微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = (1 + y^{2}) \tan (x)$ , $y (0) = \sqrt{3}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $\frac{1}{1 + y^{2}}$ 。

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) \tan (x))$

解题步骤 1.2

约去 $1 + y^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

从 $(1 + y^{2}) \tan (x)$ 中分解出因数 $1 + y^{2}$ 。

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) (\tan (x)))$

解题步骤 1.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) \tan (x))$

解题步骤 1.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \tan (x)$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = \tan (x) d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int \tan (x) d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int \tan (x) d x$

解题步骤 2.2.2

$\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ 对 $y$ 的积分为 $\arctan (y) + C_{1}$ 。

$\arctan (y) + C_{1} = \int \tan (x) d x$

解题步骤 2.3

$\tan (x)$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| \sec (x) |)$ 。

$\arctan (y) + C_{1} = \ln (| \sec (x) |) + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\arctan (y) = \ln (| \sec (x) |) + C$

解题步骤 3

取方程两边的反正切的逆函数来从反正切内提出 $y$ 。

$y = \tan (\ln (| \sec (x) |) + C)$

解题步骤 4

使用初始条件，通过将 $0$ 代入 $x$ ，将 $\sqrt{3}$ 代入 $y$ ，在 $y = \tan (\ln (| \sec (x) |) + C)$ 中求 $C$ 的值。

$\sqrt{3} = \tan (\ln (| \sec (0) |) + C)$

解题步骤 5

求解 $C$ 。

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解题步骤 5.1

将方程重写为 $\tan (\ln (| \sec (0) |) + C) = \sqrt{3}$ 。

$\tan (\ln (| \sec (0) |) + C) = \sqrt{3}$

解题步骤 5.2

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $C$ 。

$| \sec (0) | = \arctan (\sqrt{3})$

解题步骤 5.3

化简左边。

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解题步骤 5.3.1

化简 $| \sec (0) |$ 。

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解题步骤 5.3.1.1

$\sec (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$| 1 | = \arctan (\sqrt{3})$

解题步骤 5.3.1.2

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$1 = \arctan (\sqrt{3})$

解题步骤 5.4

化简右边。

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解题步骤 5.4.1

$\arctan (\sqrt{3})$ 的准确值为 $\frac{π}{3}$ 。

$1 = \frac{π}{3}$

解题步骤 5.5

用 $3.14159265$ 除以 $3$ 。

$1 = 1.04719755$

解题步骤 5.6

因为 $1 \neq 1.04719755$ ，所以没有解。

无解

解题步骤 5.7

正切函数在第一和第三象限为正值。要求第二个解，加上来自 $π$ 的参考角以求第四象限中的解。

$1 = π + \frac{π}{3}$

解题步骤 5.8

求解 $C$ 。

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解题步骤 5.8.1

化简 $(3.14159265) + \frac{3.14159265}{3}$ 。

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解题步骤 5.8.1.1

用 $3.14159265$ 除以 $3$ 。

$1 = 3.14159265 + 1.04719755$

解题步骤 5.8.1.2

将 $3.14159265$ 和 $1.04719755$ 相加。

$1 = 4.1887902$

解题步骤 5.8.2

因为 $1 \neq 4.1887902$ ，所以没有解。

$无解$

微积分学 示例

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