微积分学示例

$\frac{- 2 y}{t^{3}} d t + \frac{1}{t^{2}} d y = 0$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $\frac{- 2 y}{t^{3}} d t$ 。

$\frac{1}{t^{2}} d y = - \frac{- 2 y}{t^{3}} d t$

解题步骤 2

两边同时乘以 $\frac{t^{2}}{y}$ 。

$\frac{t^{2}}{y} \cdot \frac{1}{t^{2}} d y = \frac{t^{2}}{y} (- \frac{- 2 y}{t^{3}}) d t$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

合并。

$\frac{t^{2} \cdot 1}{y t^{2}} d y = \frac{t^{2}}{y} (- \frac{- 2 y}{t^{3}}) d t$

解题步骤 3.2

约去 $t^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1

约去公因数。

$\frac{t^{2} \cdot 1}{y t^{2}} d y = \frac{t^{2}}{y} (- \frac{- 2 y}{t^{3}}) d t$

解题步骤 3.2.2

重写表达式。

$\frac{1}{y} d y = \frac{t^{2}}{y} (- \frac{- 2 y}{t^{3}}) d t$

解题步骤 3.3

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{1}{y} d y = - \frac{t^{2}}{y} \cdot \frac{- 2 y}{t^{3}} d t$

解题步骤 3.4

约去 $t^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.1

将 $- \frac{t^{2}}{y}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{1}{y} d y = \frac{- t^{2}}{y} \cdot \frac{- 2 y}{t^{3}} d t$

解题步骤 3.4.2

从 $- t^{2}$ 中分解出因数 $t^{2}$ 。

$\frac{1}{y} d y = \frac{t^{2} \cdot - 1}{y} \cdot \frac{- 2 y}{t^{3}} d t$

解题步骤 3.4.3

从 $t^{3}$ 中分解出因数 $t^{2}$ 。

$\frac{1}{y} d y = \frac{t^{2} \cdot - 1}{y} \cdot \frac{- 2 y}{t^{2} t} d t$

解题步骤 3.4.4

约去公因数。

$\frac{1}{y} d y = \frac{t^{2} \cdot - 1}{y} \cdot \frac{- 2 y}{t^{2} t} d t$

解题步骤 3.4.5

重写表达式。

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y} \cdot \frac{- 2 y}{t} d t$

解题步骤 3.5

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.1

从 $- 2 y$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y} \cdot \frac{y \cdot - 2}{t} d t$

解题步骤 3.5.2

约去公因数。

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y} \cdot \frac{y \cdot - 2}{t} d t$

解题步骤 3.5.3

重写表达式。

$\frac{1}{y} d y = - \frac{- 2}{t} d t$

解题步骤 3.6

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{y} d y = - - \frac{2}{t} d t$

解题步骤 3.7

乘以 $- - \frac{2}{t}$ 。

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解题步骤 3.7.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{y} d y = 1 \frac{2}{t} d t$

解题步骤 3.7.2

将 $\frac{2}{t}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{y} d y = \frac{2}{t} d t$

解题步骤 4

对两边积分。

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解题步骤 4.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{2}{t} d t$

解题步骤 4.2

$\frac{1}{y}$ 对 $y$ 的积分为 $\ln (| y |)$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{2}{t} d t$

解题步骤 4.3

对右边积分。

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解题步骤 4.3.1

由于 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{t} d t$

解题步骤 4.3.2

$\frac{1}{t}$ 对 $t$ 的积分为 $\ln (| t |)$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (\ln (| t |) + C_{2})$

解题步骤 4.3.3

化简。

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \ln (| t |) + C_{2}$

解题步骤 4.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\ln (| y |) = 2 \ln (| t |) + C$

解题步骤 5

求解 $y$ 。

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解题步骤 5.1

将所有包含对数的项移到等式左边。

$\ln (| y |) - 2 \ln (| t |) = C$

解题步骤 5.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.1

化简 $\ln (| y |) - 2 \ln (| t |)$ 。

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解题步骤 5.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 2 \ln (| t |)$ 。

$\ln (| y |) - \ln ({| t |}^{2}) = C$

解题步骤 5.2.1.1.2

去掉 ${| t |}^{2}$ 的绝对值符号，因为偶次幂的求幂结果恒为正。

$\ln (| y |) - \ln (t^{2}) = C$

解题步骤 5.2.1.2

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\ln (\frac{| y |}{t^{2}}) = C$

解题步骤 5.3

要求解 $y$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (\frac{| y |}{t^{2}})} = e^{C}$

解题步骤 5.4

使用对数的定义将 $\ln (\frac{| y |}{t^{2}}) = C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{C} = \frac{| y |}{t^{2}}$

解题步骤 5.5

求解 $y$ 。

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解题步骤 5.5.1

将方程重写为 $\frac{| y |}{t^{2}} = e^{C}$ 。

$\frac{| y |}{t^{2}} = e^{C}$

解题步骤 5.5.2

两边同时乘以 $t^{2}$ 。

$\frac{| y |}{t^{2}} t^{2} = e^{C} t^{2}$

解题步骤 5.5.3

化简。

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解题步骤 5.5.3.1

化简左边。

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解题步骤 5.5.3.1.1

约去 $t^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.3.1.1.1

约去公因数。

$\frac{| y |}{t^{2}} t^{2} = e^{C} t^{2}$

解题步骤 5.5.3.1.1.2

重写表达式。

$| y | = e^{C} t^{2}$

解题步骤 5.5.3.2

化简右边。

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解题步骤 5.5.3.2.1

将 $e^{C} t^{2}$ 中的因式重新排序。

$| y | = t^{2} e^{C}$

解题步骤 5.5.4

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$y = \pm t^{2} e^{C}$

解题步骤 6

将常数项组合在一起。

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解题步骤 6.1

化简积分常数。

$y = \pm t^{2} C$

解题步骤 6.2

用加号或减号合并常数。

$y = C t^{2}$

微积分学 示例

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