微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \sec^{2} (x) {(2 + y)}^{2}$ , $y (π) = - 5$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $\frac{1}{{(2 + y)}^{2}}$ 。

$\frac{1}{{(2 + y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(2 + y)}^{2}} (\sec^{2} (x) {(2 + y)}^{2})$

解题步骤 1.2

约去 ${(2 + y)}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

从 $\sec^{2} (x) {(2 + y)}^{2}$ 中分解出因数 ${(2 + y)}^{2}$ 。

$\frac{1}{{(2 + y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(2 + y)}^{2}} ({(2 + y)}^{2} \sec^{2} (x))$

解题步骤 1.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{{(2 + y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(2 + y)}^{2}} ({(2 + y)}^{2} \sec^{2} (x))$

解题步骤 1.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{{(2 + y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \sec^{2} (x)$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$\frac{1}{{(2 + y)}^{2}} d y = \sec^{2} (x) d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{{(2 + y)}^{2}} d y = \int \sec^{2} (x) d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

使 $u = 2 + y$ 。然后使 $d u = d y$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.2.1.1

设 $u = 2 + y$ 。求 $\frac{d u}{d y}$ 。

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解题步骤 2.2.1.1.1

对 $2 + y$ 求导。

$\frac{d}{d y} [2 + y]$

解题步骤 2.2.1.1.2

根据加法法则， $2 + y$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [y]$ 。

$\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 2.2.1.1.3

因为 $2$ 对于 $y$ 是常数，所以 $2$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 2.2.1.1.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 + 1$

解题步骤 2.2.1.1.5

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$1$

解题步骤 2.2.1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{1}{u^{2}} d u = \int \sec^{2} (x) d x$

解题步骤 2.2.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.2.2.1

通过将 $u^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int {(u^{2})}^{- 1} d u = \int \sec^{2} (x) d x$

解题步骤 2.2.2.2

将 ${(u^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int u^{2 \cdot - 1} d u = \int \sec^{2} (x) d x$

解题步骤 2.2.2.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\int u^{- 2} d u = \int \sec^{2} (x) d x$

解题步骤 2.2.3

根据幂法则， $u^{- 2}$ 对 $u$ 的积分是 $- u^{- 1}$ 。

$- u^{- 1} + C_{1} = \int \sec^{2} (x) d x$

解题步骤 2.2.4

将 $- u^{- 1} + C_{1}$ 重写为 $- \frac{1}{u} + C_{1}$ 。

$- \frac{1}{u} + C_{1} = \int \sec^{2} (x) d x$

解题步骤 2.2.5

使用 $2 + y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{1}{2 + y} + C_{1} = \int \sec^{2} (x) d x$

解题步骤 2.3

因为 $\tan (x)$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ ，所以 $\sec^{2} (x)$ 的积分为 $\tan (x)$ 。

$- \frac{1}{2 + y} + C_{1} = \tan (x) + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$- \frac{1}{2 + y} = \tan (x) + K$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 3.1.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$2 + y, 1, 1$

解题步骤 3.1.2

去掉圆括号。

$2 + y, 1, 1$

解题步骤 3.1.3

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$2 + y$

解题步骤 3.2

将 $- \frac{1}{2 + y} = \tan (x) + K$ 中的每一项乘以 $2 + y$ 以消去分数。

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解题步骤 3.2.1

将 $- \frac{1}{2 + y} = \tan (x) + K$ 中的每一项乘以 $2 + y$ 。

$- \frac{1}{2 + y} (2 + y) = \tan (x) (2 + y) + K (2 + y)$

解题步骤 3.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.2.1

约去 $2 + y$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1.1

将 $- \frac{1}{2 + y}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- 1}{2 + y} (2 + y) = \tan (x) (2 + y) + K (2 + y)$

