微积分学示例

$x^{2} y d y = e^{y} d x$

解题步骤 1

两边同时乘以 $\frac{1}{x^{2} e^{y}}$ 。

$\frac{1}{x^{2} e^{y}} (x^{2} y) d y = \frac{1}{x^{2} e^{y}} e^{y} d x$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.1

从 $x^{2} e^{y}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{1}{x^{2} (e^{y})} (x^{2} y) d y = \frac{1}{x^{2} e^{y}} e^{y} d x$

解题步骤 2.1.2

从 $x^{2} y$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{1}{x^{2} (e^{y})} (x^{2} (y)) d y = \frac{1}{x^{2} e^{y}} e^{y} d x$

解题步骤 2.1.3

约去公因数。

$\frac{1}{x^{2} e^{y}} (x^{2} y) d y = \frac{1}{x^{2} e^{y}} e^{y} d x$

解题步骤 2.1.4

重写表达式。

$\frac{1}{e^{y}} y d y = \frac{1}{x^{2} e^{y}} e^{y} d x$

解题步骤 2.2

组合 $\frac{1}{e^{y}}$ 和 $y$ 。

$\frac{y}{e^{y}} d y = \frac{1}{x^{2} e^{y}} e^{y} d x$

解题步骤 2.3

约去 $e^{y}$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1

从 $x^{2} e^{y}$ 中分解出因数 $e^{y}$ 。

$\frac{y}{e^{y}} d y = \frac{1}{e^{y} x^{2}} e^{y} d x$

解题步骤 2.3.2

约去公因数。

$\frac{y}{e^{y}} d y = \frac{1}{e^{y} x^{2}} e^{y} d x$

解题步骤 2.3.3

重写表达式。

$\frac{y}{e^{y}} d y = \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 3

对两边积分。

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解题步骤 3.1

在两边建立积分。

$\int \frac{y}{e^{y}} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 3.2

对左边积分。

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解题步骤 3.2.1

化简表达式。

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解题步骤 3.2.1.1

将 $e^{y}$ 的指数取反来将其从分母中消除。

$\int y {(e^{y})}^{- 1} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 3.2.1.2

将 ${(e^{y})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.2.1.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int y e^{y \cdot - 1} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 3.2.1.2.2

将 $- 1$ 移到 $y$ 的左侧。

$\int y e^{- 1 \cdot y} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 3.2.1.2.3

将 $- 1 y$ 重写为 $- y$ 。

$\int y e^{- y} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 3.2.2

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = y$ ， $d v = e^{- y}$ 。

$y (- e^{- y}) - \int - e^{- y} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 3.2.3

由于 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$y (- e^{- y}) - - \int e^{- y} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 3.2.4

化简。

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解题步骤 3.2.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$y (- e^{- y}) + 1 \int e^{- y} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 3.2.4.2

将 $\int e^{- y} d y$ 乘以 $1$ 。

$y (- e^{- y}) + \int e^{- y} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 3.2.5

使 $u = - y$ 。然后使 $d u = - d y$ ，以便 $- d u = d y$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 3.2.5.1

设 $u = - y$ 。求 $\frac{d u}{d y}$ 。

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解题步骤 3.2.5.1.1

对 $- y$ 求导。

$\frac{d}{d y} [- y]$

解题步骤 3.2.5.1.2

因为 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- y$ 对 $y$ 的导数是 $- \frac{d}{d y} [y]$ 。

$- \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 3.2.5.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 1 \cdot 1$

解题步骤 3.2.5.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 3.2.5.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$y (- e^{- y}) + \int - e^{u} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 3.2.6

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$y (- e^{- y}) - \int e^{u} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 3.2.7

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$y (- e^{- y}) - (e^{u} + C_{1}) = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 3.2.8

将 $y (- e^{- y}) - (e^{u} + C_{1})$ 重写为 $- y e^{- y} - e^{u} + C_{1}$ 。

$- y e^{- y} - e^{u} + C_{1} = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 3.2.9

使用 $- y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- y e^{- y} - e^{- y} + C_{1} = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 3.2.10

重新排序项。

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 3.3

对右边积分。

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解题步骤 3.3.1

应用指数的基本规则。

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解题步骤 3.3.1.1

通过将 $x^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

解题步骤 3.3.1.2

将 ${(x^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.3.1.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = \int x^{2 \cdot - 1} d x$

解题步骤 3.3.1.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = \int x^{- 2} d x$

解题步骤 3.3.2

根据幂法则， $x^{- 2}$ 对 $x$ 的积分是 $- x^{- 1}$ 。

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = - x^{- 1} + C_{2}$

解题步骤 3.3.3

将 $- x^{- 1} + C_{2}$ 重写为 $- \frac{1}{x} + C_{2}$ 。

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = - \frac{1}{x} + C_{2}$

解题步骤 3.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$- e^{- y} y - e^{- y} = - \frac{1}{x} + K$

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