微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{3} + y^{3}}{x^{2} y + x y^{2}}$

解题步骤 1

将微分方程重写为 $\frac{y}{x}$ 的函数。

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解题步骤 1.1

将 $\frac{x^{3} + y^{3}}{x^{2} y + x y^{2}}$ 乘以 $\frac{\frac{1}{x^{3}}}{\frac{1}{x^{3}}}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{3} + y^{3}}{x^{2} y + x y^{2}} \cdot \frac{\frac{1}{x^{3}}}{\frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 1.2

将 $\frac{x^{3} + y^{3}}{x^{2} y + x y^{2}}$ 乘以 $\frac{\frac{1}{x^{3}}}{\frac{1}{x^{3}}}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{(x^{3} + y^{3}) \frac{1}{x^{3}}}{(x^{2} y + x y^{2}) \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 1.3

运用分配律。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{3} \frac{1}{x^{3}} + y^{3} \frac{1}{x^{3}}}{(x^{2} y + x y^{2}) \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 1.4

约去 $x^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.1

约去公因数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{3} \frac{1}{x^{3}} + y^{3} \frac{1}{x^{3}}}{(x^{2} y + x y^{2}) \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 1.4.2

重写表达式。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{3} \frac{1}{x^{3}}}{(x^{2} y + x y^{2}) \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 1.5

组合 $y^{3}$ 和 $\frac{1}{x^{3}}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + \frac{y^{3}}{x^{3}}}{(x^{2} y + x y^{2}) \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 1.6

运用分配律。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + \frac{y^{3}}{x^{3}}}{x^{2} y \frac{1}{x^{3}} + x y^{2} \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 1.7

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.7.1

从 $x^{2} y$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + \frac{y^{3}}{x^{3}}}{x^{2} (y) \frac{1}{x^{3}} + x y^{2} \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 1.7.2

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + \frac{y^{3}}{x^{3}}}{x^{2} (y) \frac{1}{x^{2} x} + x y^{2} \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 1.7.3

约去公因数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + \frac{y^{3}}{x^{3}}}{x^{2} y \frac{1}{x^{2} x} + x y^{2} \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 1.7.4

重写表达式。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + \frac{y^{3}}{x^{3}}}{y \frac{1}{x} + x y^{2} \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 1.8

组合 $y$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + \frac{y^{3}}{x^{3}}}{\frac{y}{x} + x y^{2} \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 1.9

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.9.1

从 $x y^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + \frac{y^{3}}{x^{3}}}{\frac{y}{x} + x (y^{2}) \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 1.9.2

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + \frac{y^{3}}{x^{3}}}{\frac{y}{x} + x (y^{2}) \frac{1}{x \cdot x^{2}}}$

解题步骤 1.9.3

约去公因数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + \frac{y^{3}}{x^{3}}}{\frac{y}{x} + x y^{2} \frac{1}{x \cdot x^{2}}}$

解题步骤 1.9.4

重写表达式。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + \frac{y^{3}}{x^{3}}}{\frac{y}{x} + y^{2} \frac{1}{x^{2}}}$

解题步骤 1.10

组合 $y^{2}$ 和 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + \frac{y^{3}}{x^{3}}}{\frac{y}{x} + \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

解题步骤 1.11

使用商的乘方法则 $\frac{a^{m}}{b^{m}} = {(\frac{a}{b})}^{m}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + {(\frac{y}{x})}^{3}}{\frac{y}{x} + \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

解题步骤 1.12

使用商的乘方法则 $\frac{a^{m}}{b^{m}} = {(\frac{a}{b})}^{m}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + {(\frac{y}{x})}^{3}}{\frac{y}{x} + {(\frac{y}{x})}^{2}}$

解题步骤 2

设 $V = \frac{y}{x}$ 。将 $V$ 代入 $\frac{y}{x}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + V^{3}}{V + V^{2}}$

