微积分学示例

$x (v^{2} - 1) d v + (v^{3} - 3 v) d x = 0$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $(v^{3} - 3 v) d x$ 。

$x (v^{2} - 1) d v = - (v^{3} - 3 v) d x$

解题步骤 2

两边同时乘以 $\frac{1}{x (v^{3} - 3 v)}$ 。

$\frac{1}{x (v^{3} - 3 v)} (x (v^{2} - 1)) d v = \frac{1}{x (v^{3} - 3 v)} (- (v^{3} - 3 v)) d x$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.1

约去公因数。

$\frac{1}{x (v^{3} - 3 v)} (x (v^{2} - 1)) d v = \frac{1}{x (v^{3} - 3 v)} (- (v^{3} - 3 v)) d x$

解题步骤 3.1.2

重写表达式。

$\frac{1}{v^{3} - 3 v} (v^{2} - 1) d v = \frac{1}{x (v^{3} - 3 v)} (- (v^{3} - 3 v)) d x$

解题步骤 3.2

从 $v^{3} - 3 v$ 中分解出因数 $v$ 。

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解题步骤 3.2.1

从 $v^{3}$ 中分解出因数 $v$ 。

$\frac{1}{v \cdot v^{2} - 3 v} (v^{2} - 1) d v = \frac{1}{x (v^{3} - 3 v)} (- (v^{3} - 3 v)) d x$

解题步骤 3.2.2

从 $- 3 v$ 中分解出因数 $v$ 。

$\frac{1}{v \cdot v^{2} + v \cdot - 3} (v^{2} - 1) d v = \frac{1}{x (v^{3} - 3 v)} (- (v^{3} - 3 v)) d x$

解题步骤 3.2.3

从 $v \cdot v^{2} + v \cdot - 3$ 中分解出因数 $v$ 。

$\frac{1}{v (v^{2} - 3)} (v^{2} - 1) d v = \frac{1}{x (v^{3} - 3 v)} (- (v^{3} - 3 v)) d x$

解题步骤 3.3

将 $\frac{1}{v (v^{2} - 3)}$ 乘以 $v^{2} - 1$ 。

$\frac{v^{2} - 1}{v (v^{2} - 3)} d v = \frac{1}{x (v^{3} - 3 v)} (- (v^{3} - 3 v)) d x$

解题步骤 3.4

化简分子。

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解题步骤 3.4.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{v^{2} - 1^{2}}{v (v^{2} - 3)} d v = \frac{1}{x (v^{3} - 3 v)} (- (v^{3} - 3 v)) d x$

解题步骤 3.4.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = v$ 和 $b = 1$ 。

$\frac{(v + 1) (v - 1)}{v (v^{2} - 3)} d v = \frac{1}{x (v^{3} - 3 v)} (- (v^{3} - 3 v)) d x$

解题步骤 3.5

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{(v + 1) (v - 1)}{v (v^{2} - 3)} d v = - \frac{1}{x (v^{3} - 3 v)} (v^{3} - 3 v) d x$

解题步骤 3.6

约去 $v^{3} - 3 v$ 的公因数。

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解题步骤 3.6.1

将 $- \frac{1}{x (v^{3} - 3 v)}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{(v + 1) (v - 1)}{v (v^{2} - 3)} d v = \frac{- 1}{x (v^{3} - 3 v)} (v^{3} - 3 v) d x$

解题步骤 3.6.2

从 $x (v^{3} - 3 v)$ 中分解出因数 $v^{3} - 3 v$ 。

$\frac{(v + 1) (v - 1)}{v (v^{2} - 3)} d v = \frac{- 1}{(v^{3} - 3 v) x} (v^{3} - 3 v) d x$

解题步骤 3.6.3

约去公因数。

$\frac{(v + 1) (v - 1)}{v (v^{2} - 3)} d v = \frac{- 1}{(v^{3} - 3 v) x} (v^{3} - 3 v) d x$

解题步骤 3.6.4

重写表达式。

$\frac{(v + 1) (v - 1)}{v (v^{2} - 3)} d v = \frac{- 1}{x} d x$

解题步骤 3.7

将负号移到分数的前面。

$\frac{(v + 1) (v - 1)}{v (v^{2} - 3)} d v = - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4

