微积分学示例

$y (u^{2} + 1) d u + (u^{3} - 3 u) d y = 0$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $y (u^{2} + 1) d u$ 。

$(u^{3} - 3 u) d y = - y (u^{2} + 1) d u$

解题步骤 2

两边同时乘以 $\frac{1}{(u^{3} - 3 u) y}$ 。

$\frac{1}{(u^{3} - 3 u) y} (u^{3} - 3 u) d y = \frac{1}{(u^{3} - 3 u) y} (- y (u^{2} + 1)) d u$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

约去 $u^{3} - 3 u$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.1

从 $(u^{3} - 3 u) y$ 中分解出因数 $u^{3} - 3 u$ 。

$\frac{1}{(u^{3} - 3 u) (y)} (u^{3} - 3 u) d y = \frac{1}{(u^{3} - 3 u) y} (- y (u^{2} + 1)) d u$

解题步骤 3.1.2

约去公因数。

$\frac{1}{(u^{3} - 3 u) y} (u^{3} - 3 u) d y = \frac{1}{(u^{3} - 3 u) y} (- y (u^{2} + 1)) d u$

解题步骤 3.1.3

重写表达式。

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(u^{3} - 3 u) y} (- y (u^{2} + 1)) d u$

解题步骤 3.2

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{(u^{3} - 3 u) y} (y (u^{2} + 1)) d u$

解题步骤 3.3

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1

将 $- \frac{1}{(u^{3} - 3 u) y}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{(u^{3} - 3 u) y} (y (u^{2} + 1)) d u$

解题步骤 3.3.2

从 $(u^{3} - 3 u) y$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (u^{3} - 3 u)} (y (u^{2} + 1)) d u$

解题步骤 3.3.3

约去公因数。

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (u^{3} - 3 u)} (y (u^{2} + 1)) d u$

解题步骤 3.3.4

重写表达式。

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{u^{3} - 3 u} (u^{2} + 1) d u$

解题步骤 3.4

从 $u^{3} - 3 u$ 中分解出因数 $u$ 。

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解题步骤 3.4.1

从 $u^{3}$ 中分解出因数 $u$ 。

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{u \cdot u^{2} - 3 u} (u^{2} + 1) d u$

解题步骤 3.4.2

从 $- 3 u$ 中分解出因数 $u$ 。

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{u \cdot u^{2} + u \cdot - 3} (u^{2} + 1) d u$

解题步骤 3.4.3

从 $u \cdot u^{2} + u \cdot - 3$ 中分解出因数 $u$ 。

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{u (u^{2} - 3)} (u^{2} + 1) d u$

解题步骤 3.5

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{u (u^{2} - 3)} (u^{2} + 1) d u$

解题步骤 3.6

运用分配律。

$\frac{1}{y} d y = (- \frac{1}{u (u^{2} - 3)} u^{2} - \frac{1}{u (u^{2} - 3)} \cdot 1) d u$

解题步骤 3.7

约去 $u$ 的公因数。

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解题步骤 3.7.1

将 $- \frac{1}{u (u^{2} - 3)}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{1}{y} d y = (\frac{- 1}{u (u^{2} - 3)} u^{2} - \frac{1}{u (u^{2} - 3)} \cdot 1) d u$

解题步骤 3.7.2

从 $u^{2}$ 中分解出因数 $u$ 。

$\frac{1}{y} d y = (\frac{- 1}{u (u^{2} - 3)} (u \cdot u) - \frac{1}{u (u^{2} - 3)} \cdot 1) d u$

解题步骤 3.7.3

约去公因数。

$\frac{1}{y} d y = (\frac{- 1}{u (u^{2} - 3)} (u \cdot u) - \frac{1}{u (u^{2} - 3)} \cdot 1) d u$

解题步骤 3.7.4

重写表达式。

$\frac{1}{y} d y = (\frac{- 1}{u^{2} - 3} u - \frac{1}{u (u^{2} - 3)} \cdot 1) d u$

解题步骤 3.8

组合 $\frac{- 1}{u^{2} - 3}$ 和 $u$ 。

$\frac{1}{y} d y = (\frac{- u}{u^{2} - 3} - \frac{1}{u (u^{2} - 3)} \cdot 1) d u$

解题步骤 3.9

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{y} d y = (\frac{- u}{u^{2} - 3} - \frac{1}{u (u^{2} - 3)}) d u$

解题步骤 3.10

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{y} d y = (- \frac{u}{u^{2} - 3} - \frac{1}{u (u^{2} - 3)}) d u$

解题步骤 3.11

要将 $- \frac{u}{u^{2} - 3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{u}{u}$ 。

$\frac{1}{y} d y = (- \frac{u}{u^{2} - 3} \cdot \frac{u}{u} - \frac{1}{u (u^{2} - 3)}) d u$

