微积分学示例

$(y^{2} + x^{2} y^{2}) \frac{d y}{d x} = 1$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

将 $(y^{2} + x^{2} y^{2}) \frac{d y}{d x} = 1$ 中的每一项除以 $y^{2} + x^{2} y^{2}$ 并化简。

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解题步骤 1.1.1

将 $(y^{2} + x^{2} y^{2}) \frac{d y}{d x} = 1$ 中的每一项都除以 $y^{2} + x^{2} y^{2}$ 。

$\frac{(y^{2} + x^{2} y^{2}) \frac{d y}{d x}}{y^{2} + x^{2} y^{2}} = \frac{1}{y^{2} + x^{2} y^{2}}$

解题步骤 1.1.2

化简左边。

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解题步骤 1.1.2.1

约去 $y^{2} + x^{2} y^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{(y^{2} + x^{2} y^{2}) \frac{d y}{d x}}{y^{2} + x^{2} y^{2}} = \frac{1}{y^{2} + x^{2} y^{2}}$

解题步骤 1.1.2.1.2

用 $\frac{d y}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + x^{2} y^{2}}$

解题步骤 1.1.3

化简右边。

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解题步骤 1.1.3.1

从 $y^{2} + x^{2} y^{2}$ 中分解出因数 $y^{2}$ 。

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解题步骤 1.1.3.1.1

乘以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} \cdot 1 + x^{2} y^{2}}$

解题步骤 1.1.3.1.2

从 $x^{2} y^{2}$ 中分解出因数 $y^{2}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} \cdot 1 + y^{2} x^{2}}$

解题步骤 1.1.3.1.3

从 $y^{2} \cdot 1 + y^{2} x^{2}$ 中分解出因数 $y^{2}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} (1 + x^{2})}$

解题步骤 1.2

重新组合因数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{1}{1 + x^{2}}$

解题步骤 1.3

两边同时乘以 $y^{2}$ 。

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} (\frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{1}{1 + x^{2}})$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

将 $\frac{1}{y^{2}}$ 乘以 $\frac{1}{1 + x^{2}}$ 。

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1}{y^{2} (1 + x^{2})}$

解题步骤 1.4.2

约去 $y^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.2.1

约去公因数。

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1}{y^{2} (1 + x^{2})}$

解题步骤 1.4.2.2

重写表达式。

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + x^{2}}$

解题步骤 1.5

重写该方程。

$y^{2} d y = \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int y^{2} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

解题步骤 2.2

根据幂法则， $y^{2}$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{3} y^{3}$ 。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

解题步骤 2.3.2

$\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ 对 $x$ 的积分为 $\arctan (x) + C_{2}$ 。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \arctan (x) + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$\frac{1}{3} y^{3} = \arctan (x) + K$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

等式两边同时乘以 $3$ 。

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (\arctan (x) + K)$

解题步骤 3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 3.2.1

化简左边。

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解题步骤 3.2.1.1

化简 $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ 。

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解题步骤 3.2.1.1.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $y^{3}$ 。

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\arctan (x) + K)$

解题步骤 3.2.1.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1.2.1

约去公因数。

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\arctan (x) + K)$

解题步骤 3.2.1.1.2.2

重写表达式。

$y^{3} = 3 (\arctan (x) + K)$

解题步骤 3.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.2.1

运用分配律。

$y^{3} = 3 \arctan (x) + 3 K$

解题步骤 3.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \sqrt[3]{3 \arctan (x) + 3 K}$

解题步骤 3.4

从 $3 \arctan (x) + 3 K$ 中分解出因数 $3$ 。

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解题步骤 3.4.1

从 $3 \arctan (x)$ 中分解出因数 $3$ 。

$y = \sqrt[3]{3 (\arctan (x)) + 3 K}$

解题步骤 3.4.2

从 $3 (\arctan (x)) + 3 K$ 中分解出因数 $3$ 。

$y = \sqrt[3]{3 (\arctan (x) + K)}$

微积分学 示例

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