解题步骤 3

求解 $y$ 的 $V = \frac{y}{x}$ 。

$y = V x$

解题步骤 4

使用乘积法则求 $y = V x$ 对 $x$ 的导数。

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

解题步骤 5

代入 $x \frac{d V}{d x} + V$ 替换 $\frac{d y}{d x}$ 。

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{1 + V^{3}}{V + V^{2}}$

解题步骤 6

求解代入的微分方程。

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解题步骤 6.1

分离变量。

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解题步骤 6.1.1

求解 $\frac{d V}{d x}$ 。

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解题步骤 6.1.1.1

化简 $\frac{1 + V^{3}}{V + V^{2}}$ 。

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解题步骤 6.1.1.1.1

化简分子。

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解题步骤 6.1.1.1.1.1

将 $1$ 重写为 $1^{3}$ 。

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{1^{3} + V^{3}}{V + V^{2}}$

解题步骤 6.1.1.1.1.2

因为两项都是完全立方数，所以使用立方和公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = V$ 。

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{(1 + V) (1^{2} - 1 V + V^{2})}{V + V^{2}}$

解题步骤 6.1.1.1.1.3

化简。

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解题步骤 6.1.1.1.1.3.1

一的任意次幂都为一。

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{(1 + V) (1 - 1 V + V^{2})}{V + V^{2}}$

解题步骤 6.1.1.1.1.3.2

将 $- 1 V$ 重写为 $- V$ 。

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V + V^{2}}$

解题步骤 6.1.1.1.2

化简项。

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解题步骤 6.1.1.1.2.1

从 $V + V^{2}$ 中分解出因数 $V$ 。

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解题步骤 6.1.1.1.2.1.1

对 $V$ 进行 $1$ 次方运算。

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{1} + V^{2}}$

解题步骤 6.1.1.1.2.1.2

从 $V^{1}$ 中分解出因数 $V$ 。

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V \cdot 1 + V^{2}}$

解题步骤 6.1.1.1.2.1.3

从 $V^{2}$ 中分解出因数 $V$ 。

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V \cdot 1 + V \cdot V}$

解题步骤 6.1.1.1.2.1.4

从 $V \cdot 1 + V \cdot V$ 中分解出因数 $V$ 。

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V (1 + V)}$

解题步骤 6.1.1.1.2.2

约去 $1 + V$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.1.1.2.2.1

约去公因数。

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V (1 + V)}$

解题步骤 6.1.1.1.2.2.2

重写表达式。

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{1 - V + V^{2}}{V}$

解题步骤 6.1.1.2

将所有不包含 $\frac{d V}{d x}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 6.1.1.2.1

从等式两边同时减去 $V$ 。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1 - V + V^{2}}{V} - V$

解题步骤 6.1.1.2.2

化简每一项。

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解题步骤 6.1.1.2.2.1

分解分数 $\frac{1 - V + V^{2}}{V}$ 成为两个分数。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1 - V}{V} + \frac{V^{2}}{V} - V$

解题步骤 6.1.1.2.2.2

化简每一项。

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解题步骤 6.1.1.2.2.2.1

分解分数 $\frac{1 - V}{V}$ 成为两个分数。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} + \frac{- V}{V} + \frac{V^{2}}{V} - V$

解题步骤 6.1.1.2.2.2.2

约去 $V$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.1.2.2.2.2.1

约去公因数。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} + \frac{- V}{V} + \frac{V^{2}}{V} - V$

解题步骤 6.1.1.2.2.2.2.2

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} - 1 + \frac{V^{2}}{V} - V$

解题步骤 6.1.1.2.2.2.3

约去 $V^{2}$ 和 $V$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.1.2.2.2.3.1

从 $V^{2}$ 中分解出因数 $V$ 。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} - 1 + \frac{V \cdot V}{V} - V$

解题步骤 6.1.1.2.2.2.3.2

约去公因数。

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解题步骤 6.1.1.2.2.2.3.2.1

对 $V$ 进行 $1$ 次方运算。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} - 1 + \frac{V \cdot V}{V^{1}} - V$

解题步骤 6.1.1.2.2.2.3.2.2

从 $V^{1}$ 中分解出因数 $V$ 。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} - 1 + \frac{V \cdot V}{V \cdot 1} - V$

解题步骤 6.1.1.2.2.2.3.2.3

约去公因数。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} - 1 + \frac{V \cdot V}{V \cdot 1} - V$

解题步骤 6.1.1.2.2.2.3.2.4

重写表达式。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} - 1 + \frac{V}{1} - V$

解题步骤 6.1.1.2.2.2.3.2.5

用 $V$ 除以 $1$ 。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} - 1 + V - V$

解题步骤 6.1.1.2.3

合并 $\frac{1}{V} - 1 + V - V$ 中相反的项。

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解题步骤 6.1.1.2.3.1

从 $V$ 中减去 $V$ 。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} - 1 + 0$

解题步骤 6.1.1.2.3.2

将 $\frac{1}{V} - 1$ 和 $0$ 相加。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} - 1$