解题步骤 3.12

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(u^{2} - 3) u$ 的形式。

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解题步骤 3.12.1

将 $\frac{u}{u^{2} - 3}$ 乘以 $\frac{u}{u}$ 。

$\frac{1}{y} d y = (- \frac{u \cdot u}{(u^{2} - 3) u} - \frac{1}{u (u^{2} - 3)}) d u$

解题步骤 3.12.2

重新排序 $(u^{2} - 3) u$ 的因式。

$\frac{1}{y} d y = (- \frac{u \cdot u}{u (u^{2} - 3)} - \frac{1}{u (u^{2} - 3)}) d u$

解题步骤 3.13

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{y} d y = \frac{- u \cdot u - 1}{u (u^{2} - 3)} d u$

解题步骤 3.14

通过指数相加将 $u$ 乘以 $u$ 。

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解题步骤 3.14.1

移动 $u$ 。

$\frac{1}{y} d y = \frac{- (u \cdot u) - 1}{u (u^{2} - 3)} d u$

解题步骤 3.14.2

将 $u$ 乘以 $u$ 。

$\frac{1}{y} d y = \frac{- u^{2} - 1}{u (u^{2} - 3)} d u$

解题步骤 3.15

从 $- u^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{1}{y} d y = \frac{- (u^{2}) - 1}{u (u^{2} - 3)} d u$

解题步骤 3.16

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$\frac{1}{y} d y = \frac{- (u^{2}) - 1 (1)}{u (u^{2} - 3)} d u$

解题步骤 3.17

从 $- (u^{2}) - 1 (1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{1}{y} d y = \frac{- (u^{2} + 1)}{u (u^{2} - 3)} d u$

解题步骤 3.18

将 $- (u^{2} + 1)$ 重写为 $- 1 (u^{2} + 1)$ 。

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1 (u^{2} + 1)}{u (u^{2} - 3)} d u$

解题步骤 3.19

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{y} d y = - \frac{u^{2} + 1}{u (u^{2} - 3)} d u$

解题步骤 4

对两边积分。

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解题步骤 4.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{u^{2} + 1}{u (u^{2} - 3)} d u$

解题步骤 4.2

$\frac{1}{y}$ 对 $y$ 的积分为 $\ln (| y |)$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{u^{2} + 1}{u (u^{2} - 3)} d u$

解题步骤 4.3

对右边积分。

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解题步骤 4.3.1

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{u^{2} + 1}{u (u^{2} - 3)} d u$

解题步骤 4.3.2

用部分分式分解写出分数。

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解题步骤 4.3.2.1

分解分数并乘以公分母。

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解题步骤 4.3.2.1.1

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于因式为二阶，分子中必须要有 $2$ 项。分子中必须包含的项数始终等于分母中的因式阶数。

$\frac{A}{u} + \frac{B u + C}{u^{2} - 3}$

解题步骤 4.3.2.1.2

将方程中的每个分数乘以原表达式中的分母。在本例中，分母为 $u (u^{2} - 3)$ 。

$\frac{(u^{2} + 1) (u (u^{2} - 3))}{u (u^{2} - 3)} = \frac{A (u (u^{2} - 3))}{u} + \frac{(B u + C) (u (u^{2} - 3))}{u^{2} - 3}$

解题步骤 4.3.2.1.3

约去 $u$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.2.1.3.1

约去公因数。

$\frac{(u^{2} + 1) (u (u^{2} - 3))}{u (u^{2} - 3)} = \frac{A (u (u^{2} - 3))}{u} + \frac{(B u + C) (u (u^{2} - 3))}{u^{2} - 3}$

解题步骤 4.3.2.1.3.2

重写表达式。

$\frac{(u^{2} + 1) (u^{2} - 3)}{u^{2} - 3} = \frac{A (u (u^{2} - 3))}{u} + \frac{(B u + C) (u (u^{2} - 3))}{u^{2} - 3}$

解题步骤 4.3.2.1.4

约去 $u^{2} - 3$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.2.1.4.1

约去公因数。

$\frac{(u^{2} + 1) (u^{2} - 3)}{u^{2} - 3} = \frac{A (u (u^{2} - 3))}{u} + \frac{(B u + C) (u (u^{2} - 3))}{u^{2} - 3}$

解题步骤 4.3.2.1.4.2

用 $u^{2} + 1$ 除以 $1$ 。

$u^{2} + 1 = \frac{A (u (u^{2} - 3))}{u} + \frac{(B u + C) (u (u^{2} - 3))}{u^{2} - 3}$

解题步骤 4.3.2.1.5

化简每一项。

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解题步骤 4.3.2.1.5.1

约去 $u$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.2.1.5.1.1

约去公因数。

$u^{2} + 1 = \frac{A (u (u^{2} - 3))}{u} + \frac{(B u + C) (u (u^{2} - 3))}{u^{2} - 3}$