对两边积分。

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解题步骤 4.1

在两边建立积分。

$\int \frac{(v + 1) (v - 1)}{v (v^{2} - 3)} d v = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4.2

对左边积分。

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解题步骤 4.2.1

用部分分式分解写出分数。

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解题步骤 4.2.1.1

分解分数并乘以公分母。

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解题步骤 4.2.1.1.1

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于因式为二阶，分子中必须要有 $2$ 项。分子中必须包含的项数始终等于分母中的因式阶数。

$\frac{A}{v} + \frac{B v + C}{v^{2} - 3}$

解题步骤 4.2.1.1.2

将方程中的每个分数乘以原表达式中的分母。在本例中，分母为 $v (v^{2} - 3)$ 。

$\frac{(v + 1) (v - 1) (v (v^{2} - 3))}{v (v^{2} - 3)} = \frac{A (v (v^{2} - 3))}{v} + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

解题步骤 4.2.1.1.3

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 4.2.1.1.3.1

约去 $v$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.1.3.1.1

约去公因数。

$\frac{(v + 1) (v - 1) (v (v^{2} - 3))}{v (v^{2} - 3)} = \frac{A (v (v^{2} - 3))}{v} + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

解题步骤 4.2.1.1.3.1.2

重写表达式。

$\frac{(v + 1) (v - 1) (v^{2} - 3)}{v^{2} - 3} = \frac{A (v (v^{2} - 3))}{v} + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

解题步骤 4.2.1.1.3.2

约去 $v^{2} - 3$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.1.3.2.1

约去公因数。

$\frac{(v + 1) (v - 1) (v^{2} - 3)}{v^{2} - 3} = \frac{A (v (v^{2} - 3))}{v} + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

解题步骤 4.2.1.1.3.2.2

用 $(v + 1) (v - 1)$ 除以 $1$ 。

$(v + 1) (v - 1) = \frac{A (v (v^{2} - 3))}{v} + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

解题步骤 4.2.1.1.4

使用 FOIL 方法展开 $(v + 1) (v - 1)$ 。

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解题步骤 4.2.1.1.4.1

运用分配律。

$v (v - 1) + 1 (v - 1) = \frac{A (v (v^{2} - 3))}{v} + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

解题步骤 4.2.1.1.4.2

运用分配律。

$v \cdot v + v \cdot - 1 + 1 (v - 1) = \frac{A (v (v^{2} - 3))}{v} + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

解题步骤 4.2.1.1.4.3

运用分配律。

$v \cdot v + v \cdot - 1 + 1 v + 1 \cdot - 1 = \frac{A (v (v^{2} - 3))}{v} + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

解题步骤 4.2.1.1.5

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.2.1.1.5.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1.5.1.1

将 $v$ 乘以 $v$ 。

$v^{2} + v \cdot - 1 + 1 v + 1 \cdot - 1 = \frac{A (v (v^{2} - 3))}{v} + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

解题步骤 4.2.1.1.5.1.2

将 $- 1$ 移到 $v$ 的左侧。

$v^{2} - 1 \cdot v + 1 v + 1 \cdot - 1 = \frac{A (v (v^{2} - 3))}{v} + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

解题步骤 4.2.1.1.5.1.3

将 $- 1 v$ 重写为 $- v$ 。

$v^{2} - v + 1 v + 1 \cdot - 1 = \frac{A (v (v^{2} - 3))}{v} + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

解题步骤 4.2.1.1.5.1.4

将 $v$ 乘以 $1$ 。

$v^{2} - v + v + 1 \cdot - 1 = \frac{A (v (v^{2} - 3))}{v} + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

解题步骤 4.2.1.1.5.1.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$v^{2} - v + v - 1 = \frac{A (v (v^{2} - 3))}{v} + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

解题步骤 4.2.1.1.5.2

将 $- v$ 和 $v$ 相加。

$v^{2} + 0 - 1 = \frac{A (v (v^{2} - 3))}{v} + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

解题步骤 4.2.1.1.5.3

将 $v^{2}$ 和 $0$ 相加。

$v^{2} - 1 = \frac{A (v (v^{2} - 3))}{v} + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

