微积分学示例

$2 (2 x^{2} + y^{2}) d x - x (y d) y = 0$

解题步骤 1

求 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 在 $M (x, y) = 2 (2 x^{2} + y^{2})$ 的值。

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解题步骤 1.1

将 $M$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 (2 x^{2} + y^{2})]$

解题步骤 1.2

因为 $2$ 对于 $y$ 是常数，所以 $2 (2 x^{2} + y^{2})$ 对 $y$ 的导数是 $2 \frac{d}{d y} [2 x^{2} + y^{2}]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 \frac{d}{d y} [2 x^{2} + y^{2}]$

解题步骤 1.3

根据加法法则， $2 x^{2} + y^{2}$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [2 x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (\frac{d}{d y} [2 x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}])$

解题步骤 1.4

因为 $2 x^{2}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $2 x^{2}$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (0 + \frac{d}{d y} [y^{2}])$

解题步骤 1.5

将 $0$ 和 $\frac{d}{d y} [y^{2}]$ 相加。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 \frac{d}{d y} [y^{2}]$

解题步骤 1.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (2 y)$

解题步骤 1.7

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y$

解题步骤 2

求 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 在 $N (x, y) = - x y$ 的值。

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解题步骤 2.1

将 $N$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- x y]$

解题步骤 2.2

因为 $- y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x y$ 对 $x$ 的导数是 $- y \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - y \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - y \cdot 1$

解题步骤 2.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - y$

解题步骤 3

判断 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 。

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解题步骤 3.1

将 $4 y$ 代入 $\frac{\partial M}{\partial y}$ ，将 $- y$ 代入 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$4 y = - y$

解题步骤 3.2

因为左边不等于右边，所以该方程不是恒等式。

$4 y = - y$ 不是恒等式。

解题步骤 4

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 。

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解题步骤 4.1

代入 $4 y$ 替换 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 。

$\frac{4 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

解题步骤 4.2

代入 $- y$ 替换 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$\frac{4 y - - y}{N}$

解题步骤 4.3

代入 $- x y$ 替换 $N$ 。

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解题步骤 4.3.1

代入 $- x y$ 替换 $N$ 。

$\frac{4 y - - y}{- x y}$

解题步骤 4.3.2

化简分子。

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解题步骤 4.3.2.1

从 $4 y - - y$ 中分解出因数 $y$ 。

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解题步骤 4.3.2.1.1

从 $4 y$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{y \cdot 4 - - y}{- x y}$

解题步骤 4.3.2.1.2

从 $- - y$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{y \cdot 4 + y (- - 1)}{- x y}$

解题步骤 4.3.2.1.3

从 $y \cdot 4 + y (- - 1)$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{y (4 - - 1)}{- x y}$

解题步骤 4.3.2.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{y (4 + 1)}{- x y}$

解题步骤 4.3.2.3

将 $4$ 和 $1$ 相加。

$\frac{y \cdot 5}{- x y}$

解题步骤 4.3.3

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.3.1

约去公因数。

$\frac{y \cdot 5}{- x y}$

解题步骤 4.3.3.2

重写表达式。

$\frac{5}{- x}$

解题步骤 4.3.4

将负号移到分数的前面。

$- \frac{5}{x}$

解题步骤 4.4

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 。

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{5}{x} d x}$

解题步骤 5

计算积分 $e^{\int - \frac{5}{x} d x}$ 。

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解题步骤 5.1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{5}{x} d x}$

解题步骤 5.2

由于 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $5$ 移到积分外。

$μ (x, y) = e^{- (5 \int \frac{1}{x} d x)}$

解题步骤 5.3

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$μ (x, y) = e^{- 5 \int \frac{1}{x} d x}$

解题步骤 5.4

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$μ (x, y) = e^{- 5 (\ln (| x |) + C)}$

解题步骤 5.5

化简。

$μ (x, y) = e^{- 5 \ln (| x |)} + C$

解题步骤 5.6

化简每一项。

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解题步骤 5.6.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 5 \ln (| x |)$ 。

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 5})} + C$

解题步骤 5.6.2

指数函数和对数函数互为反函数。

$μ (x, y) = {| x |}^{- 5} + C$

解题步骤 5.6.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$μ (x, y) = \frac{1}{{| x |}^{5}} + C$