解题步骤 4.3.2.1.5.1.2

用 $A (u^{2} - 3)$ 除以 $1$ 。

$u^{2} + 1 = A (u^{2} - 3) + \frac{(B u + C) (u (u^{2} - 3))}{u^{2} - 3}$

解题步骤 4.3.2.1.5.2

运用分配律。

$u^{2} + 1 = A u^{2} + A \cdot - 3 + \frac{(B u + C) (u (u^{2} - 3))}{u^{2} - 3}$

解题步骤 4.3.2.1.5.3

将 $- 3$ 移到 $A$ 的左侧。

$u^{2} + 1 = A u^{2} - 3 \cdot A + \frac{(B u + C) (u (u^{2} - 3))}{u^{2} - 3}$

解题步骤 4.3.2.1.5.4

约去 $u^{2} - 3$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.2.1.5.4.1

约去公因数。

$u^{2} + 1 = A u^{2} - 3 A + \frac{(B u + C) (u (u^{2} - 3))}{u^{2} - 3}$

解题步骤 4.3.2.1.5.4.2

用 $(B u + C) (u)$ 除以 $1$ 。

$u^{2} + 1 = A u^{2} - 3 A + (B u + C) (u)$

解题步骤 4.3.2.1.5.5

运用分配律。

$u^{2} + 1 = A u^{2} - 3 A + B u \cdot u + C u$

解题步骤 4.3.2.1.5.6

通过指数相加将 $u$ 乘以 $u$ 。

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解题步骤 4.3.2.1.5.6.1

移动 $u$ 。

$u^{2} + 1 = A u^{2} - 3 A + B (u \cdot u) + C u$

解题步骤 4.3.2.1.5.6.2

将 $u$ 乘以 $u$ 。

$u^{2} + 1 = A u^{2} - 3 A + B u^{2} + C u$

解题步骤 4.3.2.1.6

移动 $- 3 A$ 。

$u^{2} + 1 = A u^{2} + B u^{2} + C u - 3 A$

解题步骤 4.3.2.2

为部分分式变量创建方程, 并使用它们建立方程组。

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解题步骤 4.3.2.2.1

使方程两边 $u^{2}$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$1 = A + B$

解题步骤 4.3.2.2.2

使方程两边 $u$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$0 = C$

解题步骤 4.3.2.2.3

使方程两边不含 $u$ 的各项系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$1 = - 3 A$

解题步骤 4.3.2.2.4

建立方程组以求部分分式的系数。

$1 = A + B$

$0 = C$

$1 = - 3 A$

$1 = A + B$

$0 = C$

$1 = - 3 A$

解题步骤 4.3.2.3

求解方程组。

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解题步骤 4.3.2.3.1

将方程重写为 $C = 0$ 。

$C = 0$

$1 = A + B$

$1 = - 3 A$

解题步骤 4.3.2.3.2

将每个方程中所有出现的 $C$ 替换成 $0$ 。

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解题步骤 4.3.2.3.2.1

将方程重写为 $- 3 A = 1$ 。

$- 3 A = 1$

$C = 0$

$1 = A + B$

解题步骤 4.3.2.3.2.2

将 $- 3 A = 1$ 中的每一项除以 $- 3$ 并化简。

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解题步骤 4.3.2.3.2.2.1

将 $- 3 A = 1$ 中的每一项都除以 $- 3$ 。

$\frac{- 3 A}{- 3} = \frac{1}{- 3}$

$C = 0$

$1 = A + B$

解题步骤 4.3.2.3.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 4.3.2.3.2.2.2.1

约去 $- 3$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.2.3.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 3 A}{- 3} = \frac{1}{- 3}$

$C = 0$

$1 = A + B$

解题步骤 4.3.2.3.2.2.2.1.2

用 $A$ 除以 $1$ 。

$A = \frac{1}{- 3}$

$C = 0$

$1 = A + B$

$A = \frac{1}{- 3}$

$C = 0$

$1 = A + B$

$A = \frac{1}{- 3}$

$C = 0$

$1 = A + B$

解题步骤 4.3.2.3.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 4.3.2.3.2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

$1 = A + B$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

$1 = A + B$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

$1 = A + B$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

$1 = A + B$

解题步骤 4.3.2.3.3

将每个方程中所有出现的 $A$ 替换成 $- \frac{1}{3}$ 。

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解题步骤 4.3.2.3.3.1

使用 $- \frac{1}{3}$ 替换 $1 = A + B$ 中所有出现的 $A$ .

