微积分学示例

$\frac{d y}{d t} + y = t$

解题步骤 1

积分因数由公式 $e^{\int P (t) d t}$ 定义，其中 $P (t) = 1$ 。

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解题步骤 1.1

建立积分。

$e^{\int d t}$

解题步骤 1.2

应用常数不变法则。

$e^{t + C}$

解题步骤 1.3

去掉积分常数。

$e^{t}$

解题步骤 2

每一项乘以积分因数 $e^{t}$ 。

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解题步骤 2.1

每一项乘以 $e^{t}$ 。

$e^{t} \frac{d y}{d t} + e^{t} y = e^{t} t$

解题步骤 2.2

将 $e^{t} \frac{d y}{d t} + e^{t} y = e^{t} t$ 中的因式重新排序。

$e^{t} \frac{d y}{d t} + y e^{t} = t e^{t}$

解题步骤 3

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d t} [e^{t} y] = t e^{t}$

解题步骤 4

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d t} [e^{t} y] d t = \int t e^{t} d t$

解题步骤 5

对左边积分。

$e^{t} y = \int t e^{t} d t$

解题步骤 6

对右边积分。

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解题步骤 6.1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = t$ ， $d v = e^{t}$ 。

$e^{t} y = t e^{t} - \int e^{t} d t$

解题步骤 6.2

$e^{t}$ 对 $t$ 的积分为 $e^{t}$ 。

$e^{t} y = t e^{t} - (e^{t} + C)$

解题步骤 6.3

化简。

$e^{t} y = t e^{t} - e^{t} + C$

解题步骤 7

将 $e^{t} y = t e^{t} - e^{t} + C$ 中的每一项除以 $e^{t}$ 并化简。

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解题步骤 7.1

将 $e^{t} y = t e^{t} - e^{t} + C$ 中的每一项都除以 $e^{t}$ 。

$\frac{e^{t} y}{e^{t}} = \frac{t e^{t}}{e^{t}} + \frac{- e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

解题步骤 7.2

化简左边。

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解题步骤 7.2.1

约去 $e^{t}$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1.1

约去公因数。

$\frac{e^{t} y}{e^{t}} = \frac{t e^{t}}{e^{t}} + \frac{- e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

解题步骤 7.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{t e^{t}}{e^{t}} + \frac{- e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

解题步骤 7.3

化简右边。

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解题步骤 7.3.1

化简每一项。

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解题步骤 7.3.1.1

约去 $e^{t}$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.1.1.1

约去公因数。

$y = \frac{t e^{t}}{e^{t}} + \frac{- e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

解题步骤 7.3.1.1.2

用 $t$ 除以 $1$ 。

$y = t + \frac{- e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

解题步骤 7.3.1.2

约去 $e^{t}$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.1.2.1

约去公因数。

$y = t + \frac{- e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

解题步骤 7.3.1.2.2

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$y = t - 1 + \frac{C}{e^{t}}$

微积分学 示例

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