微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 y + 4}{- 9 x + 8}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $\frac{1}{5 y + 4}$ 。

$\frac{1}{5 y + 4} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{5 y + 4} \cdot \frac{5 y + 4}{- 9 x + 8}$

解题步骤 1.2

化简。

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解题步骤 1.2.1

约去 $5 y + 4$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{1}{5 y + 4} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{5 y + 4} \cdot \frac{5 y + 4}{- 9 x + 8}$

解题步骤 1.2.1.2

重写表达式。

$\frac{1}{5 y + 4} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{- 9 x + 8}$

解题步骤 1.2.2

从 $- 9 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{1}{5 y + 4} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{- (9 x) + 8}$

解题步骤 1.2.3

将 $8$ 重写为 $- 1 (- 8)$ 。

$\frac{1}{5 y + 4} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{- (9 x) - 1 (- 8)}$

解题步骤 1.2.4

从 $- (9 x) - 1 (- 8)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{1}{5 y + 4} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{- (9 x - 8)}$

解题步骤 1.2.5

将 $- (9 x - 8)$ 重写为 $- 1 (9 x - 8)$ 。

$\frac{1}{5 y + 4} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{- 1 (9 x - 8)}$

解题步骤 1.2.6

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{5 y + 4} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{9 x - 8}$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$\frac{1}{5 y + 4} d y = - \frac{1}{9 x - 8} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{5 y + 4} d y = \int - \frac{1}{9 x - 8} d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

使 $u_{1} = 5 y + 4$ 。然后使 $d u_{1} = 5 d y$ ，以便 $\frac{1}{5} d u_{1} = d y$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 2.2.1.1

设 $u_{1} = 5 y + 4$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d y}$ 。

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解题步骤 2.2.1.1.1

对 $5 y + 4$ 求导。

$\frac{d}{d y} [5 y + 4]$

解题步骤 2.2.1.1.2

根据加法法则， $5 y + 4$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [5 y] + \frac{d}{d y} [4]$ 。

$\frac{d}{d y} [5 y] + \frac{d}{d y} [4]$

解题步骤 2.2.1.1.3

计算 $\frac{d}{d y} [5 y]$ 。

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解题步骤 2.2.1.1.3.1

因为 $5$ 对于 $y$ 是常数，所以 $5 y$ 对 $y$ 的导数是 $5 \frac{d}{d y} [y]$ 。

$5 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [4]$

解题步骤 2.2.1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [4]$

解题步骤 2.2.1.1.3.3

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$5 + \frac{d}{d y} [4]$

解题步骤 2.2.1.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.2.1.1.4.1

因为 $4$ 对于 $y$ 是常数，所以 $4$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$5 + 0$

解题步骤 2.2.1.1.4.2

将 $5$ 和 $0$ 相加。

$5$

解题步骤 2.2.1.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{5} d u_{1} = \int - \frac{1}{9 x - 8} d x$

解题步骤 2.2.2

化简。

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解题步骤 2.2.2.1

将 $\frac{1}{u_{1}}$ 乘以 $\frac{1}{5}$ 。

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 5} d u_{1} = \int - \frac{1}{9 x - 8} d x$

解题步骤 2.2.2.2

将 $5$ 移到 $u_{1}$ 的左侧。

$\int \frac{1}{5 u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{1}{9 x - 8} d x$

解题步骤 2.2.3

由于 $\frac{1}{5}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{5}$ 移到积分外。

$\frac{1}{5} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{1}{9 x - 8} d x$

解题步骤 2.2.4

$\frac{1}{u_{1}}$ 对 $u_{1}$ 的积分为 $\ln (| u_{1} |)$ 。

$\frac{1}{5} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int - \frac{1}{9 x - 8} d x$

解题步骤 2.2.5

化简。

$\frac{1}{5} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{9 x - 8} d x$

解题步骤 2.2.6

使用 $5 y + 4$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{5} \ln (| 5 y + 4 |) + C_{1} = \int - \frac{1}{9 x - 8} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{5} \ln (| 5 y + 4 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{9 x - 8} d x$

解题步骤 2.3.2

使 $u_{2} = 9 x - 8$ 。然后使 $d u_{2} = 9 d x$ ，以便 $\frac{1}{9} d u_{2} = d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.2.1

设 $u_{2} = 9 x - 8$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 2.3.2.1.1

对 $9 x - 8$ 求导。

$\frac{d}{d x} [9 x - 8]$

解题步骤 2.3.2.1.2

根据加法法则， $9 x - 8$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ 。

$\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

解题步骤 2.3.2.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [9 x]$ 。

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解题步骤 2.3.2.1.3.1

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9 x$ 对 $x$ 的导数是 $9 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