$1 = (- \frac{1}{3}) + B$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

解题步骤 4.3.2.3.3.2

化简右边。

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解题步骤 4.3.2.3.3.2.1

去掉圆括号。

$1 = - \frac{1}{3} + B$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

$1 = - \frac{1}{3} + B$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

$1 = - \frac{1}{3} + B$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

解题步骤 4.3.2.3.4

在 $1 = - \frac{1}{3} + B$ 中求解 $B$ 。

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解题步骤 4.3.2.3.4.1

将方程重写为 $- \frac{1}{3} + B = 1$ 。

$- \frac{1}{3} + B = 1$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

解题步骤 4.3.2.3.4.2

将所有不包含 $B$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 4.3.2.3.4.2.1

在等式两边都加上 $\frac{1}{3}$ 。

$B = 1 + \frac{1}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

解题步骤 4.3.2.3.4.2.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$B = \frac{3}{3} + \frac{1}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

解题步骤 4.3.2.3.4.2.3

在公分母上合并分子。

$B = \frac{3 + 1}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

解题步骤 4.3.2.3.4.2.4

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$B = \frac{4}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

$B = \frac{4}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

$B = \frac{4}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

解题步骤 4.3.2.3.5

求解方程组。

$B = \frac{4}{3} A = - \frac{1}{3} C = 0$

解题步骤 4.3.2.3.6

列出所有解。

$B = \frac{4}{3}, A = - \frac{1}{3}, C = 0$

解题步骤 4.3.2.4

将 $\frac{A}{u} + \frac{B u + C}{u^{2} - 3}$ 中的每个部分分式的系数替换为求得的 $A$ 、 $B$ 和 $C$ 的值。

$- \frac{\frac{1}{3}}{u} + \frac{\frac{4}{3 u} + 0}{u^{2} - 3}$

解题步骤 4.3.2.5

化简。

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解题步骤 4.3.2.5.1

去掉圆括号。

$\frac{- \frac{1}{3}}{u} + \frac{(\frac{4}{3}) u + 0}{u^{2} - 3}$

解题步骤 4.3.2.5.2

化简分子。

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解题步骤 4.3.2.5.2.1

组合 $\frac{4}{3}$ 和 $u$ 。

$\frac{- \frac{1}{3}}{u} + \frac{\frac{4 u}{3} + 0}{u^{2} - 3}$

解题步骤 4.3.2.5.2.2

将 $\frac{4 u}{3}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- \frac{1}{3}}{u} + \frac{\frac{4 u}{3}}{u^{2} - 3}$

解题步骤 4.3.2.5.3

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{- \frac{1}{3}}{u} + \frac{4 u}{3} \cdot \frac{1}{u^{2} - 3}$

解题步骤 4.3.2.5.4

将 $\frac{4 u}{3}$ 乘以 $\frac{1}{u^{2} - 3}$ 。

$\frac{- \frac{1}{3}}{u} + \frac{4 u}{3 (u^{2} - 3)}$

解题步骤 4.3.2.5.5

将分子乘以分母的倒数。

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u} + \frac{4 u}{3 (u^{2} - 3)}$

解题步骤 4.3.2.5.6

将 $\frac{1}{u}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$- \frac{1}{u \cdot 3} + \frac{4 u}{3 (u^{2} - 3)}$

解题步骤 4.3.2.5.7

将 $3$ 移到 $u$ 的左侧。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int - \frac{1}{3 u} + \frac{4 u}{3 (u^{2} - 3)} d u$

解题步骤 4.3.3

将单个积分拆分为多个积分。

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\int - \frac{1}{3 u} d u + \int \frac{4 u}{3 (u^{2} - 3)} d u)$

解题步骤 4.3.4

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \int \frac{1}{3 u} d u + \int \frac{4 u}{3 (u^{2} - 3)} d u)$

解题步骤 4.3.5

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u) + \int \frac{4 u}{3 (u^{2} - 3)} d u)$

解题步骤 4.3.6

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{2}) + \int \frac{4 u}{3 (u^{2} - 3)} d u)$

解题步骤 4.3.7

由于 $\frac{4}{3}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{4}{3}$ 移到积分外。

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{2}) + \frac{4}{3} \int \frac{u}{u^{2} - 3} d u)$

解题步骤 4.3.8

使 $u_{1} = u^{2} - 3$ 。然后使 $d u_{1} = 2 u d u$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{1} = u d u$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 4.3.8.1

设 $u_{1} = u^{2} - 3$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d u}$ 。

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解题步骤 4.3.8.1.1

对 $u^{2} - 3$ 求导。

$\frac{d}{d u} [u^{2} - 3]$

解题步骤 4.3.8.1.2

根据加法法则， $u^{2} - 3$ 对 $u$ 的导数是 $\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [- 3]$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [- 3]$

解题步骤 4.3.8.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 u + \frac{d}{d u} [- 3]$

解题步骤 4.3.8.1.4

因为 $- 3$ 对于 $u$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $u$ 的导数为 $0$ 。

$2 u + 0$

解题步骤 4.3.8.1.5

将 $2 u$ 和 $0$ 相加。

$2 u$

解题步骤 4.3.8.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{2}) + \frac{4}{3} \int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1})$

