微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = y^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}}$ 。

$\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} y^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 1.2

约去 $y^{\frac{2}{3}}$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

约去公因数。

$\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} y^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 1.2.2

重写表达式。

$\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} \frac{d y}{d x} = 1$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} d y = 1 d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} d y = \int d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.2.1.1

通过将 $y^{\frac{2}{3}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int {(y^{\frac{2}{3}})}^{- 1} d y = \int d x$

解题步骤 2.2.1.2

将 ${(y^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int y^{\frac{2}{3} \cdot - 1} d y = \int d x$

解题步骤 2.2.1.2.2

乘以 $\frac{2}{3} \cdot - 1$ 。

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解题步骤 2.2.1.2.2.1

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $- 1$ 。

$\int y^{\frac{2 \cdot - 1}{3}} d y = \int d x$

解题步骤 2.2.1.2.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\int y^{\frac{- 2}{3}} d y = \int d x$

解题步骤 2.2.1.2.3

将负号移到分数的前面。

$\int y^{- \frac{2}{3}} d y = \int d x$

解题步骤 2.2.2

根据幂法则， $y^{- \frac{2}{3}}$ 对 $y$ 的积分是 $3 y^{\frac{1}{3}}$ 。

$3 y^{\frac{1}{3}} + C_{1} = \int d x$

解题步骤 2.3

应用常数不变法则。

$3 y^{\frac{1}{3}} + C_{1} = x + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$3 y^{\frac{1}{3}} = x + K$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将 $3 y^{\frac{1}{3}} = x + K$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 3.1.1

将 $3 y^{\frac{1}{3}} = x + K$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 y^{\frac{1}{3}}}{3} = \frac{x}{3} + \frac{K}{3}$

解题步骤 3.1.2

化简左边。

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解题步骤 3.1.2.1

约去公因数。

$\frac{3 y^{\frac{1}{3}}}{3} = \frac{x}{3} + \frac{K}{3}$

解题步骤 3.1.2.2

用 $y^{\frac{1}{3}}$ 除以 $1$ 。

$y^{\frac{1}{3}} = \frac{x}{3} + \frac{K}{3}$

解题步骤 3.2

将方程两边同时进行 $3$ 次方运算以消去左边的分数指数。

${(y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(\frac{x}{3} + \frac{K}{3})}^{3}$

解题步骤 3.3

化简指数。

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解题步骤 3.3.1

化简左边。

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解题步骤 3.3.1.1

化简 ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 。

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解题步骤 3.3.1.1.1

将 ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.3.1.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{x}{3} + \frac{K}{3})}^{3}$

解题步骤 3.3.1.1.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1.1.1.2.1

约去公因数。

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{x}{3} + \frac{K}{3})}^{3}$

解题步骤 3.3.1.1.1.2.2

重写表达式。

$y^{1} = {(\frac{x}{3} + \frac{K}{3})}^{3}$

解题步骤 3.3.1.1.2

化简。

$y = {(\frac{x}{3} + \frac{K}{3})}^{3}$

解题步骤 3.3.2

化简右边。

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解题步骤 3.3.2.1

化简 ${(\frac{x}{3} + \frac{K}{3})}^{3}$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.1

使用二项式定理。

$y = {(\frac{x}{3})}^{3} + 3 {(\frac{x}{3})}^{2} \frac{K}{3} + 3 \frac{x}{3} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

解题步骤 3.3.2.1.2

化简每一项。

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解题步骤 3.3.2.1.2.1

对 $\frac{x}{3}$ 运用乘积法则。

$y = \frac{x^{3}}{3^{3}} + 3 {(\frac{x}{3})}^{2} \frac{K}{3} + 3 \frac{x}{3} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

解题步骤 3.3.2.1.2.2

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$y = \frac{x^{3}}{27} + 3 {(\frac{x}{3})}^{2} \frac{K}{3} + 3 \frac{x}{3} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

