微积分学示例

$\frac{d x}{d y} = \frac{y^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d x}{d y} = {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{y^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.2

约去 ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

约去公因数。

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d x}{d y} = {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{y^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.2.2

重写表达式。

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d x}{d y} = y^{2}$

解题步骤 1.3

重写该方程。

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x = y^{2} d y$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x = \int y^{2} d y$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

应用法则 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 将乘幂重写成根数。

$\int \sqrt{{(1 - x^{2})}^{1}} d x = \int y^{2} d y$

解题步骤 2.2.2

使 $x = \sin (t)$ ，其中 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 。然后使 $d x = \cos (t) d t$ 。请注意，因为 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ，所以 $\cos (t)$ 为正数。

$\int \sqrt{{(1 - \sin^{2} (t))}^{1}} \cos (t) d t = \int y^{2} d y$

解题步骤 2.2.3

化简项。

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解题步骤 2.2.3.1

化简 $\sqrt{{(1 - \sin^{2} (t))}^{1}}$ 。

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解题步骤 2.2.3.1.1

使用勾股恒等式。

$\int \sqrt{{(\cos^{2} (t))}^{1}} \cos (t) d t = \int y^{2} d y$

解题步骤 2.2.3.1.2

将 ${(\cos^{2} (t))}^{1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.3.1.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int \sqrt{{\cos (t)}^{2 \cdot 1}} \cos (t) d t = \int y^{2} d y$

解题步骤 2.2.3.1.2.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\int \sqrt{\cos^{2} (t)} \cos (t) d t = \int y^{2} d y$

解题步骤 2.2.3.1.3

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\int \cos (t) \cos (t) d t = \int y^{2} d y$

解题步骤 2.2.3.2

化简。

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解题步骤 2.2.3.2.1

对 $\cos (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \cos^{1} (t) \cos (t) d t = \int y^{2} d y$

解题步骤 2.2.3.2.2

对 $\cos (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \cos^{1} (t) \cos^{1} (t) d t = \int y^{2} d y$

解题步骤 2.2.3.2.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int {\cos (t)}^{1 + 1} d t = \int y^{2} d y$

解题步骤 2.2.3.2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int \cos^{2} (t) d t = \int y^{2} d y$

解题步骤 2.2.4

使用半角公式将 $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ 重新书写为 $\cos^{2} (t)$ 的形式。

$\int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t = \int y^{2} d y$

解题步骤 2.2.5

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t = \int y^{2} d y$

解题步骤 2.2.6

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{2} (\int d t + \int \cos (2 t) d t) = \int y^{2} d y$

解题步骤 2.2.7

应用常数不变法则。

$\frac{1}{2} (t + C_{1} + \int \cos (2 t) d t) = \int y^{2} d y$

解题步骤 2.2.8

使 $u = 2 t$ 。然后使 $d u = 2 d t$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = d t$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.2.8.1

设 $u = 2 t$ 。求 $\frac{d u}{d t}$ 。

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解题步骤 2.2.8.1.1

对 $2 t$ 求导。

$\frac{d}{d t} [2 t]$

解题步骤 2.2.8.1.2

因为 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $2 t$ 对 $t$ 的导数是 $2 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$2 \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 2.2.8.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 2.2.8.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 2.2.8.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\frac{1}{2} (t + C_{1} + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u) = \int y^{2} d y$

解题步骤 2.2.9

组合 $\cos (u)$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} (t + C_{1} + \int \frac{\cos (u)}{2} d u) = \int y^{2} d y$

解题步骤 2.2.10

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} (t + C_{1} + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u) = \int y^{2} d y$

解题步骤 2.2.11

$\cos (u)$ 对 $u$ 的积分为 $\sin (u)$ 。

$\frac{1}{2} (t + C_{1} + \frac{1}{2} (\sin (u) + C_{2})) = \int y^{2} d y$

解题步骤 2.2.12

化简。

$\frac{1}{2} (t + \frac{1}{2} \sin (u)) + C_{3} = \int y^{2} d y$

解题步骤 2.2.13

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 2.2.13.1

使用 $\arcsin (x)$ 替换所有出现的 $t$ 。

$\frac{1}{2} (\arcsin (x) + \frac{1}{2} \sin (u)) + C_{3} = \int y^{2} d y$

解题步骤 2.2.13.2

使用 $2 t$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} (\arcsin (x) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C_{3} = \int y^{2} d y$

解题步骤 2.2.13.3

使用 $\arcsin (x)$ 替换所有出现的 $t$ 。

$\frac{1}{2} (\arcsin (x) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (x))) + C_{3} = \int y^{2} d y$

解题步骤 2.2.14

化简。

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解题步骤 2.2.14.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\sin (2 \arcsin (x))$ 。

$\frac{1}{2} (\arcsin (x) + \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}) + C_{3} = \int y^{2} d y$

解题步骤 2.2.14.2

运用分配律。

$\frac{1}{2} \arcsin (x) + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2} + C_{3} = \int y^{2} d y$

解题步骤 2.2.14.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\arcsin (x)$ 。

$\frac{\arcsin (x)}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2} + C_{3} = \int y^{2} d y$

解题步骤 2.2.14.4

乘以 $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}$ 。

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解题步骤 2.2.14.4.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}$ 。

$\frac{\arcsin (x)}{2} + \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2 \cdot 2} + C_{3} = \int y^{2} d y$

解题步骤 2.2.14.4.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\arcsin (x)}{2} + \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{4} + C_{3} = \int y^{2} d y$

解题步骤 2.2.15

重新排序项。

$\frac{1}{2} \arcsin (x) + \frac{1}{4} \sin (2 \arcsin (x)) + C_{3} = \int y^{2} d y$

解题步骤 2.3

根据幂法则， $y^{2}$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{3} y^{3}$ 。

$\frac{1}{2} \arcsin (x) + \frac{1}{4} \sin (2 \arcsin (x)) + C_{3} = \frac{1}{3} y^{3} + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$\frac{1}{2} \arcsin (x) + \frac{1}{4} \sin (2 \arcsin (x)) = \frac{1}{3} y^{3} + K$

微积分学 示例

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