解题步骤 4.3.9

化简。

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解题步骤 4.3.9.1

将 $\frac{1}{u_{1}}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{2}) + \frac{4}{3} \int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1})$

解题步骤 4.3.9.2

将 $2$ 移到 $u_{1}$ 的左侧。

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{2}) + \frac{4}{3} \int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1})$

解题步骤 4.3.10

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{2}) + \frac{4}{3} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1}))$

解题步骤 4.3.11

化简。

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解题步骤 4.3.11.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{4}{3}$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{2}) + \frac{4}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1})$

解题步骤 4.3.11.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{2}) + \frac{4}{6} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1})$

解题步骤 4.3.11.3

约去 $4$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.11.3.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{2}) + \frac{2 (2)}{6} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1})$

解题步骤 4.3.11.3.2

约去公因数。

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解题步骤 4.3.11.3.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{2}) + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1})$

解题步骤 4.3.11.3.2.2

约去公因数。

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{2}) + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1})$

解题步骤 4.3.11.3.2.3

重写表达式。

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{2}) + \frac{2}{3} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1})$

解题步骤 4.3.12

$\frac{1}{u_{1}}$ 对 $u_{1}$ 的积分为 $\ln (| u_{1} |)$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{2}) + \frac{2}{3} (\ln (| u_{1} |) + C_{3}))$

解题步骤 4.3.13

化简。

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{1}{3} \ln (| u |) + \frac{2}{3} \ln (| u_{1} |)) + C_{4}$

解题步骤 4.3.14

使用 $u^{2} - 3$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{1}{3} \ln (| u |) + \frac{2}{3} \ln (| u^{2} - 3 |)) + C_{4}$

解题步骤 4.3.15

化简。

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解题步骤 4.3.15.1

化简每一项。

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解题步骤 4.3.15.1.1

组合 $\ln (| u |)$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{\ln (| u |)}{3} + \frac{2}{3} \ln (| u^{2} - 3 |)) + C_{4}$

解题步骤 4.3.15.1.2

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $\ln (| u^{2} - 3 |)$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{\ln (| u |)}{3} + \frac{2 \ln (| u^{2} - 3 |)}{3}) + C_{4}$

解题步骤 4.3.15.2

在公分母上合并分子。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{- \ln (| u |) + 2 \ln (| u^{2} - 3 |)}{3} + C_{4}$

解题步骤 4.3.15.3

从 $- \ln (| u |)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{- (\ln (| u |)) + 2 \ln (| u^{2} - 3 |)}{3} + C_{4}$

解题步骤 4.3.15.4

从 $2 \ln (| u^{2} - 3 |)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{- (\ln (| u |)) - (- 2 \ln (| u^{2} - 3 |))}{3} + C_{4}$

解题步骤 4.3.15.5

从 $- (\ln (| u |)) - (- 2 \ln (| u^{2} - 3 |))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{- (\ln (| u |) - 2 \ln (| u^{2} - 3 |))}{3} + C_{4}$

解题步骤 4.3.15.6

将 $- (\ln (| u |) - 2 \ln (| u^{2} - 3 |))$ 重写为 $- 1 (\ln (| u |) - 2 \ln (| u^{2} - 3 |))$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{- 1 (\ln (| u |) - 2 \ln (| u^{2} - 3 |))}{3} + C_{4}$

解题步骤 4.3.15.7

将负号移到分数的前面。

$\ln (| y |) + C_{1} = - - \frac{\ln (| u |) - 2 \ln (| u^{2} - 3 |)}{3} + C_{4}$

解题步骤 4.3.15.8

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = 1 \frac{\ln (| u |) - 2 \ln (| u^{2} - 3 |)}{3} + C_{4}$

解题步骤 4.3.15.9

将 $\frac{\ln (| u |) - 2 \ln (| u^{2} - 3 |)}{3}$ 乘以 $1$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{\ln (| u |) - 2 \ln (| u^{2} - 3 |)}{3} + C_{4}$

解题步骤 4.3.16

重新排序项。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} (\ln (| u |) - 2 \ln (| u^{2} - 3 |)) + C_{4}$

解题步骤 4.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\ln (| y |) = \frac{1}{3} (\ln (| u |) - 2 \ln (| u^{2} - 3 |)) + C$

解题步骤 5

求解 $y$ 。

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解题步骤 5.1

化简右边。

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解题步骤 5.1.1

化简每一项。

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解题步骤 5.1.1.1

运用分配律。

$\ln (| y |) = \frac{1}{3} \ln (| u |) + \frac{1}{3} (- 2 \ln (| u^{2} - 3 |)) + C$

解题步骤 5.1.1.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $\ln (| u |)$ 。

$\ln (| y |) = \frac{\ln (| u |)}{3} + \frac{1}{3} (- 2 \ln (| u^{2} - 3 |)) + C$

