3.7.7.5

使用根数乘积法则进行合并。

$V = \pm \frac{\sqrt{(\pm \frac{e^{- 4 C}}{x^{4}} + 1) \cdot 2}}{2}$

解题步骤 6.3.7.7.6

将 $\pm \frac{\sqrt{(\pm \frac{e^{- 4 C}}{x^{4}} + 1) \cdot 2}}{2}$ 中的因式重新排序。

$V = \pm \frac{\sqrt{2 (\pm \frac{e^{- 4 C}}{x^{4}} + 1)}}{2}$

解题步骤 6.4

将常数项组合在一起。

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解题步骤 6.4.1

化简积分常数。

$V = \pm \frac{\sqrt{2 (\pm \frac{C}{x^{4}} + 1)}}{2}$

解题步骤 6.4.2

用加号或减号合并常数。

$V = \pm \frac{\sqrt{2 (C \frac{1}{x^{4}} + 1)}}{2}$

解题步骤 7

代入 $\frac{y}{x}$ 替换 $V$ 。

$\frac{y}{x} = \pm \frac{\sqrt{2 (C \frac{1}{x^{4}} + 1)}}{2}$

解题步骤 8

求解 $y$ 的 $\frac{y}{x} = \pm \frac{\sqrt{2 (C \frac{1}{x^{4}} + 1)}}{2}$ 。

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解题步骤 8.1

两边同时乘以 $x$ 。

$\frac{y}{x} x = (\pm \frac{\sqrt{2 (C (\frac{1}{x^{4}}) + 1)}}{2}) x$

解题步骤 8.2

化简。

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解题步骤 8.2.1

化简左边。

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解题步骤 8.2.1.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.1.1.1

约去公因数。

$\frac{y}{x} x = (\pm \frac{\sqrt{2 (C (\frac{1}{x^{4}}) + 1)}}{2}) x$

解题步骤 8.2.1.1.2

重写表达式。

$y = (\pm \frac{\sqrt{2 (C (\frac{1}{x^{4}}) + 1)}}{2}) x$

解题步骤 8.2.2

化简右边。

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解题步骤 8.2.2.1

化简 $(\pm \frac{\sqrt{2 (C (\frac{1}{x^{4}}) + 1)}}{2}) x$ 。

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解题步骤 8.2.2.1.1

化简分子。

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解题步骤 8.2.2.1.1.1

组合 $C$ 和 $\frac{1}{x^{4}}$ 。

$y = (\pm \frac{\sqrt{2 (\frac{C}{x^{4}} + 1)}}{2}) x$

解题步骤 8.2.2.1.1.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$y = (\pm \frac{\sqrt{2 (\frac{C}{x^{4}} + \frac{x^{4}}{x^{4}})}}{2}) x$

解题步骤 8.2.2.1.1.3

在公分母上合并分子。

$y = (\pm \frac{\sqrt{2 \frac{C + x^{4}}{x^{4}}}}{2}) x$

解题步骤 8.2.2.1.1.4

组合 $2$ 和 $\frac{C + x^{4}}{x^{4}}$ 。

$y = (\pm \frac{\sqrt{\frac{2 (C + x^{4})}{x^{4}}}}{2}) x$

解题步骤 8.2.2.1.1.5

将 $\frac{2 (C + x^{4})}{x^{4}}$ 重写为 ${(\frac{1}{x^{2}})}^{2} (2 (C + x^{4}))$ 。

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解题步骤 8.2.2.1.1.5.1

从 $2 (C + x^{4})$ 中因式分解出完全幂数 $1^{2}$ 。

$y = (\pm \frac{\sqrt{\frac{1^{2} (2 (C + x^{4}))}{x^{4}}}}{2}) x$

解题步骤 8.2.2.1.1.5.2

从 $x^{4}$ 中因式分解出完全幂数 ${(x^{2})}^{2}$ 。

$y = (\pm \frac{\sqrt{\frac{1^{2} (2 (C + x^{4}))}{{(x^{2})}^{2} \cdot 1}}}{2}) x$

解题步骤 8.2.2.1.1.5.3

重新整理分数 $\frac{1^{2} (2 (C + x^{4}))}{{(x^{2})}^{2} \cdot 1}$ 。

$y = (\pm \frac{\sqrt{{(\frac{1}{x^{2}})}^{2} (2 (C + x^{4}))}}{2}) x$

解题步骤 8.2.2.1.1.6

从根式下提出各项。

$y = (\pm \frac{\frac{1}{x^{2}} \sqrt{2 (C + x^{4})}}{2}) x$

解题步骤 8.2.2.1.1.7

组合 $\frac{1}{x^{2}}$ 和 $\sqrt{2 (C + x^{4})}$ 。

$y = (\pm \frac{\frac{\sqrt{2 (C + x^{4})}}{x^{2}}}{2}) x$

解题步骤 8.2.2.1.2

将分子乘以分母的倒数。

$y = (\pm \frac{\sqrt{2 (C + x^{4})}}{x^{2}} \cdot \frac{1}{2}) x$

解题步骤 8.2.2.1.3

合并。

$y = (\pm \frac{\sqrt{2 (C + x^{4})} \cdot 1}{x^{2} \cdot 2}) x$

解题步骤 8.2.2.1.4

化简表达式。

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解题步骤 8.2.2.1.4.1

将 $\sqrt{2 (C + x^{4})}$ 乘以 $1$ 。

$y = (\pm \frac{\sqrt{2 (C + x^{4})}}{x^{2} \cdot 2}) x$

解题步骤 8.2.2.1.4.2

将 $2$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$y = (\pm \frac{\sqrt{2 (C + x^{4})}}{2 x^{2}}) x$

微积分学 示例

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