微积分学示例

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = \sqrt{y}$

解题步骤 1

重写微分方程以符合伯努利方程。

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解题步骤 1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{y}$ 重写成 $y^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = y^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 1.2

从 $\frac{y}{x}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{x} = y^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 1.3

将 $y$ 和 $\frac{1}{x}$ 重新排序。

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = y^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 2

要解微分方程，设 $v = y^{1 - n}$ ，其中 $n$ 是 $y^{\frac{1}{2}}$ 的指数。

$v = y^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 3

求解 $y$ 的方程。

$y = v^{2}$

解题步骤 4

取 $y$ 对 $x$ 的导数。

$y' = v^{2}$

解题步骤 5

取 $v^{2}$ 对 $x$ 的导数。

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解题步骤 5.1

取 $v^{2}$ 的导数。

$y' = \frac{d}{d x} [v^{2}]$

解题步骤 5.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = v$ 。

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解题步骤 5.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $v$ 。

$y' = \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [v]$

解题步骤 5.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$y' = 2 u \frac{d}{d x} [v]$

解题步骤 5.2.3

使用 $v$ 替换所有出现的 $u$ 。

$y' = 2 v \frac{d}{d x} [v]$

解题步骤 5.3

将 $\frac{d}{d x} [v]$ 重写为 $v'$ 。

$y' = 2 v v'$

解题步骤 6

在原方程 $\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = y^{\frac{1}{2}}$ 中将 $\frac{d y}{d x}$ 替换成 $2 v v'$ 并且将 $y$ 替换成 $v^{2}$ 。

$2 v v' + \frac{1}{x} v^{2} = {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 7

求解代入的微分方程。

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解题步骤 7.1

将微分方程重写为 $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ 。

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解题步骤 7.1.1

将 $2 v \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v^{2} = {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 中的每一项除以 $2 v$ 并化简。

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解题步骤 7.1.1.1

将 $2 v \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v^{2} = {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 中的每一项都除以 $2 v$ 。

$\frac{2 v \frac{d v}{d x}}{2 v} + \frac{\frac{1}{x} v^{2}}{2 v} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

解题步骤 7.1.1.2

化简左边。

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解题步骤 7.1.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.1.1.2.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.1.1.2.1.1.1

约去公因数。

$\frac{2 v \frac{d v}{d x}}{2 v} + \frac{\frac{1}{x} v^{2}}{2 v} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

解题步骤 7.1.1.2.1.1.2

重写表达式。

$\frac{v \frac{d v}{d x}}{v} + \frac{\frac{1}{x} v^{2}}{2 v} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

解题步骤 7.1.1.2.1.2

约去 $v$ 的公因数。

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解题步骤 7.1.1.2.1.2.1

约去公因数。

$\frac{v \frac{d v}{d x}}{v} + \frac{\frac{1}{x} v^{2}}{2 v} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

解题步骤 7.1.1.2.1.2.2

用 $\frac{d v}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d v}{d x} + \frac{\frac{1}{x} v^{2}}{2 v} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

解题步骤 7.1.1.2.1.3

约去 $v^{2}$ 和 $v$ 的公因数。

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解题步骤 7.1.1.2.1.3.1

从 $\frac{1}{x} v^{2}$ 中分解出因数 $v$ 。

$\frac{d v}{d x} + \frac{v (\frac{1}{x} v)}{2 v} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

解题步骤 7.1.1.2.1.3.2

约去公因数。

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解题步骤 7.1.1.2.1.3.2.1

从 $2 v$ 中分解出因数 $v$ 。

$\frac{d v}{d x} + \frac{v (\frac{1}{x} v)}{v \cdot 2} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

解题步骤 7.1.1.2.1.3.2.2

约去公因数。

$\frac{d v}{d x} + \frac{v (\frac{1}{x} v)}{v \cdot 2} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

解题步骤 7.1.1.2.1.3.2.3

重写表达式。

$\frac{d v}{d x} + \frac{\frac{1}{x} v}{2} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

解题步骤 7.1.1.2.1.4

组合 $\frac{1}{x}$ 和 $v$ 。

$\frac{d v}{d x} + \frac{\frac{v}{x}}{2} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

解题步骤 7.1.1.2.1.5

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} \cdot \frac{1}{2} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

解题步骤 7.1.1.2.1.6

将 $\frac{v}{x}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x \cdot 2} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

解题步骤 7.1.1.2.1.7

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

解题步骤 7.1.1.3

化简右边。

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解题步骤 7.1.1.3.1

化简分子。

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解题步骤 7.1.1.3.1.1

将 ${(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 7.1.1.3.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x} = \frac{v^{2 (\frac{1}{2})}}{2 v}$

解题步骤 7.1.1.3.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.1.1.3.1.1.2.1

约去公因数。

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x} = \frac{v^{2 (\frac{1}{2})}}{2 v}$

解题步骤 7.1.1.3.1.1.2.2

重写表达式。

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x} = \frac{v^{1}}{2 v}$

解题步骤 7.1.1.3.1.2

化简。

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x} = \frac{v}{2 v}$

解题步骤 7.1.1.3.2

约去 $v$ 的公因数。

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解题步骤 7.1.1.3.2.1

约去公因数。

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x} = \frac{v}{2 v}$

解题步骤 7.1.1.3.2.2

重写表达式。

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x} = \frac{1}{2}$

解题步骤 7.1.2

从 $\frac{v}{2 x}$ 中分解出因数 $v$ 。

$\frac{d v}{d x} + v \frac{1}{2 x} = \frac{1}{2}$

解题步骤 7.1.3

将 $v$ 和 $\frac{1}{2 x}$ 重新排序。

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{2 x} v = \frac{1}{2}$

解题步骤 7.2

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = \frac{1}{2 x}$ 。

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解题步骤 7.2.1

建立积分。

$e^{\int \frac{1}{2 x} d x}$

解题步骤 7.2.2

对 $\frac{1}{2 x}$ 积分。

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解题步骤 7.2.2.1

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$e^{\frac{1}{2} \int \frac{1}{x} d x}$