解题步骤 6.1.1.3

将 $x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} - 1$ 中的每一项除以 $x$ 并化简。

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解题步骤 6.1.1.3.1

将 $x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} - 1$ 中的每一项都除以 $x$ 。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{V}}{x} + \frac{- 1}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.2

化简左边。

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解题步骤 6.1.1.3.2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.1.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{V}}{x} + \frac{- 1}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.2.1.2

用 $\frac{d V}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{V}}{x} + \frac{- 1}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.3

化简右边。

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解题步骤 6.1.1.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 6.1.1.3.3.1.1

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} \cdot \frac{1}{x} + \frac{- 1}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.3.1.2

将 $\frac{1}{V}$ 乘以 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V x} + \frac{- 1}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.3.1.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V x} - \frac{1}{x}$

解题步骤 6.1.2

因数。

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解题步骤 6.1.2.1

要将 $- \frac{1}{x}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{V}{V}$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{V}{V}$

解题步骤 6.1.2.2

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $V x$ 的形式。

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解题步骤 6.1.2.2.1

将 $\frac{1}{x}$ 乘以 $\frac{V}{V}$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V x} - \frac{V}{x V}$

解题步骤 6.1.2.2.2

重新排序 $x V$ 的因式。

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V x} - \frac{V}{V x}$

解题步骤 6.1.2.3

在公分母上合并分子。

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 - V}{V x}$

解题步骤 6.1.3

重新组合因数。

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 - V}{V} \cdot \frac{1}{x}$

解题步骤 6.1.4

两边同时乘以 $\frac{V}{1 - V}$ 。

$\frac{V}{1 - V} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 - V} (\frac{1 - V}{V} \cdot \frac{1}{x})$

解题步骤 6.1.5

化简。

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解题步骤 6.1.5.1

将 $\frac{1 - V}{V}$ 乘以 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{V}{1 - V} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 - V} \cdot \frac{1 - V}{V x}$

解题步骤 6.1.5.2

约去 $V$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.5.2.1

从 $V x$ 中分解出因数 $V$ 。

$\frac{V}{1 - V} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 - V} \cdot \frac{1 - V}{V (x)}$

解题步骤 6.1.5.2.2

约去公因数。

$\frac{V}{1 - V} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 - V} \cdot \frac{1 - V}{V x}$

解题步骤 6.1.5.2.3

重写表达式。

$\frac{V}{1 - V} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{1 - V} \cdot \frac{1 - V}{x}$

解题步骤 6.1.5.3

约去 $1 - V$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.5.3.1

约去公因数。

$\frac{V}{1 - V} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{1 - V} \cdot \frac{1 - V}{x}$

解题步骤 6.1.5.3.2

重写表达式。

$\frac{V}{1 - V} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

解题步骤 6.1.6

重写该方程。

$\frac{V}{1 - V} d V = \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2

对两边积分。

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解题步骤 6.2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{V}{1 - V} d V = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2

对左边积分。

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解题步骤 6.2.2.1

将 $1$ 和 $- V$ 重新排序。

$\int \frac{V}{- V + 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.2

用 $V$ 除以 $- V + 1$ 。

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解题步骤 6.2.2.2.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$V$

$1$

$V$

$0$

解题步骤 6.2.2.2.2

将被除数中的最高阶项 $V$ 除以除数中的最高阶项 $- V$ 。

				-	$1$
-	$V$	+	$1$		$V$	+	$0$

解题步骤 6.2.2.2.3

将新的商式项乘以除数。

				-	$1$
-	$V$	+	$1$		$V$	+	$0$
				+	$V$	-	$1$

解题步骤 6.2.2.2.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $V - 1$ 中的所有符号

				-	$1$
-	$V$	+	$1$		$V$	+	$0$
				-	$V$	+	$1$

解题步骤 6.2.2.2.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				-	$1$
-	$V$	+	$1$		$V$	+	$0$
				-	$V$	+	$1$
						+	$1$

解题步骤 6.2.2.2.6

最终答案为商加上余数除以除数。

$\int - 1 + \frac{1}{- V + 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.3

将单个积分拆分为多个积分。

$\int - 1 d V + \int \frac{1}{- V + 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.4

应用常数不变法则。

$- V + C_{1} + \int \frac{1}{- V + 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.5

使 $u = - V + 1$ 。然后使 $d u = - d V$ ，以便 $- d u = d V$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 6.2.2.5.1