解题步骤 6

在 $2 (2 x^{2} + y^{2}) d x - x y d y = 0$ 的两边同时乘以积分因数 $\frac{1}{x^{5}}$ 。

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解题步骤 6.1

将 $2 (2 x^{2} + y^{2})$ 乘以 $\frac{1}{x^{5}}$ 。

$2 (2 x^{2} + y^{2}) \frac{1}{x^{5}} d x - x y d y = 0$

解题步骤 6.2

运用分配律。

$(2 (2 x^{2}) + 2 y^{2}) \frac{1}{x^{5}} d x - x y d y = 0$

解题步骤 6.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$(4 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{1}{x^{5}} d x - x y d y = 0$

解题步骤 6.4

将 $4 x^{2} + 2 y^{2}$ 乘以 $\frac{1}{x^{5}}$ 。

$\frac{4 x^{2} + 2 y^{2}}{x^{5}} d x - x y d y = 0$

解题步骤 6.5

从 $4 x^{2} + 2 y^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 6.5.1

从 $4 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (2 x^{2}) + 2 y^{2}}{x^{5}} d x - x y d y = 0$

解题步骤 6.5.2

从 $2 y^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (2 x^{2}) + 2 (y^{2})}{x^{5}} d x - x y d y = 0$

解题步骤 6.5.3

从 $2 (2 x^{2}) + 2 (y^{2})$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}} d x - x y d y = 0$

解题步骤 6.6

将 $- x y$ 乘以 $\frac{1}{x^{5}}$ 。

$\frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}} d x - x y \frac{1}{x^{5}} d y = 0$

解题步骤 6.7

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 6.7.1

从 $- x y$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}} d x + x (- 1 y) \frac{1}{x^{5}} d y = 0$

解题步骤 6.7.2

从 $x^{5}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}} d x + x (- 1 y) \frac{1}{x \cdot x^{4}} d y = 0$

解题步骤 6.7.3

约去公因数。

$\frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}} d x + x (- 1 y) \frac{1}{x \cdot x^{4}} d y = 0$

解题步骤 6.7.4

重写表达式。

$\frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}} d x - 1 y \frac{1}{x^{4}} d y = 0$

解题步骤 6.8

组合 $\frac{1}{x^{4}}$ 和 $y$ 。

$\frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}} d x - 1 \frac{y}{x^{4}} d y = 0$

解题步骤 6.9

将 $- 1 \frac{y}{x^{4}}$ 重写为 $- \frac{y}{x^{4}}$ 。

$\frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}} d x - \frac{y}{x^{4}} d y = 0$

解题步骤 7

使 $f (x, y)$ 等于 $N (x, y)$ 的积分。

$f (x, y) = \int - \frac{y}{x^{4}} d y$

解题步骤 8

对 $N (x, y) = - \frac{y}{x^{4}}$ 积分以求 $f (x, y)$ 。

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解题步骤 8.1

由于 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$f (x, y) = - \int \frac{y}{x^{4}} d y$

解题步骤 8.2

由于 $\frac{1}{x^{4}}$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $\frac{1}{x^{4}}$ 移到积分外。

$f (x, y) = - (\frac{1}{x^{4}} \int y d y)$

解题步骤 8.3

去掉圆括号。

$f (x, y) = - \frac{1}{x^{4}} \int y d y$

解题步骤 8.4

根据幂法则， $y$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{2} y^{2}$ 。

$f (x, y) = - \frac{1}{x^{4}} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

解题步骤 8.5

化简答案。

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解题步骤 8.5.1

将 $- \frac{1}{x^{4}} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ 重写为 $- \frac{1}{x^{4}} \cdot \frac{1}{2} y^{2} + C$ 。

$f (x, y) = - \frac{1}{x^{4}} \cdot \frac{1}{2} y^{2} + C$

解题步骤 8.5.2

化简。

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解题步骤 8.5.2.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{x^{4}}$ 。

$f (x, y) = - \frac{1}{2 x^{4}} y^{2} + C$

解题步骤 8.5.2.2

组合 $y^{2}$ 和 $\frac{1}{2 x^{4}}$ 。

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{2 x^{4}} + C$

解题步骤 9

由于 $g (x)$ 的积分将包含一个积分常数，可以用 $g (x)$ 替换 $C$ 。

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{2 x^{4}} + g (x)$

解题步骤 10

设置 $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ 。

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

解题步骤 11

求 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 。

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解题步骤 11.1

将 $f$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{2 x^{4}} + g (x)] = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