解题步骤 5.1.1.3

乘以 $\frac{1}{3} (- 2 \ln (| u^{2} - 3 |))$ 。

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解题步骤 5.1.1.3.1

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\ln (| y |) = \frac{\ln (| u |)}{3} + \frac{- 2}{3} \ln (| u^{2} - 3 |) + C$

解题步骤 5.1.1.3.2

组合 $\frac{- 2}{3}$ 和 $\ln (| u^{2} - 3 |)$ 。

$\ln (| y |) = \frac{\ln (| u |)}{3} + \frac{- 2 \ln (| u^{2} - 3 |)}{3} + C$

解题步骤 5.1.1.4

将负号移到分数的前面。

$\ln (| y |) = \frac{\ln (| u |)}{3} - \frac{2 \ln (| u^{2} - 3 |)}{3} + C$

解题步骤 5.2

将 $\ln (| y |) = \frac{\ln (| u |)}{3} - \frac{2 \ln (| u^{2} - 3 |)}{3} + C$ 中的每一项乘以 $3$ 以消去分数。

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解题步骤 5.2.1

将 $\ln (| y |) = \frac{\ln (| u |)}{3} - \frac{2 \ln (| u^{2} - 3 |)}{3} + C$ 中的每一项乘以 $3$ 。

$\ln (| y |) \cdot 3 = \frac{\ln (| u |)}{3} \cdot 3 - \frac{2 \ln (| u^{2} - 3 |)}{3} \cdot 3 + C \cdot 3$

解题步骤 5.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.2.1

将 $3$ 移到 $\ln (| y |)$ 的左侧。

$3 \ln (| y |) = \frac{\ln (| u |)}{3} \cdot 3 - \frac{2 \ln (| u^{2} - 3 |)}{3} \cdot 3 + C \cdot 3$

解题步骤 5.2.3

化简右边。

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解题步骤 5.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.3.1.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.1.1.1

约去公因数。

$3 \ln (| y |) = \frac{\ln (| u |)}{3} \cdot 3 - \frac{2 \ln (| u^{2} - 3 |)}{3} \cdot 3 + C \cdot 3$

解题步骤 5.2.3.1.1.2

重写表达式。

$3 \ln (| y |) = \ln (| u |) - \frac{2 \ln (| u^{2} - 3 |)}{3} \cdot 3 + C \cdot 3$

解题步骤 5.2.3.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.1.2.1

将 $- \frac{2 \ln (| u^{2} - 3 |)}{3}$ 中前置负号移到分子中。

$3 \ln (| y |) = \ln (| u |) + \frac{- 2 \ln (| u^{2} - 3 |)}{3} \cdot 3 + C \cdot 3$

解题步骤 5.2.3.1.2.2

约去公因数。

$3 \ln (| y |) = \ln (| u |) + \frac{- 2 \ln (| u^{2} - 3 |)}{3} \cdot 3 + C \cdot 3$

解题步骤 5.2.3.1.2.3

重写表达式。

$3 \ln (| y |) = \ln (| u |) - 2 \ln (| u^{2} - 3 |) + C \cdot 3$

解题步骤 5.2.3.1.3

将 $3$ 移到 $C$ 的左侧。

$3 \ln (| y |) = \ln (| u |) - 2 \ln (| u^{2} - 3 |) + 3 C$

解题步骤 5.3

化简左边。

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解题步骤 5.3.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $3 \ln (| y |)$ 。

$\ln ({| y |}^{3}) = \ln (| u |) - 2 \ln (| u^{2} - 3 |) + 3 C$

解题步骤 5.4

化简右边。

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解题步骤 5.4.1

化简 $\ln (| u |) - 2 \ln (| u^{2} - 3 |) + 3 C$ 。

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解题步骤 5.4.1.1

化简每一项。

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解题步骤 5.4.1.1.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 2 \ln (| u^{2} - 3 |)$ 。

$\ln ({| y |}^{3}) = \ln (| u |) - \ln ({| u^{2} - 3 |}^{2}) + 3 C$

解题步骤 5.4.1.1.2

去掉 ${| u^{2} - 3 |}^{2}$ 的绝对值符号，因为偶次幂的求幂结果恒为正。

$\ln ({| y |}^{3}) = \ln (| u |) - \ln ({(u^{2} - 3)}^{2}) + 3 C$

解题步骤 5.4.1.2

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\ln ({| y |}^{3}) = \ln (\frac{| u |}{{(u^{2} - 3)}^{2}}) + 3 C$

解题步骤 5.5

将所有包含对数的项移到等式左边。

$\ln ({| y |}^{3}) - \ln (\frac{| u |}{{(u^{2} - 3)}^{2}}) = 3 C$

解题步骤 5.6

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\ln (\frac{{| y |}^{3}}{\frac{| u |}{{(u^{2} - 3)}^{2}}}) = 3 C$