解题步骤 3.3.2.1.2.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.2.3.1

从 $3 {(\frac{x}{3})}^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$y = \frac{x^{3}}{27} + 3 ({(\frac{x}{3})}^{2}) \frac{K}{3} + 3 \frac{x}{3} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

解题步骤 3.3.2.1.2.3.2

约去公因数。

$y = \frac{x^{3}}{27} + 3 {(\frac{x}{3})}^{2} \frac{K}{3} + 3 \frac{x}{3} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

解题步骤 3.3.2.1.2.3.3

重写表达式。

$y = \frac{x^{3}}{27} + {(\frac{x}{3})}^{2} K + 3 \frac{x}{3} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

解题步骤 3.3.2.1.2.4

对 $\frac{x}{3}$ 运用乘积法则。

$y = \frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2}}{3^{2}} K + 3 \frac{x}{3} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

解题步骤 3.3.2.1.2.5

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2}}{9} K + 3 \frac{x}{3} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

解题步骤 3.3.2.1.2.6

组合 $\frac{x^{2}}{9}$ 和 $K$ 。

$y = \frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} K}{9} + 3 \frac{x}{3} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

解题步骤 3.3.2.1.2.7

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.2.7.1

约去公因数。

$y = \frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} K}{9} + 3 \frac{x}{3} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

解题步骤 3.3.2.1.2.7.2

重写表达式。

$y = \frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} K}{9} + x {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

解题步骤 3.3.2.1.2.8

对 $\frac{K}{3}$ 运用乘积法则。

$y = \frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} K}{9} + x \frac{K^{2}}{3^{2}} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

解题步骤 3.3.2.1.2.9

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} K}{9} + x \frac{K^{2}}{9} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

解题步骤 3.3.2.1.2.10

组合 $x$ 和 $\frac{K^{2}}{9}$ 。

$y = \frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} K}{9} + \frac{x K^{2}}{9} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

解题步骤 3.3.2.1.2.11

对 $\frac{K}{3}$ 运用乘积法则。

$y = \frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} K}{9} + \frac{x K^{2}}{9} + \frac{K^{3}}{3^{3}}$

解题步骤 3.3.2.1.2.12

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$y = \frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} K}{9} + \frac{x K^{2}}{9} + \frac{K^{3}}{27}$

解题步骤 3.4

化简 $\frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} K}{9} + \frac{x K^{2}}{9} + \frac{K^{3}}{27}$ 。

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解题步骤 3.4.1

将 $x^{2}$ 和 $K$ 重新排序。

$y = \frac{x^{3}}{27} + \frac{K x^{2}}{9} + \frac{x K^{2}}{9} + \frac{K^{3}}{27}$

解题步骤 3.4.2

将 $x$ 和 $K^{2}$ 重新排序。

$y = \frac{x^{3}}{27} + \frac{K x^{2}}{9} + \frac{K^{2} x}{9} + \frac{K^{3}}{27}$

解题步骤 3.4.3

移动 $\frac{x^{3}}{27}$ 。

$y = \frac{K x^{2}}{9} + \frac{K^{2} x}{9} + \frac{K^{3}}{27} + \frac{x^{3}}{27}$

解题步骤 3.4.4

移动 $\frac{K x^{2}}{9}$ 。

$y = \frac{K^{2} x}{9} + \frac{K^{3}}{27} + \frac{K x^{2}}{9} + \frac{x^{3}}{27}$

解题步骤 3.4.5

将 $\frac{K^{2} x}{9}$ 和 $\frac{K^{3}}{27}$ 重新排序。

$y = \frac{K^{3}}{27} + \frac{K^{2} x}{9} + \frac{K x^{2}}{9} + \frac{x^{3}}{27}$

解题步骤 4

化简积分常数。

$y = K + \frac{K x}{9} + \frac{K x^{2}}{9} + \frac{x^{3}}{27}$

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