解题步骤 3.2.2.1.2

约去公因数。

$\frac{- 1}{2 + y} (2 + y) = \tan (x) (2 + y) + K (2 + y)$

解题步骤 3.2.2.1.3

重写表达式。

$- 1 = \tan (x) (2 + y) + K (2 + y)$

解题步骤 3.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.3.1.1

运用分配律。

$- 1 = \tan (x) \cdot 2 + \tan (x) y + K (2 + y)$

解题步骤 3.2.3.1.2

将 $2$ 移到 $\tan (x)$ 的左侧。

$- 1 = 2 \cdot \tan (x) + \tan (x) y + K (2 + y)$

解题步骤 3.2.3.1.3

运用分配律。

$- 1 = 2 \tan (x) + \tan (x) y + K \cdot 2 + K y$

解题步骤 3.2.3.1.4

将 $2$ 移到 $K$ 的左侧。

$- 1 = 2 \tan (x) + \tan (x) y + 2 K + K y$

解题步骤 3.2.3.2

将 $2 \tan (x) + \tan (x) y + 2 K + K y$ 中的因式重新排序。

$- 1 = 2 \tan (x) + y \tan (x) + 2 K + K y$

解题步骤 3.3

求解方程。

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解题步骤 3.3.1

将方程重写为 $2 \tan (x) + y \tan (x) + 2 K + K y = - 1$ 。

$2 \tan (x) + y \tan (x) + 2 K + K y = - 1$

解题步骤 3.3.2

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.3.2.1

从等式两边同时减去 $2 \tan (x)$ 。

$y \tan (x) + 2 K + K y = - 1 - 2 \tan (x)$

解题步骤 3.3.2.2

从等式两边同时减去 $2 K$ 。

$y \tan (x) + K y = - 1 - 2 \tan (x) - 2 K$

解题步骤 3.3.3

从 $y \tan (x) + K y$ 中分解出因数 $y$ 。

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解题步骤 3.3.3.1

从 $y \tan (x)$ 中分解出因数 $y$ 。

$y (\tan (x)) + K y = - 1 - 2 \tan (x) - 2 K$

解题步骤 3.3.3.2

从 $K y$ 中分解出因数 $y$ 。

$y (\tan (x)) + y K = - 1 - 2 \tan (x) - 2 K$

解题步骤 3.3.3.3

从 $y (\tan (x)) + y K$ 中分解出因数 $y$ 。

$y (\tan (x) + K) = - 1 - 2 \tan (x) - 2 K$

解题步骤 3.3.4

将 $y (\tan (x) + K) = - 1 - 2 \tan (x) - 2 K$ 中的每一项除以 $\tan (x) + K$ 并化简。

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解题步骤 3.3.4.1

将 $y (\tan (x) + K) = - 1 - 2 \tan (x) - 2 K$ 中的每一项都除以 $\tan (x) + K$ 。

$\frac{y (\tan (x) + K)}{\tan (x) + K} = \frac{- 1}{\tan (x) + K} + \frac{- 2 \tan (x)}{\tan (x) + K} + \frac{- 2 K}{\tan (x) + K}$

解题步骤 3.3.4.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.4.2.1

约去 $\tan (x) + K$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y (\tan (x) + K)}{\tan (x) + K} = \frac{- 1}{\tan (x) + K} + \frac{- 2 \tan (x)}{\tan (x) + K} + \frac{- 2 K}{\tan (x) + K}$

解题步骤 3.3.4.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{- 1}{\tan (x) + K} + \frac{- 2 \tan (x)}{\tan (x) + K} + \frac{- 2 K}{\tan (x) + K}$

解题步骤 3.3.4.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.4.3.1

化简项。

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解题步骤 3.3.4.3.1.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.4.3.1.1.1

将负号移到分数的前面。

$y = - \frac{1}{\tan (x) + K} + \frac{- 2 \tan (x)}{\tan (x) + K} + \frac{- 2 K}{\tan (x) + K}$

解题步骤 3.3.4.3.1.1.2

将负号移到分数的前面。

$y = - \frac{1}{\tan (x) + K} - \frac{2 \tan (x)}{\tan (x) + K} + \frac{- 2 K}{\tan (x) + K}$

解题步骤 3.3.4.3.1.1.3

将负号移到分数的前面。

$y = - \frac{1}{\tan (x) + K} - \frac{2 \tan (x)}{\tan (x) + K} - \frac{2 K}{\tan (x) + K}$

解题步骤 3.3.4.3.1.2

在公分母上合并分子。

$y = \frac{- 1 - 2 \tan (x)}{\tan (x) + K} - \frac{2 K}{\tan (x) + K}$

解题步骤 3.3.4.3.1.3

化简每一项。

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解题步骤 3.3.4.3.1.3.1

从 $- 1 - 2 \tan (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

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解题步骤 3.3.4.3.1.3.1.1

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$y = \frac{- 1 (1) - 2 \tan (x)}{\tan (x) + K} - \frac{2 K}{\tan (x) + K}$

解题步骤 3.3.4.3.1.3.1.2

从 $- 2 \tan (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \frac{- 1 (1) - (2 \tan (x))}{\tan (x) + K} - \frac{2 K}{\tan (x) + K}$

