微积分学示例

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + \frac{d y}{d x} = x$

解题步骤 1

设 $v = \frac{d y}{d x}$ 。然后 $\frac{d v}{d x} = \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ 。将 $v$ 代入 $\frac{d y}{d x}$ ，将 $\frac{d v}{d x}$ 代入 $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ ，得到一个因变量 $v$ 和自变量 $x$ 的微分方程。

$\frac{d v}{d x} + v = x$

解题步骤 2

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = 1$ 。

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解题步骤 2.1

建立积分。

$e^{\int d x}$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$e^{x + C_{1}}$

解题步骤 2.3

去掉积分常数。

$e^{x}$

解题步骤 3

每一项乘以积分因数 $e^{x}$ 。

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解题步骤 3.1

每一项乘以 $e^{x}$ 。

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = e^{x} x$

解题步骤 3.2

将 $e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = e^{x} x$ 中的因式重新排序。

$e^{x} \frac{d v}{d x} + v e^{x} = x e^{x}$

解题步骤 4

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [e^{x} v] = x e^{x}$

解题步骤 5

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} v] d x = \int x e^{x} d x$

解题步骤 6

对左边积分。

$e^{x} v = \int x e^{x} d x$

解题步骤 7

对右边积分。

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解题步骤 7.1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = e^{x}$ 。

$e^{x} v = x e^{x} - \int e^{x} d x$

解题步骤 7.2

$e^{x}$ 对 $x$ 的积分为 $e^{x}$ 。

$e^{x} v = x e^{x} - (e^{x} + C_{2})$

解题步骤 7.3

化简。

$e^{x} v = x e^{x} - e^{x} + C_{2}$

解题步骤 8

将 $e^{x} v = x e^{x} - e^{x} + C_{2}$ 中的每一项除以 $e^{x}$ 并化简。

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解题步骤 8.1

将 $e^{x} v = x e^{x} - e^{x} + C_{2}$ 中的每一项都除以 $e^{x}$ 。

$\frac{e^{x} v}{e^{x}} = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

解题步骤 8.2

化简左边。

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解题步骤 8.2.1

约去 $e^{x}$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.1.1

约去公因数。

$\frac{e^{x} v}{e^{x}} = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

解题步骤 8.2.1.2

用 $v$ 除以 $1$ 。

$v = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

解题步骤 8.3

化简右边。

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解题步骤 8.3.1

化简每一项。

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解题步骤 8.3.1.1

约去 $e^{x}$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.1.1.1

约去公因数。

$v = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

解题步骤 8.3.1.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$v = x + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

解题步骤 8.3.1.2

约去 $e^{x}$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.1.2.1

约去公因数。

$v = x + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

解题步骤 8.3.1.2.2

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$v = x - 1 + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

解题步骤 9

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换所有出现的 $v$ 。

$\frac{d y}{d x} = x - 1 + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

解题步骤 10

重写该方程。

$d y = (x - 1 + \frac{C_{2}}{e^{x}}) d x$

解题步骤 11

对两边积分。

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解题步骤 11.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int x - 1 + \frac{C_{2}}{e^{x}} d x$

解题步骤 11.2

应用常数不变法则。

$y + C_{3} = \int x - 1 + \frac{C_{2}}{e^{x}} d x$

解题步骤 11.3

对右边积分。

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解题步骤 11.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$y + C_{3} = \int x d x + \int - 1 d x + \int \frac{C_{2}}{e^{x}} d x$

解题步骤 11.3.2

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + \int - 1 d x + \int \frac{C_{2}}{e^{x}} d x$

解题步骤 11.3.3

应用常数不变法则。

$y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} - x + C_{5} + \int \frac{C_{2}}{e^{x}} d x$

解题步骤 11.3.4

由于 $C_{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $C_{2}$ 移到积分外。

$y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} - x + C_{5} + C_{2} \int \frac{1}{e^{x}} d x$

解题步骤 11.3.5

化简表达式。

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解题步骤 11.3.5.1

将 $e^{x}$ 的指数取反来将其从分母中消除。

$y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} - x + C_{5} + C_{2} \int 1 {(e^{x})}^{- 1} d x$

解题步骤 11.3.5.2

化简。

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解题步骤 11.3.5.2.1

将 ${(e^{x})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 11.3.5.2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} - x + C_{5} + C_{2} \int 1 e^{x \cdot - 1} d x$

解题步骤 11.3.5.2.1.2

将 $- 1$ 移到 $x$ 的左侧。

$y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} - x + C_{5} + C_{2} \int 1 e^{- 1 \cdot x} d x$

解题步骤 11.3.5.2.1.3

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} - x + C_{5} + C_{2} \int 1 e^{- x} d x$

解题步骤 11.3.5.2.2

将 $e^{- x}$ 乘以 $1$ 。

$y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} - x + C_{5} + C_{2} \int e^{- x} d x$

解题步骤 11.3.6

使 $u = - x$ 。然后使 $d u = - d x$ ，以便 $- d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 11.3.6.1

设 $u = - x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 11.3.6.1.1

对 $- x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 11.3.6.1.2

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 11.3.6.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 1 \cdot 1$

解题步骤 11.3.6.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 11.3.6.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} - x + C_{5} + C_{2} \int - e^{u} d u$

解题步骤 11.3.7

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} - x + C_{5} + C_{2} (- \int e^{u} d u)$

解题步骤 11.3.8

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} - x + C_{5} + C_{2} (- (e^{u} + C_{6}))$

解题步骤 11.3.9

化简。

$y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} - x + C_{2} (- e^{u}) + C_{7}$

解题步骤 11.3.10

使用 $- x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} - x + C_{2} (- e^{- x}) + C_{7}$

解题步骤 11.3.11

重新排序项。

$y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} - e^{- x} C_{2} - x + C_{7}$

解题步骤 11.4

将右边的积分常数分组为 $D$ 。

$y = \frac{1}{2} x^{2} - e^{- x} C - x + D$

微积分学 示例

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