解题步骤 4.2.1.1.6

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1.6.1

约去 $v$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.1.6.1.1

约去公因数。

$v^{2} - 1 = \frac{A (v (v^{2} - 3))}{v} + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

解题步骤 4.2.1.1.6.1.2

用 $A (v^{2} - 3)$ 除以 $1$ 。

$v^{2} - 1 = A (v^{2} - 3) + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

解题步骤 4.2.1.1.6.2

运用分配律。

$v^{2} - 1 = A v^{2} + A \cdot - 3 + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

解题步骤 4.2.1.1.6.3

将 $- 3$ 移到 $A$ 的左侧。

$v^{2} - 1 = A v^{2} - 3 \cdot A + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

解题步骤 4.2.1.1.6.4

约去 $v^{2} - 3$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.1.6.4.1

约去公因数。

$v^{2} - 1 = A v^{2} - 3 A + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

解题步骤 4.2.1.1.6.4.2

用 $(B v + C) (v)$ 除以 $1$ 。

$v^{2} - 1 = A v^{2} - 3 A + (B v + C) (v)$

解题步骤 4.2.1.1.6.5

运用分配律。

$v^{2} - 1 = A v^{2} - 3 A + B v \cdot v + C v$

解题步骤 4.2.1.1.6.6

通过指数相加将 $v$ 乘以 $v$ 。

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解题步骤 4.2.1.1.6.6.1

移动 $v$ 。

$v^{2} - 1 = A v^{2} - 3 A + B (v \cdot v) + C v$

解题步骤 4.2.1.1.6.6.2

将 $v$ 乘以 $v$ 。

$v^{2} - 1 = A v^{2} - 3 A + B v^{2} + C v$

解题步骤 4.2.1.1.7

移动 $- 3 A$ 。

$v^{2} - 1 = A v^{2} + B v^{2} + C v - 3 A$

解题步骤 4.2.1.2

为部分分式变量创建方程, 并使用它们建立方程组。

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解题步骤 4.2.1.2.1

使方程两边 $v^{2}$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$1 = A + B$

解题步骤 4.2.1.2.2

使方程两边 $v$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$0 = C$

解题步骤 4.2.1.2.3

使方程两边不含 $v$ 的各项系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$- 1 = - 3 A$

解题步骤 4.2.1.2.4

建立方程组以求部分分式的系数。

$1 = A + B$

$0 = C$

$- 1 = - 3 A$

$1 = A + B$

$0 = C$

$- 1 = - 3 A$

解题步骤 4.2.1.3

求解方程组。

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解题步骤 4.2.1.3.1

将方程重写为 $C = 0$ 。

$C = 0$

$1 = A + B$

$- 1 = - 3 A$

解题步骤 4.2.1.3.2

将每个方程中所有出现的 $C$ 替换成 $0$ 。

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解题步骤 4.2.1.3.2.1

将方程重写为 $- 3 A = - 1$ 。

$- 3 A = - 1$

$C = 0$

$1 = A + B$

解题步骤 4.2.1.3.2.2

将 $- 3 A = - 1$ 中的每一项除以 $- 3$ 并化简。

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解题步骤 4.2.1.3.2.2.1

将 $- 3 A = - 1$ 中的每一项都除以 $- 3$ 。

$\frac{- 3 A}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

$C = 0$

$1 = A + B$

解题步骤 4.2.1.3.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.1.3.2.2.2.1

约去 $- 3$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.3.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 3 A}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

$C = 0$

$1 = A + B$

解题步骤 4.2.1.3.2.2.2.1.2

用 $A$ 除以 $1$ 。

$A = \frac{- 1}{- 3}$

$C = 0$

$1 = A + B$

$A = \frac{- 1}{- 3}$

$C = 0$

$1 = A + B$

$A = \frac{- 1}{- 3}$

$C = 0$

$1 = A + B$

解题步骤 4.2.1.3.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 4.2.1.3.2.2.3.1

将两个负数相除得到一个正数。

$A = \frac{1}{3}$

$C = 0$

$1 = A + B$

$A = \frac{1}{3}$

$C = 0$

$1 = A + B$

$A = \frac{1}{3}$

$C = 0$

$1 = A + B$

$A = \frac{1}{3}$

$C = 0$

$1 = A + B$

解题步骤 4.2.1.3.3

将每个方程中所有出现的 $A$ 替换成 $\frac{1}{3}$ 。

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解题步骤 4.2.1.3.3.1

使用 $\frac{1}{3}$ 替换 $1 = A + B$ 中所有出现的 $A$ .

