微积分学示例

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 4 x^{3} + 3 x^{2} + 1$

解题步骤 1

两边对 $x$ 积分。

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解题步骤 1.1

一阶导数等于二阶导数对 $x$ 的积分。

$\frac{d y}{d x} = \int 4 x^{3} + 3 x^{2} + 1 d x$

解题步骤 1.2

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{d y}{d x} = \int 4 x^{3} d x + \int 3 x^{2} d x + \int d x$

解题步骤 1.3

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$\frac{d y}{d x} = 4 \int x^{3} d x + \int 3 x^{2} d x + \int d x$

解题步骤 1.4

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$\frac{d y}{d x} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{1}) + \int 3 x^{2} d x + \int d x$

解题步骤 1.5

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$\frac{d y}{d x} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{1}) + 3 \int x^{2} d x + \int d x$

解题步骤 1.6

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$\frac{d y}{d x} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{1}) + 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int d x$

解题步骤 1.7

应用常数不变法则。

$\frac{d y}{d x} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{1}) + 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + x + C_{3}$

解题步骤 1.8

化简。

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解题步骤 1.8.1

化简。

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解题步骤 1.8.1.1

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $x^{4}$ 。

$\frac{d y}{d x} = 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{1}) + 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + x + C_{3}$

解题步骤 1.8.1.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$\frac{d y}{d x} = 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{1}) + 3 (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) + x + C_{3}$

解题步骤 1.8.2

化简。

$\frac{d y}{d x} = x^{4} + x^{3} + x + C_{4}$

解题步骤 2

重写该方程。

$d y = (x^{4} + x^{3} + x + C_{4}) d x$

解题步骤 3

对两边积分。

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解题步骤 3.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int x^{4} + x^{3} + x + C_{4} d x$

解题步骤 3.2

应用常数不变法则。

$y + C_{5} = \int x^{4} + x^{3} + x + C_{4} d x$

解题步骤 3.3

对右边积分。

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解题步骤 3.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$y + C_{5} = \int x^{4} d x + \int x^{3} d x + \int x d x + \int C_{4} d x$

解题步骤 3.3.2

根据幂法则， $x^{4}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{5} x^{5}$ 。

$y + C_{5} = \frac{1}{5} x^{5} + C_{6} + \int x^{3} d x + \int x d x + \int C_{4} d x$

解题步骤 3.3.3

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$y + C_{5} = \frac{1}{5} x^{5} + C_{6} + \frac{1}{4} x^{4} + C_{7} + \int x d x + \int C_{4} d x$

解题步骤 3.3.4

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$y + C_{5} = \frac{1}{5} x^{5} + C_{6} + \frac{1}{4} x^{4} + C_{7} + \frac{1}{2} x^{2} + C_{8} + \int C_{4} d x$

解题步骤 3.3.5

应用常数不变法则。

$y + C_{5} = \frac{1}{5} x^{5} + C_{6} + \frac{1}{4} x^{4} + C_{7} + \frac{1}{2} x^{2} + C_{8} + C_{4} x + C_{9}$

解题步骤 3.3.6

化简。

$y + C_{5} = \frac{1}{5} x^{5} + \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} x + C_{10}$

解题步骤 3.4

将右边的积分常数分组为 $D$ 。

$y = \frac{1}{5} x^{5} + \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{2} x^{2} + C x + D$

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