微积分学示例

$\frac{d y}{d x} + \frac{x^{2} + 25}{y^{3} - y^{2}} = 0$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

求解 $\frac{d y}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

化简 $\frac{d y}{d x} + \frac{x^{2} + 25}{y^{3} - y^{2}}$ 。

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解题步骤 1.1.1.1

从 $y^{3} - y^{2}$ 中分解出因数 $y^{2}$ 。

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解题步骤 1.1.1.1.1

从 $y^{3}$ 中分解出因数 $y^{2}$ 。

$\frac{d y}{d x} + \frac{x^{2} + 25}{y^{2} y - y^{2}} = 0$

解题步骤 1.1.1.1.2

从 $- y^{2}$ 中分解出因数 $y^{2}$ 。

$\frac{d y}{d x} + \frac{x^{2} + 25}{y^{2} y + y^{2} \cdot - 1} = 0$

解题步骤 1.1.1.1.3

从 $y^{2} y + y^{2} \cdot - 1$ 中分解出因数 $y^{2}$ 。

$\frac{d y}{d x} + \frac{x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

解题步骤 1.1.1.2

要将 $\frac{d y}{d x}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{(y - 1) y^{2}}{(y - 1) y^{2}}$ 。

$\frac{d y}{d x} \cdot \frac{(y - 1) y^{2}}{(y - 1) y^{2}} + \frac{x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

解题步骤 1.1.1.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(y - 1) y^{2}$ 的形式。

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解题步骤 1.1.1.3.1

组合 $\frac{d y}{d x}$ 和 $\frac{(y - 1) y^{2}}{(y - 1) y^{2}}$ 。

$\frac{\frac{d y}{d x} ((y - 1) y^{2})}{(y - 1) y^{2}} + \frac{x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

解题步骤 1.1.1.3.2

重新排序 $(y - 1) y^{2}$ 的因式。

$\frac{\frac{d y}{d x} ((y - 1) y^{2})}{y^{2} (y - 1)} + \frac{x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

解题步骤 1.1.1.4

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{d y}{d x} ((y - 1) y^{2}) + x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

解题步骤 1.1.1.5

化简分子。

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解题步骤 1.1.1.5.1

运用分配律。

$\frac{(\frac{d y}{d x} y + \frac{d y}{d x} \cdot - 1) y^{2} + x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

解题步骤 1.1.1.5.2

将 $- 1$ 移到 $\frac{d y}{d x}$ 的左侧。

$\frac{(\frac{d y}{d x} y - 1 \cdot \frac{d y}{d x}) y^{2} + x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

解题步骤 1.1.1.5.3

将 $- 1 \frac{d y}{d x}$ 重写为 $- \frac{d y}{d x}$ 。

$\frac{(\frac{d y}{d x} y - \frac{d y}{d x}) y^{2} + x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

解题步骤 1.1.1.5.4

运用分配律。

$\frac{\frac{d y}{d x} y \cdot y^{2} - \frac{d y}{d x} y^{2} + x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

解题步骤 1.1.1.5.5

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y^{2}$ 。

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解题步骤 1.1.1.5.5.1

移动 $y^{2}$ 。

$\frac{\frac{d y}{d x} (y^{2} y) - \frac{d y}{d x} y^{2} + x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

解题步骤 1.1.1.5.5.2

将 $y^{2}$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 1.1.1.5.5.2.1

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{d y}{d x} (y^{2} y^{1}) - \frac{d y}{d x} y^{2} + x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

解题步骤 1.1.1.5.5.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{d y}{d x} y^{2 + 1} - \frac{d y}{d x} y^{2} + x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

解题步骤 1.1.1.5.5.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\frac{d y}{d x} y^{3} - \frac{d y}{d x} y^{2} + x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

解题步骤 1.1.2

将分子设为等于零。

$\frac{d y}{d x} y^{3} - \frac{d y}{d x} y^{2} + x^{2} + 25 = 0$

解题步骤 1.1.3

求解 $\frac{d y}{d x}$ 的方程。

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解题步骤 1.1.3.1

将所有不包含 $\frac{d y}{d x}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 1.1.3.1.1

从等式两边同时减去 $x^{2}$ 。

$\frac{d y}{d x} y^{3} - \frac{d y}{d x} y^{2} + 25 = - x^{2}$

解题步骤 1.1.3.1.2

从等式两边同时减去 $25$ 。

$\frac{d y}{d x} y^{3} - \frac{d y}{d x} y^{2} = - x^{2} - 25$

解题步骤 1.1.3.2

从 $\frac{d y}{d x} y^{3} - \frac{d y}{d x} y^{2}$ 中分解出因数 $\frac{d y}{d x} y^{2}$ 。

