微积分学示例

$(6 x - 5) \frac{d x}{d y} = \frac{- 3 x^{2} + 5 x + 1}{y}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $\frac{1}{- 3 x^{2} + 5 x + 1}$ 。

$\frac{1}{- 3 x^{2} + 5 x + 1} ((6 x - 5) \frac{d x}{d y}) = \frac{1}{- 3 x^{2} + 5 x + 1} \cdot \frac{- 3 x^{2} + 5 x + 1}{y}$

解题步骤 1.2

化简。

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解题步骤 1.2.1

将 $\frac{1}{- 3 x^{2} + 5 x + 1}$ 乘以 $\frac{- 3 x^{2} + 5 x + 1}{y}$ 。

$\frac{1}{- 3 x^{2} + 5 x + 1} ((6 x - 5) \frac{d x}{d y}) = \frac{- 3 x^{2} + 5 x + 1}{(- 3 x^{2} + 5 x + 1) y}$

解题步骤 1.2.2

约去 $- 3 x^{2} + 5 x + 1$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.2.1

约去公因数。

$\frac{1}{- 3 x^{2} + 5 x + 1} ((6 x - 5) \frac{d x}{d y}) = \frac{- 3 x^{2} + 5 x + 1}{(- 3 x^{2} + 5 x + 1) y}$

解题步骤 1.2.2.2

重写表达式。

$\frac{1}{- 3 x^{2} + 5 x + 1} ((6 x - 5) \frac{d x}{d y}) = \frac{1}{y}$

解题步骤 1.3

去掉多余的括号。

$\frac{1}{- 3 x^{2} + 5 x + 1} (6 x - 5) \frac{d x}{d y} = \frac{1}{y}$

解题步骤 1.4

重写该方程。

$\frac{1}{- 3 x^{2} + 5 x + 1} (6 x - 5) d x = \frac{1}{y} d y$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{- 3 x^{2} + 5 x + 1} (6 x - 5) d x = \int \frac{1}{y} d y$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

使 $u = - 3 x^{2} + 5 x + 1$ 。然后使 $d u = (- 6 x + 5) d x$ ，以便 $- d u = (6 x - 5) d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.2.1.1

设 $u = - 3 x^{2} + 5 x + 1$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.2.1.1.1

对 $- 3 x^{2} + 5 x + 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2} + 5 x + 1]$

解题步骤 2.2.1.1.2

根据加法法则， $- 3 x^{2} + 5 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.2.1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.2.1.1.3.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.2.1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.2.1.1.3.3

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$- 6 x + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.2.1.1.4

计算 $\frac{d}{d x} [5 x]$ 。

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解题步骤 2.2.1.1.4.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 6 x + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.2.1.1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 6 x + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.2.1.1.4.3

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$- 6 x + 5 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.2.1.1.5

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.2.1.1.5.1

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 6 x + 5 + 0$

解题步骤 2.2.1.1.5.2

将 $- 6 x + 5$ 和 $0$ 相加。

$- 6 x + 5$

解题步骤 2.2.1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{- 1}{u} d u = \int \frac{1}{y} d y$

解题步骤 2.2.2

将分数分解成多个分数。

$\int - \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{y} d y$

解题步骤 2.2.3

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{y} d y$

解题步骤 2.2.4

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{y} d y$

解题步骤 2.2.5

化简。

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y$

解题步骤 2.2.6

使用 $- 3 x^{2} + 5 x + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \ln (| - 3 x^{2} + 5 x + 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y$

解题步骤 2.3

$\frac{1}{y}$ 对 $y$ 的积分为 $\ln (| y |)$ 。

$- \ln (| - 3 x^{2} + 5 x + 1 |) + C_{1} = \ln (| y |) + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$- \ln (| - 3 x^{2} + 5 x + 1 |) = \ln (| y |) + C$

微积分学 示例

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