解题步骤 11.2

根据加法法则， $- \frac{y^{2}}{2 x^{4}} + g (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{2 x^{4}}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{2 x^{4}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

解题步骤 11.3

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{2 x^{4}}]$ 。

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解题步骤 11.3.1

因为 $- \frac{y^{2}}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{y^{2}}{2 x^{4}}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ 。

$- \frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

解题步骤 11.3.2

将 $\frac{1}{x^{4}}$ 重写为 ${(x^{4})}^{- 1}$ 。

$- \frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

解题步骤 11.3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{4}$ 。

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解题步骤 11.3.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{4}$ 。

$- \frac{y^{2}}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

解题步骤 11.3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$- \frac{y^{2}}{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

解题步骤 11.3.3.3

使用 $x^{4}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{y^{2}}{2} (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

解题步骤 11.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$- \frac{y^{2}}{2} (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

解题步骤 11.3.5

将 ${(x^{4})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 11.3.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{y^{2}}{2} (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

解题步骤 11.3.5.2

将 $4$ 乘以 $- 2$ 。

$- \frac{y^{2}}{2} (- x^{- 8} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

解题步骤 11.3.6

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{y^{2}}{2} (- 4 x^{- 8} x^{3}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

解题步骤 11.3.7

通过指数相加将 $x^{- 8}$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 11.3.7.1

移动 $x^{3}$ 。

$- \frac{y^{2}}{2} (- 4 (x^{3} x^{- 8})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

解题步骤 11.3.7.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{y^{2}}{2} (- 4 x^{3 - 8}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

解题步骤 11.3.7.3

从 $3$ 中减去 $8$ 。

$- \frac{y^{2}}{2} (- 4 x^{- 5}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

解题步骤 11.3.8

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$4 \frac{y^{2}}{2} x^{- 5} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

解题步骤 11.3.9

组合 $4$ 和 $\frac{y^{2}}{2}$ 。

$\frac{4 y^{2}}{2} x^{- 5} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

解题步骤 11.3.10

组合 $\frac{4 y^{2}}{2}$ 和 $x^{- 5}$ 。

$\frac{4 y^{2} x^{- 5}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

解题步骤 11.3.11

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 5}$ 移动到分母。

$\frac{4 y^{2}}{2 x^{5}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

解题步骤 11.3.12

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 11.3.12.1

从 $4 y^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (2 y^{2})}{2 x^{5}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

解题步骤 11.3.12.2

约去公因数。

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解题步骤 11.3.12.2.1

从 $2 x^{5}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (2 y^{2})}{2 (x^{5})} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

解题步骤 11.3.12.2.2

约去公因数。

$\frac{2 (2 y^{2})}{2 x^{5}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

解题步骤 11.3.12.2.3

重写表达式。

$\frac{2 y^{2}}{x^{5}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

解题步骤 11.4

使用函数法则进行微分，即 $g (x)$ 的导数为 $\frac{d g}{d x}$ 。

$\frac{2 y^{2}}{x^{5}} + \frac{d g}{d x} = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

解题步骤 11.5

重新排序项。

$\frac{d g}{d x} + \frac{2 y^{2}}{x^{5}} = \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$

解题步骤 12

求解 $\frac{d g}{d x}$ 。

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解题步骤 12.1

求解 $\frac{d g}{d x}$ 。

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解题步骤 12.1.1

将所有包含变量的项移到等式左边。

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解题步骤 12.1.1.1

从等式两边同时减去 $\frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}}$ 。

$\frac{d g}{d x} + \frac{2 y^{2}}{x^{5}} - \frac{2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}} = 0$

解题步骤 12.1.1.2

在公分母上合并分子。

$\frac{d g}{d x} + \frac{2 y^{2} - 2 (2 x^{2} + y^{2})}{x^{5}} = 0$

解题步骤 12.1.1.3

化简每一项。

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解题步骤 12.1.1.3.1

运用分配律。

$\frac{d g}{d x} + \frac{2 y^{2} - 2 (2 x^{2}) - 2 y^{2}}{x^{5}} = 0$

解题步骤 12.1.1.3.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{d g}{d x} + \frac{2 y^{2} - 4 x^{2} - 2 y^{2}}{x^{5}} = 0$