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解题步骤 1.1.3.2.1

从 $\frac{d y}{d x} y^{3}$ 中分解出因数 $\frac{d y}{d x} y^{2}$ 。

$\frac{d y}{d x} y^{2} y - \frac{d y}{d x} y^{2} = - x^{2} - 25$

解题步骤 1.1.3.2.2

从 $- \frac{d y}{d x} y^{2}$ 中分解出因数 $\frac{d y}{d x} y^{2}$ 。

$\frac{d y}{d x} y^{2} y + \frac{d y}{d x} y^{2} \cdot - 1 = - x^{2} - 25$

解题步骤 1.1.3.2.3

从 $\frac{d y}{d x} y^{2} y + \frac{d y}{d x} y^{2} \cdot - 1$ 中分解出因数 $\frac{d y}{d x} y^{2}$ 。

$\frac{d y}{d x} y^{2} (y - 1) = - x^{2} - 25$

解题步骤 1.1.3.3

将 $\frac{d y}{d x} y^{2} (y - 1) = - x^{2} - 25$ 中的每一项除以 $y^{2} (y - 1)$ 并化简。

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解题步骤 1.1.3.3.1

将 $\frac{d y}{d x} y^{2} (y - 1) = - x^{2} - 25$ 中的每一项都除以 $y^{2} (y - 1)$ 。

$\frac{\frac{d y}{d x} y^{2} (y - 1)}{y^{2} (y - 1)} = \frac{- x^{2}}{y^{2} (y - 1)} + \frac{- 25}{y^{2} (y - 1)}$

解题步骤 1.1.3.3.2

化简左边。

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解题步骤 1.1.3.3.2.1

约去 $y^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.3.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{\frac{d y}{d x} y^{2} (y - 1)}{y^{2} (y - 1)} = \frac{- x^{2}}{y^{2} (y - 1)} + \frac{- 25}{y^{2} (y - 1)}$

解题步骤 1.1.3.3.2.1.2

重写表达式。

$\frac{\frac{d y}{d x} (y - 1)}{y - 1} = \frac{- x^{2}}{y^{2} (y - 1)} + \frac{- 25}{y^{2} (y - 1)}$

解题步骤 1.1.3.3.2.2

约去 $y - 1$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.3.3.2.2.1

约去公因数。

$\frac{\frac{d y}{d x} (y - 1)}{y - 1} = \frac{- x^{2}}{y^{2} (y - 1)} + \frac{- 25}{y^{2} (y - 1)}$

解题步骤 1.1.3.3.2.2.2

用 $\frac{d y}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x^{2}}{y^{2} (y - 1)} + \frac{- 25}{y^{2} (y - 1)}$

解题步骤 1.1.3.3.3

化简右边。

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解题步骤 1.1.3.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.3.3.3.1.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{y^{2} (y - 1)} + \frac{- 25}{y^{2} (y - 1)}$

解题步骤 1.1.3.3.3.1.2

将负号移到分数的前面。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{y^{2} (y - 1)} - \frac{25}{y^{2} (y - 1)}$

解题步骤 1.2

因数。

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解题步骤 1.2.1

从 $- \frac{x^{2}}{y^{2} (y - 1)} - \frac{25}{y^{2} (y - 1)}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

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解题步骤 1.2.1.1

从 $- \frac{x^{2}}{y^{2} (y - 1)}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{x^{2}}{y^{2} (y - 1)}) - \frac{25}{y^{2} (y - 1)}$

解题步骤 1.2.1.2

从 $- \frac{25}{y^{2} (y - 1)}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{x^{2}}{y^{2} (y - 1)}) - (\frac{25}{y^{2} (y - 1)})$

解题步骤 1.2.1.3

从 $- (\frac{x^{2}}{y^{2} (y - 1)}) - (\frac{25}{y^{2} (y - 1)})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{x^{2}}{y^{2} (y - 1)} + \frac{25}{y^{2} (y - 1)})$

解题步骤 1.2.2

在公分母上合并分子。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)}$

解题步骤 1.3

两边同时乘以 $y^{2} (y - 1)$ 。

$y^{2} (y - 1) \frac{d y}{d x} = y^{2} (y - 1) (- \frac{x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)})$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