解题步骤 3.3.4.3.1.3.1.3

从 $- 1 (1) - (2 \tan (x))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \frac{- 1 (1 + 2 \tan (x))}{\tan (x) + K} - \frac{2 K}{\tan (x) + K}$

解题步骤 3.3.4.3.1.3.1.4

将 $- 1 (1 + 2 \tan (x))$ 重写为 $- (1 + 2 \tan (x))$ 。

$y = \frac{- (1 + 2 \tan (x))}{\tan (x) + K} - \frac{2 K}{\tan (x) + K}$

解题步骤 3.3.4.3.1.3.2

将负号移到分数的前面。

$y = - \frac{1 + 2 \tan (x)}{\tan (x) + K} - \frac{2 K}{\tan (x) + K}$

解题步骤 3.3.4.3.1.4

在公分母上合并分子。

$y = \frac{- (1 + 2 \tan (x)) - 2 K}{\tan (x) + K}$

解题步骤 3.3.4.3.2

化简分子。

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解题步骤 3.3.4.3.2.1

运用分配律。

$y = \frac{- 1 \cdot 1 - (2 \tan (x)) - 2 K}{\tan (x) + K}$

解题步骤 3.3.4.3.2.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{- 1 - (2 \tan (x)) - 2 K}{\tan (x) + K}$

解题步骤 3.3.4.3.2.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$y = \frac{- 1 - 2 \tan (x) - 2 K}{\tan (x) + K}$

解题步骤 3.3.4.3.3

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 3.3.4.3.3.1

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$y = \frac{- 1 (1) - 2 \tan (x) - 2 K}{\tan (x) + K}$

解题步骤 3.3.4.3.3.2

从 $- 2 \tan (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \frac{- 1 (1) - (2 \tan (x)) - 2 K}{\tan (x) + K}$

解题步骤 3.3.4.3.3.3

从 $- 1 (1) - (2 \tan (x))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \frac{- 1 (1 + 2 \tan (x)) - 2 K}{\tan (x) + K}$

解题步骤 3.3.4.3.3.4

从 $- 2 K$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \frac{- 1 (1 + 2 \tan (x)) - (2 K)}{\tan (x) + K}$

解题步骤 3.3.4.3.3.5

从 $- 1 (1 + 2 \tan (x)) - (2 K)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \frac{- 1 (1 + 2 \tan (x) + 2 K)}{\tan (x) + K}$

解题步骤 3.3.4.3.3.6

将负号移到分数的前面。

$y = - \frac{1 + 2 \tan (x) + 2 K}{\tan (x) + K}$

解题步骤 4

化简积分常数。

$y = - \frac{1 + 2 \tan (x) + K}{\tan (x) + K}$

解题步骤 5

使用初始条件，通过将 $π$ 代入 $x$ ，将 $- 5$ 代入 $y$ ，在 $y = - \frac{1 + 2 \tan (x) + K}{\tan (x) + K}$ 中求 $K$ 的值。

$- 5 = - \frac{1 + 2 \tan (π) + K}{\tan (π) + K}$

解题步骤 6

求解 $K$ 。

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解题步骤 6.1

将方程重写为 $- \frac{1 + 2 \tan (π) + K}{\tan (π) + K} = - 5$ 。

$- \frac{1 + 2 \tan (π) + K}{\tan (π) + K} = - 5$

解题步骤 6.2

将每一项进行分解因式。

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解题步骤 6.2.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正切在第二象限为负。

$- \frac{1 + 2 (- \tan (0)) + K}{\tan (π) + K} = - 5$

解题步骤 6.2.2

$\tan (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$- \frac{1 + 2 (- 0) + K}{\tan (π) + K} = - 5$

解题步骤 6.2.3

乘以 $2 (- 0)$ 。

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解题步骤 6.2.3.1

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$- \frac{1 + 2 \cdot 0 + K}{\tan (π) + K} = - 5$

解题步骤 6.2.3.2

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$- \frac{1 + 0 + K}{\tan (π) + K} = - 5$

解题步骤 6.2.4

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{1 + K}{\tan (π) + K} = - 5$

解题步骤 6.2.5

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正切在第二象限为负。

$- \frac{1 + K}{- \tan (0) + K} = - 5$

解题步骤 6.2.6

$\tan (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$- \frac{1 + K}{- 0 + K} = - 5$

解题步骤 6.2.7

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$- \frac{1 + K}{0 + K} = - 5$