解题步骤 2.3.2.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8]$

解题步骤 2.3.2.1.3.3

将 $9$ 乘以 $1$ 。

$9 + \frac{d}{d x} [- 8]$

解题步骤 2.3.2.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.3.2.1.4.1

因为 $- 8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 8$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$9 + 0$

解题步骤 2.3.2.1.4.2

将 $9$ 和 $0$ 相加。

$9$

解题步骤 2.3.2.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$\frac{1}{5} \ln (| 5 y + 4 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{9} d u_{2}$

解题步骤 2.3.3

化简。

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解题步骤 2.3.3.1

将 $\frac{1}{u_{2}}$ 乘以 $\frac{1}{9}$ 。

$\frac{1}{5} \ln (| 5 y + 4 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2} \cdot 9} d u_{2}$

解题步骤 2.3.3.2

将 $9$ 移到 $u_{2}$ 的左侧。

$\frac{1}{5} \ln (| 5 y + 4 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{9 u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 2.3.4

由于 $\frac{1}{9}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{9}$ 移到积分外。

$\frac{1}{5} \ln (| 5 y + 4 |) + C_{1} = - (\frac{1}{9} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

解题步骤 2.3.5

$\frac{1}{u_{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $\ln (| u_{2} |)$ 。

$\frac{1}{5} \ln (| 5 y + 4 |) + C_{1} = - \frac{1}{9} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

解题步骤 2.3.6

化简。

$\frac{1}{5} \ln (| 5 y + 4 |) + C_{1} = - \frac{1}{9} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

解题步骤 2.3.7

使用 $9 x - 8$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{5} \ln (| 5 y + 4 |) + C_{1} = - \frac{1}{9} \ln (| 9 x - 8 |) + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\frac{1}{5} \ln (| 5 y + 4 |) = - \frac{1}{9} \ln (| 9 x - 8 |) + C$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

等式两边同时乘以 $5$ 。

$5 (\frac{1}{5} \ln (| 5 y + 4 |)) = 5 (- \frac{1}{9} \ln (| 9 x - 8 |) + C)$

解题步骤 3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 3.2.1

化简左边。

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解题步骤 3.2.1.1

化简 $5 (\frac{1}{5} \ln (| 5 y + 4 |))$ 。

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解题步骤 3.2.1.1.1

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $\ln (| 5 y + 4 |)$ 。

$5 \frac{\ln (| 5 y + 4 |)}{5} = 5 (- \frac{1}{9} \ln (| 9 x - 8 |) + C)$

解题步骤 3.2.1.1.2

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1.2.1

约去公因数。

$5 \frac{\ln (| 5 y + 4 |)}{5} = 5 (- \frac{1}{9} \ln (| 9 x - 8 |) + C)$

解题步骤 3.2.1.1.2.2

重写表达式。

$\ln (| 5 y + 4 |) = 5 (- \frac{1}{9} \ln (| 9 x - 8 |) + C)$

解题步骤 3.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.2.1

化简 $5 (- \frac{1}{9} \ln (| 9 x - 8 |) + C)$ 。

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解题步骤 3.2.2.1.1

组合 $\ln (| 9 x - 8 |)$ 和 $\frac{1}{9}$ 。

$\ln (| 5 y + 4 |) = 5 (- \frac{\ln (| 9 x - 8 |)}{9} + C)$

解题步骤 3.2.2.1.2

要将 $C$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{9}{9}$ 。

$\ln (| 5 y + 4 |) = 5 (- \frac{\ln (| 9 x - 8 |)}{9} + C \cdot \frac{9}{9})$

解题步骤 3.2.2.1.3

化简项。

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解题步骤 3.2.2.1.3.1

组合 $C$ 和 $\frac{9}{9}$ 。

$\ln (| 5 y + 4 |) = 5 (- \frac{\ln (| 9 x - 8 |)}{9} + \frac{C \cdot 9}{9})$

解题步骤 3.2.2.1.3.2

在公分母上合并分子。

$\ln (| 5 y + 4 |) = 5 \frac{- \ln (| 9 x - 8 |) + C \cdot 9}{9}$

解题步骤 3.2.2.1.4

将 $9$ 移到 $C$ 的左侧。

$\ln (| 5 y + 4 |) = 5 \frac{- \ln (| 9 x - 8 |) + 9 C}{9}$

解题步骤 3.2.2.1.5

化简项。

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解题步骤 3.2.2.1.5.1

组合 $5$ 和 $\frac{- \ln (| 9 x - 8 |) + 9 C}{9}$ 。

$\ln (| 5 y + 4 |) = \frac{5 (- \ln (| 9 x - 8 |) + 9 C)}{9}$

解题步骤 3.2.2.1.5.2

从 $- \ln (| 9 x - 8 |)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\ln (| 5 y + 4 |) = \frac{5 (- (\ln (| 9 x - 8 |)) + 9 C)}{9}$