解题步骤 12.1.1.4

合并 $2 y^{2} - 4 x^{2} - 2 y^{2}$ 中相反的项。

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解题步骤 12.1.1.4.1

从 $2 y^{2}$ 中减去 $2 y^{2}$ 。

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 4 x^{2} + 0}{x^{5}} = 0$

解题步骤 12.1.1.4.2

将 $- 4 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 4 x^{2}}{x^{5}} = 0$

解题步骤 12.1.1.5

化简每一项。

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解题步骤 12.1.1.5.1

约去 $x^{2}$ 和 $x^{5}$ 的公因数。

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解题步骤 12.1.1.5.1.1

从 $- 4 x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{2} \cdot - 4}{x^{5}} = 0$

解题步骤 12.1.1.5.1.2

约去公因数。

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解题步骤 12.1.1.5.1.2.1

从 $x^{5}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{2} \cdot - 4}{x^{2} x^{3}} = 0$

解题步骤 12.1.1.5.1.2.2

约去公因数。

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{2} \cdot - 4}{x^{2} x^{3}} = 0$

解题步骤 12.1.1.5.1.2.3

重写表达式。

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 4}{x^{3}} = 0$

解题步骤 12.1.1.5.2

将负号移到分数的前面。

$\frac{d g}{d x} - \frac{4}{x^{3}} = 0$

解题步骤 12.1.2

在等式两边都加上 $\frac{4}{x^{3}}$ 。

$\frac{d g}{d x} = \frac{4}{x^{3}}$

解题步骤 13

求 $\frac{4}{x^{3}}$ 的不定积分，以求出 $g (x)$ 。

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解题步骤 13.1

对 $\frac{d g}{d x} = \frac{4}{x^{3}}$ 的两边积分。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{4}{x^{3}} d x$

解题步骤 13.2

计算 $\int \frac{d g}{d x} d x$ 。

$g (x) = \int \frac{4}{x^{3}} d x$

解题步骤 13.3

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$g (x) = 4 \int \frac{1}{x^{3}} d x$

解题步骤 13.4

通过将 $x^{3}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$g (x) = 4 \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

解题步骤 13.5

将 ${(x^{3})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 13.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$g (x) = 4 \int x^{3 \cdot - 1} d x$

解题步骤 13.5.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$g (x) = 4 \int x^{- 3} d x$

解题步骤 13.6

根据幂法则， $x^{- 3}$ 对 $x$ 的积分是 $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ 。

$g (x) = 4 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$

解题步骤 13.7

化简答案。

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解题步骤 13.7.1

化简。

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解题步骤 13.7.1.1

组合 $x^{- 2}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$g (x) = 4 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C)$

解题步骤 13.7.1.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 2}$ 移动到分母。

$g (x) = 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C)$

解题步骤 13.7.2

化简。

$g (x) = 4 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C$

解题步骤 13.7.3

化简。

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解题步骤 13.7.3.1

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$g (x) = - 4 \frac{1}{2 x^{2}} + C$

解题步骤 13.7.3.2

组合 $- 4$ 和 $\frac{1}{2 x^{2}}$ 。

$g (x) = \frac{- 4}{2 x^{2}} + C$

解题步骤 13.7.3.3

约去 $- 4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 13.7.3.3.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $2$ 。

$g (x) = \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{2}} + C$

解题步骤 13.7.3.3.2

约去公因数。

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解题步骤 13.7.3.3.2.1

从 $2 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$g (x) = \frac{2 \cdot - 2}{2 (x^{2})} + C$

解题步骤 13.7.3.3.2.2

约去公因数。

$g (x) = \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{2}} + C$

解题步骤 13.7.3.3.2.3

重写表达式。

$g (x) = \frac{- 2}{x^{2}} + C$

解题步骤 13.7.3.4

将负号移到分数的前面。

$g (x) = - \frac{2}{x^{2}} + C$

解题步骤 14

在 $f (x, y) = - \frac{y^{2}}{2 x^{4}} + g (x)$ 中代入 $g (x)$ 。

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{2 x^{4}} - \frac{2}{x^{2}} + C$

微积分学 示例

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