微积分学示例

$\frac{d x}{d y} + 1 = e^{x + y}$

解题步骤 1

使 $v = e^{x + y}$ 。用 $v$ 代入替换所有出现的 $e^{x + y}$ 。

$\frac{d x}{d y} + 1 = v$

解题步骤 2

通过对 $e^{x + y}$ 进行微分求 $\frac{d v}{d y}$ 。

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解题步骤 2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 等于 $f' (g (y)) g' (y)$ ，其中 $f (y) = e^{y}$ 且 $g (y) = x + y$ 。

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解题步骤 2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x + y$ 。

$\frac{d v}{d y} = \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [x + y]$

解题步骤 2.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{d v}{d y} = e^{u} \frac{d}{d y} [x + y]$

解题步骤 2.1.3

使用 $x + y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{d v}{d y} = e^{x + y} \frac{d}{d y} [x + y]$

解题步骤 2.2

根据加法法则， $x + y$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ 。

$\frac{d v}{d y} = e^{x + y} (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y])$

解题步骤 2.3

将 $\frac{d}{d y} [x]$ 重写为 $x'$ 。

$\frac{d v}{d y} = e^{x + y} (x' + \frac{d}{d y} [y])$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{d v}{d y} = e^{x + y} (x' + 1)$

解题步骤 3

代入 $v$ 替换 $e^{x + y}$ 。

$\frac{d v}{d y} = v (x' + 1)$

解题步骤 4

将导数代回微分方程。

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解题步骤 4.1

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\frac{d v}{d y}}{v} + 0 = v$

解题步骤 4.2

将 $\frac{\frac{d v}{d y}}{v}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\frac{d v}{d y}}{v} = v$

解题步骤 5

分离变量。

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解题步骤 5.1

求解 $\frac{d v}{d y}$ 。

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解题步骤 5.1.1

两边同时乘以 $v$ 。

$\frac{\frac{d v}{d y}}{v} v = v \cdot v$

解题步骤 5.1.2

化简。

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解题步骤 5.1.2.1

化简左边。

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解题步骤 5.1.2.1.1

约去 $v$ 的公因数。

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解题步骤 5.1.2.1.1.1

约去公因数。

$\frac{\frac{d v}{d y}}{v} v = v \cdot v$

解题步骤 5.1.2.1.1.2

重写表达式。

$\frac{d v}{d y} = v \cdot v$

解题步骤 5.1.2.2

化简右边。

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解题步骤 5.1.2.2.1

将 $v$ 乘以 $v$ 。

$\frac{d v}{d y} = v^{2}$

解题步骤 5.2

两边同时乘以 $\frac{1}{v^{2}}$ 。

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d y} = \frac{1}{v^{2}} v^{2}$

解题步骤 5.3

约去 $v^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.1

约去公因数。

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d y} = \frac{1}{v^{2}} v^{2}$

解题步骤 5.3.2

重写表达式。

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d y} = 1$

解题步骤 5.4

重写该方程。

$\frac{1}{v^{2}} d v = 1 d y$

解题步骤 6

对两边积分。

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解题步骤 6.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{v^{2}} d v = \int d y$

解题步骤 6.2

对左边积分。

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解题步骤 6.2.1

应用指数的基本规则。

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解题步骤 6.2.1.1

通过将 $v^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int {(v^{2})}^{- 1} d v = \int d y$

解题步骤 6.2.1.2

将 ${(v^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.2.1.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int v^{2 \cdot - 1} d v = \int d y$

解题步骤 6.2.1.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\int v^{- 2} d v = \int d y$

解题步骤 6.2.2

根据幂法则， $v^{- 2}$ 对 $v$ 的积分是 $- v^{- 1}$ 。

$- v^{- 1} + C_{1} = \int d y$

解题步骤 6.2.3

将 $- v^{- 1} + C_{1}$ 重写为 $- \frac{1}{v} + C_{1}$ 。

$- \frac{1}{v} + C_{1} = \int d y$

解题步骤 6.3

应用常数不变法则。

$- \frac{1}{v} + C_{1} = y + C_{2}$

解题步骤 6.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$- \frac{1}{v} = y + K$

解题步骤 7

求解 $v$ 。

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解题步骤 7.1

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 7.1.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$v, 1, 1$

解题步骤 7.1.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$v$

解题步骤 7.2

将 $- \frac{1}{v} = y + K$ 中的每一项乘以 $v$ 以消去分数。

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解题步骤 7.2.1

将 $- \frac{1}{v} = y + K$ 中的每一项乘以 $v$ 。

$- \frac{1}{v} v = y v + K v$

解题步骤 7.2.2

化简左边。

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解题步骤 7.2.2.1

约去 $v$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.2.1.1

将 $- \frac{1}{v}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- 1}{v} v = y v + K v$

解题步骤 7.2.2.1.2

约去公因数。

$\frac{- 1}{v} v = y v + K v$

解题步骤 7.2.2.1.3

重写表达式。

$- 1 = y v + K v$

解题步骤 7.3

求解方程。

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解题步骤 7.3.1

将方程重写为 $y v + K v = - 1$ 。

$y v + K v = - 1$

解题步骤 7.3.2

从 $y v + K v$ 中分解出因数 $v$ 。

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解题步骤 7.3.2.1

从 $y v$ 中分解出因数 $v$ 。

$v y + K v = - 1$

解题步骤 7.3.2.2

从 $K v$ 中分解出因数 $v$ 。

$v y + v K = - 1$

解题步骤 7.3.2.3

从 $v y + v K$ 中分解出因数 $v$ 。

$v (y + K) = - 1$

解题步骤 7.3.3

将 $v (y + K) = - 1$ 中的每一项除以 $y + K$ 并化简。

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解题步骤 7.3.3.1

将 $v (y + K) = - 1$ 中的每一项都除以 $y + K$ 。

$\frac{v (y + K)}{y + K} = \frac{- 1}{y + K}$

解题步骤 7.3.3.2

化简左边。

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解题步骤 7.3.3.2.1

约去 $y + K$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{v (y + K)}{y + K} = \frac{- 1}{y + K}$

解题步骤 7.3.3.2.1.2

用 $v$ 除以 $1$ 。

$v = \frac{- 1}{y + K}$

解题步骤 7.3.3.3

化简右边。

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解题步骤 7.3.3.3.1

将负号移到分数的前面。

$v = - \frac{1}{y + K}$

解题步骤 8

使用 $e^{x + y}$ 替换所有出现的 $v$ 。

$e^{x + y} = - \frac{1}{y + K}$

解题步骤 9

求解 $x$ 。

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解题步骤 9.1

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{x + y}) = \ln (- \frac{1}{y + K})$

解题步骤 9.2

展开左边。

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解题步骤 9.2.1

通过将 $x + y$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{x + y})$ 。

$(x + y) \ln (e) = \ln (- \frac{1}{y + K})$

解题步骤 9.2.2

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$(x + y) \cdot 1 = \ln (- \frac{1}{y + K})$

解题步骤 9.2.3

将 $x + y$ 乘以 $1$ 。

$x + y = \ln (- \frac{1}{y + K})$

解题步骤 9.3

从等式两边同时减去 $y$ 。

$x = \ln (- \frac{1}{y + K}) - y$

微积分学 示例

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