解题步骤 7.2.2.2

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$e^{\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C)}$

解题步骤 7.2.2.3

化简。

$e^{\frac{1}{2} \ln (| x |) + C}$

解题步骤 7.2.3

去掉积分常数。

$e^{\frac{1}{2} \ln (x)}$

解题步骤 7.2.4

使用对数幂法则。

$e^{\ln (x^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 7.2.5

指数函数和对数函数互为反函数。

$x^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 7.3

每一项乘以积分因数 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 7.3.1

每一项乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2 x} v) = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

解题步骤 7.3.2

化简每一项。

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解题步骤 7.3.2.1

组合 $\frac{1}{2 x}$ 和 $v$ 。

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + x^{\frac{1}{2}} \frac{v}{2 x} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

解题步骤 7.3.2.2

组合 $x^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{v}{2 x}$ 。

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{x^{\frac{1}{2}} v}{2 x} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

解题步骤 7.3.2.3

使用负指数规则 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 将 $x^{\frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

解题步骤 7.3.2.4

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 7.3.2.4.1

移动 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 (x^{- \frac{1}{2}} x)} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

解题步骤 7.3.2.4.2

将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 7.3.2.4.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 (x^{- \frac{1}{2}} x^{1})} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

解题步骤 7.3.2.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x^{- \frac{1}{2} + 1}} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

解题步骤 7.3.2.4.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

解题步骤 7.3.2.4.4

在公分母上合并分子。

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x^{\frac{- 1 + 2}{2}}} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

解题步骤 7.3.2.4.5

将 $- 1$ 和 $2$ 相加。

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x^{\frac{1}{2}}} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

解题步骤 7.3.3

组合 $x^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 7.4

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} v] = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 7.5

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} v] d x = \int \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} d x$

解题步骤 7.6

对左边积分。

$x^{\frac{1}{2}} v = \int \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} d x$

解题步骤 7.7

对右边积分。

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解题步骤 7.7.1

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$x^{\frac{1}{2}} v = \frac{1}{2} \int x^{\frac{1}{2}} d x$

解题步骤 7.7.2

根据幂法则， $x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ 。

$x^{\frac{1}{2}} v = \frac{1}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

解题步骤 7.7.3

化简答案。

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解题步骤 7.7.3.1

将 $\frac{1}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$ 重写为 $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$ 。

$x^{\frac{1}{2}} v = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 7.7.3.2

化简。

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解题步骤 7.7.3.2.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{2}{3}$ 。

$x^{\frac{1}{2}} v = \frac{2}{2 \cdot 3} x^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 7.7.3.2.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$x^{\frac{1}{2}} v = \frac{2}{6} x^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 7.7.3.2.3

约去 $2$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 7.7.3.2.3.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$x^{\frac{1}{2}} v = \frac{2 (1)}{6} x^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 7.7.3.2.3.2

约去公因数。

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解题步骤 7.7.3.2.3.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$x^{\frac{1}{2}} v = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} x^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 7.7.3.2.3.2.2

约去公因数。

$x^{\frac{1}{2}} v = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} x^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 7.7.3.2.3.2.3

重写表达式。

$x^{\frac{1}{2}} v = \frac{1}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 7.8

将 $x^{\frac{1}{2}} v = \frac{1}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$ 中的每一项除以 $x^{\frac{1}{2}}$ 并化简。

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解题步骤 7.8.1

将 $x^{\frac{1}{2}} v = \frac{1}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$ 中的每一项都除以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} v}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{\frac{1}{3} x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 7.8.2

化简左边。

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解题步骤 7.8.2.1

约去公因数。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} v}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{\frac{1}{3} x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 7.8.2.2

用 $v$ 除以 $1$ 。

$v = \frac{\frac{1}{3} x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 7.8.3

化简右边。

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解题步骤 7.8.3.1

化简每一项。

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解题步骤 7.8.3.1.1

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $x^{\frac{1}{2}}$ 移动到分子。

$v = \frac{1}{3} x^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 7.8.3.1.2

通过指数相加将 $x^{\frac{3}{2}}$ 乘以 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 7.8.3.1.2.1

移动 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$v = \frac{1}{3} (x^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}) + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 7.8.3.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$v = \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{2} + \frac{3}{2}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 7.8.3.1.2.3

在公分母上合并分子。

$v = \frac{1}{3} x^{\frac{- 1 + 3}{2}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 7.8.3.1.2.4

将 $- 1$ 和 $3$ 相加。

$v = \frac{1}{3} x^{\frac{2}{2}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 7.8.3.1.2.5

用 $2$ 除以 $2$ 。

$v = \frac{1}{3} x^{1} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 7.8.3.1.3

化简 $\frac{1}{3} x^{1}$ 。

$v = \frac{1}{3} x + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 7.8.3.1.4

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x$ 。

$v = \frac{x}{3} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 8

代入 $y^{\frac{1}{2}}$ 替换 $v$ 。

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{x}{3} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

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