解题步骤 5.7

将分子乘以分母的倒数。

$\ln ({| y |}^{3} (\frac{{(u^{2} - 3)}^{2}}{| u |})) = 3 C$

解题步骤 5.8

组合 ${| y |}^{3}$ 和 $\frac{{(u^{2} - 3)}^{2}}{| u |}$ 。

$\ln (\frac{{| y |}^{3} {(u^{2} - 3)}^{2}}{| u |}) = 3 C$

解题步骤 5.9

要求解 $y$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (\frac{{| y |}^{3} {(u^{2} - 3)}^{2}}{| u |})} = e^{3 C}$

解题步骤 5.10

使用对数的定义将 $\ln (\frac{{| y |}^{3} {(u^{2} - 3)}^{2}}{| u |}) = 3 C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{3 C} = \frac{{| y |}^{3} {(u^{2} - 3)}^{2}}{| u |}$

解题步骤 5.11

求解 $y$ 。

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解题步骤 5.11.1

将方程重写为 $\frac{{| y |}^{3} {(u^{2} - 3)}^{2}}{| u |} = e^{3 C}$ 。

$\frac{{| y |}^{3} {(u^{2} - 3)}^{2}}{| u |} = e^{3 C}$

解题步骤 5.11.2

两边同时乘以 $| u |$ 。

$\frac{{| y |}^{3} {(u^{2} - 3)}^{2}}{| u |} | u | = e^{3 C} | u |$

解题步骤 5.11.3

化简左边。

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解题步骤 5.11.3.1

约去 $| u |$ 的公因数。

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解题步骤 5.11.3.1.1

约去公因数。

$\frac{{| y |}^{3} {(u^{2} - 3)}^{2}}{| u |} | u | = e^{3 C} | u |$

解题步骤 5.11.3.1.2

重写表达式。

${| y |}^{3} {(u^{2} - 3)}^{2} = e^{3 C} | u |$

解题步骤 5.11.4

求解 $y$ 。

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解题步骤 5.11.4.1

将 ${| y |}^{3} {(u^{2} - 3)}^{2} = e^{3 C} | u |$ 中的每一项除以 ${(u^{2} - 3)}^{2}$ 并化简。

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解题步骤 5.11.4.1.1

将 ${| y |}^{3} {(u^{2} - 3)}^{2} = e^{3 C} | u |$ 中的每一项都除以 ${(u^{2} - 3)}^{2}$ 。

$\frac{{| y |}^{3} {(u^{2} - 3)}^{2}}{{(u^{2} - 3)}^{2}} = \frac{e^{3 C} | u |}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$

解题步骤 5.11.4.1.2

化简左边。

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解题步骤 5.11.4.1.2.1

约去 ${(u^{2} - 3)}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 5.11.4.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{{| y |}^{3} {(u^{2} - 3)}^{2}}{{(u^{2} - 3)}^{2}} = \frac{e^{3 C} | u |}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$

解题步骤 5.11.4.1.2.1.2

用 ${| y |}^{3}$ 除以 $1$ 。

${| y |}^{3} = \frac{e^{3 C} | u |}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$

解题步骤 5.11.4.2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$| y | = \sqrt[3]{\frac{e^{3 C} | u |}{{(u^{2} - 3)}^{2}}}$

解题步骤 5.11.4.3

化简 $\sqrt[3]{\frac{e^{3 C} | u |}{{(u^{2} - 3)}^{2}}}$ 。

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解题步骤 5.11.4.3.1

将 $\sqrt[3]{\frac{e^{3 C} | u |}{{(u^{2} - 3)}^{2}}}$ 重写为 $\frac{\sqrt[3]{e^{3 C} | u |}}{\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}$ 。

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{3 C} | u |}}{\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}$

解题步骤 5.11.4.3.2

化简分子。

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解题步骤 5.11.4.3.2.1

将 $e^{3 C}$ 重写为 ${(e^{C})}^{3}$ 。

$| y | = \frac{\sqrt[3]{{(e^{C})}^{3} | u |}}{\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}$

解题步骤 5.11.4.3.2.2

从根式下提出各项。

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |}}{\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}$

解题步骤 5.11.4.3.3

将 $\frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |}}{\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{2}}$ 。

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |}}{\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{2}}$

解题步骤 5.11.4.3.4

合并和化简分母。

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解题步骤 5.11.4.3.4.1

将 $\frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |}}{\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{2}}$ 。

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} {\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{2}}{\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}} {\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{2}}$

解题步骤 5.11.4.3.4.2

对 $\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}$ 进行 $1$ 次方运算。

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} {\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{1} {\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{2}}$

解题步骤 5.11.4.3.4.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} {\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{1 + 2}}$

解题步骤 5.11.4.3.4.4

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} {\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{3}}$