解题步骤 6.2.8

将 $0$ 和 $K$ 相加。

$- \frac{1 + K}{K} = - 5$

解题步骤 6.3

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 6.3.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$K, 1$

解题步骤 6.3.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$K$

解题步骤 6.4

将 $- \frac{1 + K}{K} = - 5$ 中的每一项乘以 $K$ 以消去分数。

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解题步骤 6.4.1

将 $- \frac{1 + K}{K} = - 5$ 中的每一项乘以 $K$ 。

$- \frac{1 + K}{K} K = - 5 K$

解题步骤 6.4.2

化简左边。

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解题步骤 6.4.2.1

约去 $K$ 的公因数。

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解题步骤 6.4.2.1.1

将 $- \frac{1 + K}{K}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- (1 + K)}{K} K = - 5 K$

解题步骤 6.4.2.1.2

约去公因数。

$\frac{- (1 + K)}{K} K = - 5 K$

解题步骤 6.4.2.1.3

重写表达式。

$- (1 + K) = - 5 K$

解题步骤 6.4.2.2

运用分配律。

$- 1 \cdot 1 - K = - 5 K$

解题步骤 6.4.2.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1 - K = - 5 K$

解题步骤 6.5

求解方程。

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解题步骤 6.5.1

将所有包含 $K$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 6.5.1.1

在等式两边都加上 $5 K$ 。

$- 1 - K + 5 K = 0$

解题步骤 6.5.1.2

将 $- K$ 和 $5 K$ 相加。

$- 1 + 4 K = 0$

解题步骤 6.5.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$4 K = 1$

解题步骤 6.5.3

将 $4 K = 1$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 6.5.3.1

将 $4 K = 1$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 K}{4} = \frac{1}{4}$

解题步骤 6.5.3.2

化简左边。

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解题步骤 6.5.3.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 6.5.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 K}{4} = \frac{1}{4}$

解题步骤 6.5.3.2.1.2

用 $K$ 除以 $1$ 。

$K = \frac{1}{4}$

解题步骤 7

代入 $\frac{1}{4}$ 替换 $y = - \frac{1 + 2 \tan (x) + K}{\tan (x) + K}$ 中的 $K$ 并化简。

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解题步骤 7.1

代入 $\frac{1}{4}$ 替换 $K$ 。

$y = - \frac{1 + 2 \tan (x) + \frac{1}{4}}{\tan (x) + K}$

解题步骤 7.2

将分数的分子和分母乘以 $4$ 。

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解题步骤 7.2.1

将 $\frac{1 + 2 \tan (x) + \frac{1}{4}}{\tan (x) + K}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$y = - (\frac{4}{4} \cdot \frac{1 + 2 \tan (x) + \frac{1}{4}}{\tan (x) + K})$

解题步骤 7.2.2

合并。

$y = - \frac{4 (1 + 2 \tan (x) + \frac{1}{4})}{4 (\tan (x) + K)}$

解题步骤 7.3

运用分配律。

$y = - \frac{4 \cdot 1 + 4 (2 \tan (x)) + 4 (\frac{1}{4})}{4 \tan (x) + 4 K}$

解题步骤 7.4

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 7.4.1

约去公因数。

$y = - \frac{4 \cdot 1 + 4 (2 \tan (x)) + 4 (\frac{1}{4})}{4 \tan (x) + 4 K}$

解题步骤 7.4.2

重写表达式。

$y = - \frac{4 \cdot 1 + 4 (2 \tan (x)) + 1}{4 \tan (x) + 4 K}$

解题步骤 7.5

化简分子。

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解题步骤 7.5.1

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$y = - \frac{4 + 4 \cdot 2 \tan (x) + 1}{4 \tan (x) + 4 K}$

解题步骤 7.5.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$y = - \frac{4 + 8 \tan (x) + 1}{4 \tan (x) + 4 K}$

解题步骤 7.5.3

将 $4$ 和 $1$ 相加。

$y = - \frac{5 + 8 \tan (x)}{4 \tan (x) + 4 K}$

解题步骤 7.6

从 $4 \tan (x) + 4 K$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 7.6.1

从 $4 \tan (x)$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = - \frac{5 + 8 \tan (x)}{4 (\tan (x)) + 4 K}$

解题步骤 7.6.2

从 $4 K$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = - \frac{5 + 8 \tan (x)}{4 (\tan (x)) + 4 (K)}$

解题步骤 7.6.3

从 $4 (\tan (x)) + 4 (K)$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = - \frac{5 + 8 \tan (x)}{4 (\tan (x) + K)}$

微积分学 示例

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