$1 = (\frac{1}{3}) + B$

$A = \frac{1}{3}$

$C = 0$

解题步骤 4.2.1.3.3.2

化简右边。

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解题步骤 4.2.1.3.3.2.1

去掉圆括号。

$1 = \frac{1}{3} + B$

$A = \frac{1}{3}$

$C = 0$

$1 = \frac{1}{3} + B$

$A = \frac{1}{3}$

$C = 0$

$1 = \frac{1}{3} + B$

$A = \frac{1}{3}$

$C = 0$

解题步骤 4.2.1.3.4

在 $1 = \frac{1}{3} + B$ 中求解 $B$ 。

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解题步骤 4.2.1.3.4.1

将方程重写为 $\frac{1}{3} + B = 1$ 。

$\frac{1}{3} + B = 1$

$A = \frac{1}{3}$

$C = 0$

解题步骤 4.2.1.3.4.2

将所有不包含 $B$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 4.2.1.3.4.2.1

从等式两边同时减去 $\frac{1}{3}$ 。

$B = 1 - \frac{1}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$C = 0$

解题步骤 4.2.1.3.4.2.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$B = \frac{3}{3} - \frac{1}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$C = 0$

解题步骤 4.2.1.3.4.2.3

在公分母上合并分子。

$B = \frac{3 - 1}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$C = 0$

解题步骤 4.2.1.3.4.2.4

从 $3$ 中减去 $1$ 。

$B = \frac{2}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$C = 0$

$B = \frac{2}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$C = 0$

$B = \frac{2}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$C = 0$

解题步骤 4.2.1.3.5

求解方程组。

$B = \frac{2}{3} A = \frac{1}{3} C = 0$

解题步骤 4.2.1.3.6

列出所有解。

$B = \frac{2}{3}, A = \frac{1}{3}, C = 0$

解题步骤 4.2.1.4

将 $\frac{A}{v} + \frac{B v + C}{v^{2} - 3}$ 中的每个部分分式的系数替换为求得的 $A$ 、 $B$ 和 $C$ 的值。

$\frac{\frac{1}{3}}{v} + \frac{\frac{2}{3 v} + 0}{v^{2} - 3}$

解题步骤 4.2.1.5

化简。

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解题步骤 4.2.1.5.1

去掉圆括号。

$\frac{\frac{1}{3}}{v} + \frac{(\frac{2}{3}) v + 0}{v^{2} - 3}$

解题步骤 4.2.1.5.2

化简分子。

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解题步骤 4.2.1.5.2.1

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $v$ 。

$\frac{\frac{1}{3}}{v} + \frac{\frac{2 v}{3} + 0}{v^{2} - 3}$

解题步骤 4.2.1.5.2.2

将 $\frac{2 v}{3}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\frac{1}{3}}{v} + \frac{\frac{2 v}{3}}{v^{2} - 3}$

解题步骤 4.2.1.5.3

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{\frac{1}{3}}{v} + \frac{2 v}{3} \cdot \frac{1}{v^{2} - 3}$

解题步骤 4.2.1.5.4

将 $\frac{2 v}{3}$ 乘以 $\frac{1}{v^{2} - 3}$ 。

$\frac{\frac{1}{3}}{v} + \frac{2 v}{3 (v^{2} - 3)}$

解题步骤 4.2.1.5.5

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{v} + \frac{2 v}{3 (v^{2} - 3)}$

解题步骤 4.2.1.5.6

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{1}{v}$ 。

$\int \frac{1}{3 v} + \frac{2 v}{3 (v^{2} - 3)} d v = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4.2.2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int \frac{1}{3 v} d v + \int \frac{2 v}{3 (v^{2} - 3)} d v = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4.2.3

