微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = y^{2} (1 + e^{x})$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $\frac{1}{y^{2}}$ 。

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (y^{2} (1 + e^{x}))$

解题步骤 1.2

约去 $y^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

约去公因数。

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (y^{2} (1 + e^{x}))$

解题步骤 1.2.2

重写表达式。

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 1 + e^{x}$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$\frac{1}{y^{2}} d y = (1 + e^{x}) d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int 1 + e^{x} d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.2.1.1

通过将 $y^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int 1 + e^{x} d x$

解题步骤 2.2.1.2

将 ${(y^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int 1 + e^{x} d x$

解题步骤 2.2.1.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\int y^{- 2} d y = \int 1 + e^{x} d x$

解题步骤 2.2.2

根据幂法则， $y^{- 2}$ 对 $y$ 的积分是 $- y^{- 1}$ 。

$- y^{- 1} + C_{1} = \int 1 + e^{x} d x$

解题步骤 2.2.3

将 $- y^{- 1} + C_{1}$ 重写为 $- \frac{1}{y} + C_{1}$ 。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int 1 + e^{x} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int d x + \int e^{x} d x$

解题步骤 2.3.2

应用常数不变法则。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x + C_{2} + \int e^{x} d x$

解题步骤 2.3.3

$e^{x}$ 对 $x$ 的积分为 $e^{x}$ 。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x + C_{2} + e^{x} + C_{3}$

解题步骤 2.3.4

化简。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x + e^{x} + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$- \frac{1}{y} = x + e^{x} + K$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 3.1.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$y, 1, 1, 1$

解题步骤 3.1.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$y$

解题步骤 3.2

将 $- \frac{1}{y} = x + e^{x} + K$ 中的每一项乘以 $y$ 以消去分数。

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解题步骤 3.2.1

将 $- \frac{1}{y} = x + e^{x} + K$ 中的每一项乘以 $y$ 。

$- \frac{1}{y} y = x y + e^{x} y + K y$

解题步骤 3.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.2.1

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1.1

将 $- \frac{1}{y}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- 1}{y} y = x y + e^{x} y + K y$

解题步骤 3.2.2.1.2

约去公因数。

$\frac{- 1}{y} y = x y + e^{x} y + K y$

解题步骤 3.2.2.1.3

重写表达式。

$- 1 = x y + e^{x} y + K y$

解题步骤 3.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.2.3.1

将 $x y + e^{x} y + K y$ 中的因式重新排序。

$- 1 = x y + y e^{x} + K y$

解题步骤 3.3

求解方程。

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解题步骤 3.3.1

将方程重写为 $x y + y e^{x} + K y = - 1$ 。

$x y + y e^{x} + K y = - 1$

解题步骤 3.3.2

从 $x y + y e^{x} + K y$ 中分解出因数 $y$ 。

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解题步骤 3.3.2.1

从 $x y$ 中分解出因数 $y$ 。

$y x + y e^{x} + K y = - 1$

解题步骤 3.3.2.2

从 $y e^{x}$ 中分解出因数 $y$ 。

$y x + y (e^{x}) + K y = - 1$

解题步骤 3.3.2.3

从 $K y$ 中分解出因数 $y$ 。

$y x + y (e^{x}) + y K = - 1$

解题步骤 3.3.2.4

从 $y x + y (e^{x})$ 中分解出因数 $y$ 。

$y (x + e^{x}) + y K = - 1$

解题步骤 3.3.2.5

从 $y (x + e^{x}) + y K$ 中分解出因数 $y$ 。

$y (x + e^{x} + K) = - 1$

解题步骤 3.3.3

将 $y (x + e^{x} + K) = - 1$ 中的每一项除以 $x + e^{x} + K$ 并化简。

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解题步骤 3.3.3.1

将 $y (x + e^{x} + K) = - 1$ 中的每一项都除以 $x + e^{x} + K$ 。

$\frac{y (x + e^{x} + K)}{x + e^{x} + K} = \frac{- 1}{x + e^{x} + K}$

解题步骤 3.3.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.3.2.1

约去 $x + e^{x} + K$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y (x + e^{x} + K)}{x + e^{x} + K} = \frac{- 1}{x + e^{x} + K}$

解题步骤 3.3.3.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{- 1}{x + e^{x} + K}$

解题步骤 3.3.3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.3.3.1

将负号移到分数的前面。

$y = - \frac{1}{x + e^{x} + K}$

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