设 $u = - V + 1$ 。求 $\frac{d u}{d V}$ 。

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解题步骤 6.2.2.5.1.1

重写。

$\frac{- 1}{1}$

解题步骤 6.2.2.5.1.2

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 6.2.2.5.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$- V + C_{1} + \int \frac{- 1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.6

将负号移到分数的前面。

$- V + C_{1} + \int - \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.7

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- V + C_{1} - \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.8

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$- V + C_{1} - (\ln (| u |) + C_{2}) = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.9

化简。

$- V - \ln (| u |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.10

使用 $- V + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- V - \ln (| - V + 1 |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.3

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$- V - \ln (| - V + 1 |) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4}$

解题步骤 6.2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$- V - \ln (| - V + 1 |) = \ln (| x |) + C$

解题步骤 7

代入 $\frac{y}{x}$ 替换 $V$ 。

$- \frac{y}{x} - \ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = \ln (| x |) + C$

解题步骤 8

求解 $y$ 的 $- \frac{y}{x} - \ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = \ln (| x |) + C$ 。

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解题步骤 8.1

将所有包含对数的项移到等式左边。

$- \ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) - \ln (| x |) = \frac{y}{x} + C$

解题步骤 8.2

在等式两边都加上 $\ln (| x |)$ 。

$- \ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = \frac{y}{x} + C + \ln (| x |)$

解题步骤 8.3

将 $- \ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = \frac{y}{x} + C + \ln (| x |)$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 8.3.1

将 $- \ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = \frac{y}{x} + C + \ln (| x |)$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- \ln (| - \frac{y}{x} + 1 |)}{- 1} = \frac{\frac{y}{x}}{- 1} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

解题步骤 8.3.2

化简左边。

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解题步骤 8.3.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\ln (| - \frac{y}{x} + 1 |)}{1} = \frac{\frac{y}{x}}{- 1} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

解题步骤 8.3.2.2

用 $\ln (| - \frac{y}{x} + 1 |)$ 除以 $1$ 。

$\ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = \frac{\frac{y}{x}}{- 1} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

解题步骤 8.3.3

化简右边。

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解题步骤 8.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 8.3.3.1.1

移动 $\frac{\frac{y}{x}}{- 1}$ 中分母的负号。

$\ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = - 1 \cdot \frac{y}{x} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

解题步骤 8.3.3.1.2

将 $- 1 \cdot \frac{y}{x}$ 重写为 $- \frac{y}{x}$ 。

$\ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = - \frac{y}{x} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

解题步骤 8.3.3.1.3

移动 $\frac{C}{- 1}$ 中分母的负号。

$\ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = - \frac{y}{x} - 1 \cdot C + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

解题步骤 8.3.3.1.4

将 $- 1 \cdot C$ 重写为 $- C$ 。

$\ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = - \frac{y}{x} - C + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

解题步骤 8.3.3.1.5

移动 $\frac{\ln (| x |)}{- 1}$ 中分母的负号。

$\ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = - \frac{y}{x} - C - 1 \cdot \ln (| x |)$

解题步骤 8.3.3.1.6

将 $- 1 \cdot \ln (| x |)$ 重写为 $- \ln (| x |)$ 。

$\ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = - \frac{y}{x} - C - \ln (| x |)$

解题步骤 8.4

将所有包含对数的项移到等式左边。

$\ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) + \ln (| x |) = - \frac{y}{x} - C$

解题步骤 8.5

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$\ln (| - \frac{y}{x} + 1 | | x |) = - \frac{y}{x} - C$

解题步骤 8.6

要将绝对值相乘，请将每个绝对值内的项相乘。

$\ln (| (- \frac{y}{x} + 1) x |) = - \frac{y}{x} - C$

解题步骤 8.7

运用分配律。

$\ln (| - \frac{y}{x} \cdot x + 1 x |) = - \frac{y}{x} - C$

解题步骤 8.8

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 8.8.1

将 $- \frac{y}{x}$ 中前置负号移到分子中。

$\ln (| \frac{- y}{x} \cdot x + 1 x |) = - \frac{y}{x} - C$

解题步骤 8.8.2

约去公因数。

$\ln (| \frac{- y}{x} \cdot x + 1 x |) = - \frac{y}{x} - C$

解题步骤 8.8.3

重写表达式。

$\ln (| - y + 1 x |) = - \frac{y}{x} - C$

解题步骤 8.9

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\ln (| - y + x |) = - \frac{y}{x} - C$

微积分学 示例

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