使用乘法的交换性质重写。

$y^{2} (y - 1) \frac{d y}{d x} = - y^{2} (y - 1) \frac{x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)}$

解题步骤 1.4.2

约去 $y^{2} (y - 1)$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.2.1

从 $- y^{2} (y - 1)$ 中分解出因数 $y^{2} (y - 1)$ 。

$y^{2} (y - 1) \frac{d y}{d x} = y^{2} (y - 1) (- 1) \frac{x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)}$

解题步骤 1.4.2.2

约去公因数。

$y^{2} (y - 1) \frac{d y}{d x} = y^{2} (y - 1) \cdot - 1 \frac{x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)}$

解题步骤 1.4.2.3

重写表达式。

$y^{2} (y - 1) \frac{d y}{d x} = - (x^{2} + 25)$

解题步骤 1.4.3

运用分配律。

$y^{2} (y - 1) \frac{d y}{d x} = - x^{2} - 1 \cdot 25$

解题步骤 1.4.4

将 $- 1$ 乘以 $25$ 。

$y^{2} (y - 1) \frac{d y}{d x} = - x^{2} - 25$

解题步骤 1.5

重写该方程。

$y^{2} (y - 1) d y = (- x^{2} - 25) d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int y^{2} (y - 1) d y = \int - x^{2} - 25 d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

乘以 $y^{2} (y - 1)$ 。

$\int y^{2} y + y^{2} \cdot - 1 d y = \int - x^{2} - 25 d x$

解题步骤 2.2.2

化简。

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解题步骤 2.2.2.1

通过指数相加将 $y^{2}$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 2.2.2.1.1

将 $y^{2}$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 2.2.2.1.1.1

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int y^{2} y^{1} + y^{2} \cdot - 1 d y = \int - x^{2} - 25 d x$

解题步骤 2.2.2.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int y^{2 + 1} + y^{2} \cdot - 1 d y = \int - x^{2} - 25 d x$

解题步骤 2.2.2.1.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\int y^{3} + y^{2} \cdot - 1 d y = \int - x^{2} - 25 d x$

解题步骤 2.2.2.2

将 $- 1$ 移到 $y^{2}$ 的左侧。

$\int y^{3} - 1 \cdot y^{2} d y = \int - x^{2} - 25 d x$

解题步骤 2.2.2.3

将 $- 1 y^{2}$ 重写为 $- y^{2}$ 。

$\int y^{3} - y^{2} d y = \int - x^{2} - 25 d x$

解题步骤 2.2.3

将单个积分拆分为多个积分。

$\int y^{3} d y + \int - y^{2} d y = \int - x^{2} - 25 d x$

解题步骤 2.2.4

根据幂法则， $y^{3}$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{4} y^{4}$ 。

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} + \int - y^{2} d y = \int - x^{2} - 25 d x$

解题步骤 2.2.5

由于 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} - \int y^{2} d y = \int - x^{2} - 25 d x$

解题步骤 2.2.6

根据幂法则， $y^{2}$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{3} y^{3}$ 。

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} - (\frac{1}{3} y^{3} + C_{2}) = \int - x^{2} - 25 d x$

解题步骤 2.2.7

化简。

$\frac{1}{4} y^{4} - \frac{1}{3} y^{3} + C_{3} = \int - x^{2} - 25 d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{4} y^{4} - \frac{1}{3} y^{3} + C_{3} = \int - x^{2} d x + \int - 25 d x$

解题步骤 2.3.2

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{4} y^{4} - \frac{1}{3} y^{3} + C_{3} = - \int x^{2} d x + \int - 25 d x$

解题步骤 2.3.3

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$\frac{1}{4} y^{4} - \frac{1}{3} y^{3} + C_{3} = - (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) + \int - 25 d x$

解题步骤 2.3.4

应用常数不变法则。

$\frac{1}{4} y^{4} - \frac{1}{3} y^{3} + C_{3} = - (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) - 25 x + C_{5}$

解题步骤 2.3.5

化简。

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解题步骤 2.3.5.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$\frac{1}{4} y^{4} - \frac{1}{3} y^{3} + C_{3} = - (\frac{x^{3}}{3} + C_{4}) - 25 x + C_{5}$

解题步骤 2.3.5.2

化简。

$\frac{1}{4} y^{4} - \frac{1}{3} y^{3} + C_{3} = - \frac{1}{3} x^{3} - 25 x + C_{6}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$\frac{1}{4} y^{4} - \frac{1}{3} y^{3} = - \frac{1}{3} x^{3} - 25 x + K$

微积分学 示例

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