微积分学示例

$y (x - 1) d y + x (y - 1) d x = 0$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $x (y - 1) d x$ 。

$y (x - 1) d y = - x (y - 1) d x$

解题步骤 2

两边同时乘以 $\frac{1}{(x - 1) (y - 1)}$ 。

$\frac{1}{(x - 1) (y - 1)} (y (x - 1)) d y = \frac{1}{(x - 1) (y - 1)} (- x (y - 1)) d x$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

约去 $x - 1$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.1

从 $y (x - 1)$ 中分解出因数 $x - 1$ 。

$\frac{1}{(x - 1) (y - 1)} ((x - 1) y) d y = \frac{1}{(x - 1) (y - 1)} (- x (y - 1)) d x$

解题步骤 3.1.2

约去公因数。

$\frac{1}{(x - 1) (y - 1)} ((x - 1) y) d y = \frac{1}{(x - 1) (y - 1)} (- x (y - 1)) d x$

解题步骤 3.1.3

重写表达式。

$\frac{1}{y - 1} y d y = \frac{1}{(x - 1) (y - 1)} (- x (y - 1)) d x$

解题步骤 3.2

组合 $\frac{1}{y - 1}$ 和 $y$ 。

$\frac{y}{y - 1} d y = \frac{1}{(x - 1) (y - 1)} (- x (y - 1)) d x$

解题步骤 3.3

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{y}{y - 1} d y = - \frac{1}{(x - 1) (y - 1)} (x (y - 1)) d x$

解题步骤 3.4

约去 $y - 1$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.1

将 $- \frac{1}{(x - 1) (y - 1)}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{y}{y - 1} d y = \frac{- 1}{(x - 1) (y - 1)} (x (y - 1)) d x$

解题步骤 3.4.2

从 $(x - 1) (y - 1)$ 中分解出因数 $y - 1$ 。

$\frac{y}{y - 1} d y = \frac{- 1}{(y - 1) (x - 1)} (x (y - 1)) d x$

解题步骤 3.4.3

从 $x (y - 1)$ 中分解出因数 $y - 1$ 。

$\frac{y}{y - 1} d y = \frac{- 1}{(y - 1) (x - 1)} ((y - 1) x) d x$

解题步骤 3.4.4

约去公因数。

$\frac{y}{y - 1} d y = \frac{- 1}{(y - 1) (x - 1)} ((y - 1) x) d x$

解题步骤 3.4.5

重写表达式。

$\frac{y}{y - 1} d y = \frac{- 1}{x - 1} x d x$

解题步骤 3.5

组合 $\frac{- 1}{x - 1}$ 和 $x$ 。

$\frac{y}{y - 1} d y = \frac{- x}{x - 1} d x$

解题步骤 3.6

将负号移到分数的前面。

$\frac{y}{y - 1} d y = - \frac{x}{x - 1} d x$

解题步骤 4

对两边积分。

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解题步骤 4.1

在两边建立积分。

$\int \frac{y}{y - 1} d y = \int - \frac{x}{x - 1} d x$

解题步骤 4.2

对左边积分。

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解题步骤 4.2.1

用 $y$ 除以 $y - 1$ 。

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解题步骤 4.2.1.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$y$

$1$

$y$

$0$

解题步骤 4.2.1.2

将被除数中的最高阶项 $y$ 除以除数中的最高阶项 $y$ 。

					$1$
	$y$	-	$1$		$y$	+	$0$

解题步骤 4.2.1.3

将新的商式项乘以除数。

				$1$
$y$	-	$1$		$y$	+	$0$
			+	$y$	-	$1$

解题步骤 4.2.1.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $y - 1$ 中的所有符号

				$1$
$y$	-	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	+	$1$

解题步骤 4.2.1.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$1$
$y$	-	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	+	$1$
					+	$1$

解题步骤 4.2.1.6

最终答案为商加上余数除以除数。

$\int 1 + \frac{1}{y - 1} d y = \int - \frac{x}{x - 1} d x$

解题步骤 4.2.2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int d y + \int \frac{1}{y - 1} d y = \int - \frac{x}{x - 1} d x$

