微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = x^{4} \sqrt{x^{3}}$ , $y (0) = 0$

解题步骤 1

重写该方程。

$d y = x^{4} \sqrt{x^{3}} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int x^{4} \sqrt{x^{3}} d x$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \int x^{4} \sqrt{x^{3}} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

化简。

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解题步骤 2.3.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x^{3}}$ 重写成 $x^{\frac{3}{2}}$ 。

$y + C_{1} = \int x^{4} x^{\frac{3}{2}} d x$

解题步骤 2.3.1.2

通过指数相加将 $x^{4}$ 乘以 $x^{\frac{3}{2}}$ 。

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解题步骤 2.3.1.2.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y + C_{1} = \int x^{4 + \frac{3}{2}} d x$

解题步骤 2.3.1.2.2

要将 $4$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y + C_{1} = \int x^{4 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}} d x$

解题步骤 2.3.1.2.3

组合 $4$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$y + C_{1} = \int x^{\frac{4 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}} d x$

解题步骤 2.3.1.2.4

在公分母上合并分子。

$y + C_{1} = \int x^{\frac{4 \cdot 2 + 3}{2}} d x$

解题步骤 2.3.1.2.5

化简分子。

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解题步骤 2.3.1.2.5.1

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$y + C_{1} = \int x^{\frac{8 + 3}{2}} d x$

解题步骤 2.3.1.2.5.2

将 $8$ 和 $3$ 相加。

$y + C_{1} = \int x^{\frac{11}{2}} d x$

解题步骤 2.3.2

根据幂法则， $x^{\frac{11}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{2}{13} x^{\frac{13}{2}}$ 。

$y + C_{1} = \frac{2}{13} x^{\frac{13}{2}} + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$y = \frac{2}{13} x^{\frac{13}{2}} + K$

解题步骤 3

使用初始条件，通过将 $0$ 代入 $x$ ，将 $0$ 代入 $y$ ，在 $y = \frac{2}{13} x^{\frac{13}{2}} + K$ 中求 $K$ 的值。

$0 = \frac{2}{13} \cdot 0^{\frac{13}{2}} + K$

解题步骤 4

求解 $K$ 。

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解题步骤 4.1

将方程重写为 $\frac{2}{13} \cdot 0^{\frac{13}{2}} + K = 0$ 。

$\frac{2}{13} \cdot 0^{\frac{13}{2}} + K = 0$

解题步骤 4.2

化简 $\frac{2}{13} \cdot 0^{\frac{13}{2}} + K$ 。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$\frac{2}{13} \cdot {(0^{2})}^{\frac{13}{2}} + K = 0$

解题步骤 4.2.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{2}{13} \cdot 0^{2 (\frac{13}{2})} + K = 0$

解题步骤 4.2.1.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.3.1

约去公因数。

$\frac{2}{13} \cdot 0^{2 (\frac{13}{2})} + K = 0$

解题步骤 4.2.1.3.2

重写表达式。

$\frac{2}{13} \cdot 0^{13} + K = 0$

解题步骤 4.2.1.4

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{2}{13} \cdot 0 + K = 0$

解题步骤 4.2.1.5

将 $\frac{2}{13}$ 乘以 $0$ 。

$0 + K = 0$

解题步骤 4.2.2

将 $0$ 和 $K$ 相加。

$K = 0$

解题步骤 5

代入 $0$ 替换 $y = \frac{2}{13} x^{\frac{13}{2}} + K$ 中的 $K$ 并化简。

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解题步骤 5.1

代入 $0$ 替换 $K$ 。

$y = \frac{2}{13} x^{\frac{13}{2}} + 0$

解题步骤 5.2

将 $\frac{2}{13} x^{\frac{13}{2}}$ 和 $0$ 相加。

$y = \frac{2}{13} x^{\frac{13}{2}}$

解题步骤 5.3

组合 $\frac{2}{13}$ 和 $x^{\frac{13}{2}}$ 。

$y = \frac{2 x^{\frac{13}{2}}}{13}$

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