微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = e^{2 x} - 3 y$

解题步骤 1

在等式两边都加上 $3 y$ 。

$\frac{d y}{d x} + 3 y = e^{2 x}$

解题步骤 2

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = 3$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

建立积分。

$e^{\int 3 d x}$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$e^{3 x + C}$

解题步骤 2.3

去掉积分常数。

$e^{3 x}$

解题步骤 3

每一项乘以积分因数 $e^{3 x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

每一项乘以 $e^{3 x}$ 。

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + e^{3 x} (3 y) = e^{3 x} e^{2 x}$

解题步骤 3.2

使用乘法的交换性质重写。

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = e^{3 x} e^{2 x}$

解题步骤 3.3

通过指数相加将 $e^{3 x}$ 乘以 $e^{2 x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = e^{3 x + 2 x}$

解题步骤 3.3.2

将 $3 x$ 和 $2 x$ 相加。

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = e^{5 x}$

解题步骤 3.4

将 $e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = e^{5 x}$ 中的因式重新排序。

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 y e^{3 x} = e^{5 x}$

解题步骤 4

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [e^{3 x} y] = e^{5 x}$

解题步骤 5

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [e^{3 x} y] d x = \int e^{5 x} d x$

解题步骤 6

对左边积分。

$e^{3 x} y = \int e^{5 x} d x$

解题步骤 7

对右边积分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1

使 $u = 5 x$ 。然后使 $d u = 5 d x$ ，以便 $\frac{1}{5} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1.1

设 $u = 5 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1.1.1

对 $5 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [5 x]$

解题步骤 7.1.1.2

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$5 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 7.1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$5 \cdot 1$

解题步骤 7.1.1.4

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$5$

解题步骤 7.1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$e^{3 x} y = \int e^{u} \frac{1}{5} d u$

解题步骤 7.2

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{1}{5}$ 。

$e^{3 x} y = \int \frac{e^{u}}{5} d u$

解题步骤 7.3

由于 $\frac{1}{5}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{5}$ 移到积分外。

$e^{3 x} y = \frac{1}{5} \int e^{u} d u$

解题步骤 7.4

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$e^{3 x} y = \frac{1}{5} (e^{u} + C)$

解题步骤 7.5

化简。

$e^{3 x} y = \frac{1}{5} e^{u} + C$

解题步骤 7.6

使用 $5 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{3 x} y = \frac{1}{5} e^{5 x} + C$

解题步骤 8

将 $e^{3 x} y = \frac{1}{5} e^{5 x} + C$ 中的每一项除以 $e^{3 x}$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.1

将 $e^{3 x} y = \frac{1}{5} e^{5 x} + C$ 中的每一项都除以 $e^{3 x}$ 。

$\frac{e^{3 x} y}{e^{3 x}} = \frac{\frac{1}{5} e^{5 x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

解题步骤 8.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.2.1

约去 $e^{3 x}$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.2.1.1

约去公因数。

$\frac{e^{3 x} y}{e^{3 x}} = \frac{\frac{1}{5} e^{5 x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

解题步骤 8.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\frac{1}{5} e^{5 x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

解题步骤 8.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.3.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.3.1.1

约去 $e^{5 x}$ 和 $e^{3 x}$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.3.1.1.1

从 $\frac{1}{5} e^{5 x}$ 中分解出因数 $e^{3 x}$ 。

$y = \frac{e^{3 x} (\frac{1}{5} e^{2 x})}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

解题步骤 8.3.1.1.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.3.1.1.2.1

乘以 $1$ 。

$y = \frac{e^{3 x} (\frac{1}{5} e^{2 x})}{e^{3 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{3 x}}$

解题步骤 8.3.1.1.2.2

约去公因数。

$y = \frac{e^{3 x} (\frac{1}{5} e^{2 x})}{e^{3 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{3 x}}$

解题步骤 8.3.1.1.2.3

重写表达式。

$y = \frac{\frac{1}{5} e^{2 x}}{1} + \frac{C}{e^{3 x}}$

解题步骤 8.3.1.1.2.4

用 $\frac{1}{5} e^{2 x}$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{1}{5} e^{2 x} + \frac{C}{e^{3 x}}$

解题步骤 8.3.1.2

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $e^{2 x}$ 。

$y = \frac{e^{2 x}}{5} + \frac{C}{e^{3 x}}$

微积分学 示例

微积分学示例