解题步骤 4.2.3

应用常数不变法则。

$y + C_{1} + \int \frac{1}{y - 1} d y = \int - \frac{x}{x - 1} d x$

解题步骤 4.2.4

使 $u_{1} = y - 1$ 。然后使 $d u_{1} = d y$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 4.2.4.1

设 $u_{1} = y - 1$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d y}$ 。

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解题步骤 4.2.4.1.1

对 $y - 1$ 求导。

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

解题步骤 4.2.4.1.2

根据加法法则， $y - 1$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ 。

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

解题步骤 4.2.4.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

解题步骤 4.2.4.1.4

因为 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 4.2.4.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 4.2.4.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$y + C_{1} + \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{x}{x - 1} d x$

解题步骤 4.2.5

$\frac{1}{u_{1}}$ 对 $u_{1}$ 的积分为 $\ln (| u_{1} |)$ 。

$y + C_{1} + \ln (| u_{1} |) + C_{2} = \int - \frac{x}{x - 1} d x$

解题步骤 4.2.6

化简。

$y + \ln (| u_{1} |) + C_{3} = \int - \frac{x}{x - 1} d x$

解题步骤 4.2.7

使用 $y - 1$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$y + \ln (| y - 1 |) + C_{3} = \int - \frac{x}{x - 1} d x$

解题步骤 4.3

对右边积分。

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解题步骤 4.3.1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$y + \ln (| y - 1 |) + C_{3} = - \int \frac{x}{x - 1} d x$

解题步骤 4.3.2

用 $x$ 除以 $x - 1$ 。

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解题步骤 4.3.2.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$1$

$x$

$0$

解题步骤 4.3.2.2

将被除数中的最高阶项 $x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$1$
	$x$	-	$1$		$x$	+	$0$

解题步骤 4.3.2.3

将新的商式项乘以除数。

				$1$
$x$	-	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	-	$1$

解题步骤 4.3.2.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x - 1$ 中的所有符号

				$1$
$x$	-	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	+	$1$

解题步骤 4.3.2.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$1$
$x$	-	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	+	$1$
					+	$1$

解题步骤 4.3.2.6

最终答案为商加上余数除以除数。

$y + \ln (| y - 1 |) + C_{3} = - \int 1 + \frac{1}{x - 1} d x$

解题步骤 4.3.3

将单个积分拆分为多个积分。

$y + \ln (| y - 1 |) + C_{3} = - (\int d x + \int \frac{1}{x - 1} d x)$

解题步骤 4.3.4

应用常数不变法则。

$y + \ln (| y - 1 |) + C_{3} = - (x + C_{4} + \int \frac{1}{x - 1} d x)$

解题步骤 4.3.5

使 $u_{2} = x - 1$ 。然后使 $d u_{2} = d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 4.3.5.1

设 $u_{2} = x - 1$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 4.3.5.1.1

对 $x - 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

解题步骤 4.3.5.1.2

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 4.3.5.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 4.3.5.1.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 4.3.5.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 4.3.5.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$y + \ln (| y - 1 |) + C_{3} = - (x + C_{4} + \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

解题步骤 4.3.6

$\frac{1}{u_{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $\ln (| u_{2} |)$ 。

$y + \ln (| y - 1 |) + C_{3} = - (x + C_{4} + \ln (| u_{2} |) + C_{5})$

解题步骤 4.3.7

化简。

$y + \ln (| y - 1 |) + C_{3} = - (x + \ln (| u_{2} |)) + C_{6}$

解题步骤 4.3.8

使用 $x - 1$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$y + \ln (| y - 1 |) + C_{3} = - (x + \ln (| x - 1 |)) + C_{6}$

解题步骤 4.3.9

运用分配律。

$y + \ln (| y - 1 |) + C_{3} = - x - \ln (| x - 1 |) + C_{6}$

解题步骤 4.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$y + \ln (| y - 1 |) = - x - \ln (| x - 1 |) + C$

微积分学 示例

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