解题步骤 3.2.2.1.5.3

从 $9 C$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\ln (| 5 y + 4 |) = \frac{5 (- (\ln (| 9 x - 8 |)) - (- 9 C))}{9}$

解题步骤 3.2.2.1.5.4

从 $- (\ln (| 9 x - 8 |)) - (- 9 C)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\ln (| 5 y + 4 |) = \frac{5 (- (\ln (| 9 x - 8 |) - 9 C))}{9}$

解题步骤 3.2.2.1.5.5

化简表达式。

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解题步骤 3.2.2.1.5.5.1

将 $- (\ln (| 9 x - 8 |) - 9 C)$ 重写为 $- 1 (\ln (| 9 x - 8 |) - 9 C)$ 。

$\ln (| 5 y + 4 |) = \frac{5 (- 1 (\ln (| 9 x - 8 |) - 9 C))}{9}$

解题步骤 3.2.2.1.5.5.2

将负号移到分数的前面。

$\ln (| 5 y + 4 |) = - \frac{5 (\ln (| 9 x - 8 |) - 9 C)}{9}$

解题步骤 3.3

要求解 $y$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (| 5 y + 4 |)} = e^{- \frac{5 (\ln (| 9 x - 8 |) - 9 C)}{9}}$

解题步骤 3.4

使用对数的定义将 $\ln (| 5 y + 4 |) = - \frac{5 (\ln (| 9 x - 8 |) - 9 C)}{9}$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{- \frac{5 (\ln (| 9 x - 8 |) - 9 C)}{9}} = | 5 y + 4 |$

解题步骤 3.5

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.5.1

将方程重写为 $| 5 y + 4 | = e^{- \frac{5 (\ln (| 9 x - 8 |) - 9 C)}{9}}$ 。

$| 5 y + 4 | = e^{- \frac{5 (\ln (| 9 x - 8 |) - 9 C)}{9}}$

解题步骤 3.5.2

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$5 y + 4 = \pm e^{- \frac{5 (\ln (| 9 x - 8 |) - 9 C)}{9}}$

解题步骤 3.5.3

从等式两边同时减去 $4$ 。

$5 y = \pm e^{- \frac{5 (\ln (| 9 x - 8 |) - 9 C)}{9}} - 4$

解题步骤 3.5.4

将 $5 y = \pm e^{- \frac{5 (\ln (| 9 x - 8 |) - 9 C)}{9}} - 4$ 中的每一项除以 $5$ 并化简。

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解题步骤 3.5.4.1

将 $5 y = \pm e^{- \frac{5 (\ln (| 9 x - 8 |) - 9 C)}{9}} - 4$ 中的每一项都除以 $5$ 。

$\frac{5 y}{5} = \frac{\pm e^{- \frac{5 (\ln (| 9 x - 8 |) - 9 C)}{9}}}{5} + \frac{- 4}{5}$

解题步骤 3.5.4.2

化简左边。

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解题步骤 3.5.4.2.1

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{5 y}{5} = \frac{\pm e^{- \frac{5 (\ln (| 9 x - 8 |) - 9 C)}{9}}}{5} + \frac{- 4}{5}$

解题步骤 3.5.4.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\pm e^{- \frac{5 (\ln (| 9 x - 8 |) - 9 C)}{9}}}{5} + \frac{- 4}{5}$

解题步骤 3.5.4.3

化简右边。

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解题步骤 3.5.4.3.1

将负号移到分数的前面。

$y = \frac{\pm e^{- \frac{5 (\ln (| 9 x - 8 |) - 9 C)}{9}}}{5} - \frac{4}{5}$

解题步骤 3.5.4.3.2

在公分母上合并分子。

$y = \frac{\pm e^{- \frac{5 (\ln (| 9 x - 8 |) - 9 C)}{9}} - 4}{5}$

解题步骤 4

化简积分常数。

$y = \frac{\pm e^{- \frac{5 (\ln (| 9 x - 8 |) + C)}{9}} - 4}{5}$

微积分学 示例

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