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $v$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{v} d v + \int \frac{2 v}{3 (v^{2} - 3)} d v = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4.2.4

$\frac{1}{v}$ 对 $v$ 的积分为 $\ln (| v |)$ 。

$\frac{1}{3} (\ln (| v |) + C_{1}) + \int \frac{2 v}{3 (v^{2} - 3)} d v = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4.2.5

由于 $\frac{2}{3}$ 对于 $v$ 是常数，所以将 $\frac{2}{3}$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} (\ln (| v |) + C_{1}) + \frac{2}{3} \int \frac{v}{v^{2} - 3} d v = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4.2.6

使 $u = v^{2} - 3$ 。然后使 $d u = 2 v d v$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = v d v$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 4.2.6.1

设 $u = v^{2} - 3$ 。求 $\frac{d u}{d v}$ 。

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解题步骤 4.2.6.1.1

对 $v^{2} - 3$ 求导。

$\frac{d}{d v} [v^{2} - 3]$

解题步骤 4.2.6.1.2

根据加法法则， $v^{2} - 3$ 对 $v$ 的导数是 $\frac{d}{d v} [v^{2}] + \frac{d}{d v} [- 3]$ 。

$\frac{d}{d v} [v^{2}] + \frac{d}{d v} [- 3]$

解题步骤 4.2.6.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ 等于 $n v^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 v + \frac{d}{d v} [- 3]$

解题步骤 4.2.6.1.4

因为 $- 3$ 对于 $v$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $v$ 的导数为 $0$ 。

$2 v + 0$

解题步骤 4.2.6.1.5

将 $2 v$ 和 $0$ 相加。

$2 v$

解题步骤 4.2.6.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\frac{1}{3} (\ln (| v |) + C_{1}) + \frac{2}{3} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4.2.7

化简。

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解题步骤 4.2.7.1

将 $\frac{1}{u}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{3} (\ln (| v |) + C_{1}) + \frac{2}{3} \int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4.2.7.2

将 $2$ 移到 $u$ 的左侧。

$\frac{1}{3} (\ln (| v |) + C_{1}) + \frac{2}{3} \int \frac{1}{2 u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4.2.8

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} (\ln (| v |) + C_{1}) + \frac{2}{3} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4.2.9

化简。

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解题步骤 4.2.9.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{2}{3}$ 。

$\frac{1}{3} (\ln (| v |) + C_{1}) + \frac{2}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4.2.9.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1}{3} (\ln (| v |) + C_{1}) + \frac{2}{6} \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4.2.9.3

约去 $2$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.9.3.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{3} (\ln (| v |) + C_{1}) + \frac{2 (1)}{6} \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4.2.9.3.2

约去公因数。

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解题步骤 4.2.9.3.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{3} (\ln (| v |) + C_{1}) + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4.2.9.3.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{3} (\ln (| v |) + C_{1}) + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4.2.9.3.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{3} (\ln (| v |) + C_{1}) + \frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4.2.10

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$\frac{1}{3} (\ln (| v |) + C_{1}) + \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{2}) = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4.2.11

化简。

$\frac{1}{3} \ln (| v |) + \frac{1}{3} \ln (| u |) + C_{3} = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4.2.12

使用 $v^{2} - 3$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{3} \ln (| v |) + \frac{1}{3} \ln (| v^{2} - 3 |) + C_{3} = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4.3

对右边积分。

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解题步骤 4.3.1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} \ln (| v |) + \frac{1}{3} \ln (| v^{2} - 3 |) + C_{3} = - \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4.3.2

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$\frac{1}{3} \ln (| v |) + \frac{1}{3} \ln (| v^{2} - 3 |) + C_{3} = - (\ln (| x |) + C_{4})$

解题步骤 4.3.3

化简。

$\frac{1}{3} \ln (| v |) + \frac{1}{3} \ln (| v^{2} - 3 |) + C_{3} = - \ln (| x |) + C_{4}$

解题步骤 4.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\frac{1}{3} \ln (| v |) + \frac{1}{3} \ln (| v^{2} - 3 |) = - \ln (| x |) + C$

微积分学 示例

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