解题步骤 5.11.4.3.4.5

将 ${\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{3}$ 重写为 ${(u^{2} - 3)}^{2}$ 。

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解题步骤 5.11.4.3.4.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}$ 重写成 ${(u^{2} - 3)}^{\frac{2}{3}}$ 。

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} {\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{2}}{{({(u^{2} - 3)}^{\frac{2}{3}})}^{3}}$

解题步骤 5.11.4.3.4.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} {\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{2}}{{(u^{2} - 3)}^{\frac{2}{3} \cdot 3}}$

解题步骤 5.11.4.3.4.5.3

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $3$ 。

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} {\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{2}}{{(u^{2} - 3)}^{\frac{2 \cdot 3}{3}}}$

解题步骤 5.11.4.3.4.5.4

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} {\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{2}}{{(u^{2} - 3)}^{\frac{6}{3}}}$

解题步骤 5.11.4.3.4.5.5

约去 $6$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.11.4.3.4.5.5.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} {\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{2}}{{(u^{2} - 3)}^{\frac{3 \cdot 2}{3}}}$

解题步骤 5.11.4.3.4.5.5.2

约去公因数。

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解题步骤 5.11.4.3.4.5.5.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} {\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{2}}{{(u^{2} - 3)}^{\frac{3 \cdot 2}{3 (1)}}}$

解题步骤 5.11.4.3.4.5.5.2.2

约去公因数。

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} {\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{2}}{{(u^{2} - 3)}^{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1}}}$

解题步骤 5.11.4.3.4.5.5.2.3

重写表达式。

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} {\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{2}}{{(u^{2} - 3)}^{\frac{2}{1}}}$

解题步骤 5.11.4.3.4.5.5.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} {\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{2}}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$

解题步骤 5.11.4.3.5

化简分子。

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解题步骤 5.11.4.3.5.1

将 ${\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{2}$ 重写为 $\sqrt[3]{{({(u^{2} - 3)}^{2})}^{2}}$ 。

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} \sqrt[3]{{({(u^{2} - 3)}^{2})}^{2}}}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$

解题步骤 5.11.4.3.5.2

将 ${({(u^{2} - 3)}^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.11.4.3.5.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} \sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2 \cdot 2}}}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$

解题步骤 5.11.4.3.5.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} \sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{4}}}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$

解题步骤 5.11.4.3.5.3

使用二项式定理。

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} \sqrt[3]{{(u^{2})}^{4} + 4 {(u^{2})}^{3} \cdot - 3 + 6 {(u^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 u^{2} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}}}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$

解题步骤 5.11.4.3.5.4

化简每一项。

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解题步骤 5.11.4.3.5.4.1

将 ${(u^{2})}^{4}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.11.4.3.5.4.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} \sqrt[3]{u^{2 \cdot 4} + 4 {(u^{2})}^{3} \cdot - 3 + 6 {(u^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 u^{2} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}}}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$

解题步骤 5.11.4.3.5.4.1.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} \sqrt[3]{u^{8} + 4 {(u^{2})}^{3} \cdot - 3 + 6 {(u^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 u^{2} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}}}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$

解题步骤 5.11.4.3.5.4.2

将 ${(u^{2})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.11.4.3.5.4.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} \sqrt[3]{u^{8} + 4 u^{2 \cdot 3} \cdot - 3 + 6 {(u^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 u^{2} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}}}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$

解题步骤 5.11.4.3.5.4.2.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} \sqrt[3]{u^{8} + 4 u^{6} \cdot - 3 + 6 {(u^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 u^{2} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}}}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$

解题步骤 5.11.4.3.5.4.3

将 $- 3$ 乘以 $4$ 。

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} \sqrt[3]{u^{8} - 12 u^{6} + 6 {(u^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 u^{2} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}}}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$

解题步骤 5.11.4.3.5.4.4

将 ${(u^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.11.4.3.5.4.4.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} \sqrt[3]{u^{8} - 12 u^{6} + 6 u^{2 \cdot 2} {(- 3)}^{2} + 4 u^{2} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}}}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$

解题步骤 5.11.4.3.5.4.4.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} \sqrt[3]{u^{8} - 12 u^{6} + 6 u^{4} {(- 3)}^{2} + 4 u^{2} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}}}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$

解题步骤 5.11.4.3.5.4.5

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} \sqrt[3]{u^{8} - 12 u^{6} + 6 u^{4} \cdot 9 + 4 u^{2} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}}}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$

解题步骤 5.11.4.3.5.4.6

将 $9$ 乘以 $6$ 。

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} \sqrt[3]{u^{8} - 12 u^{6} + 54 u^{4} + 4 u^{2} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}}}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$

解题步骤 5.11.4.3.5.4.7

对 $- 3$ 进行 $3$ 次方运算。

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} \sqrt[3]{u^{8} - 12 u^{6} + 54 u^{4} + 4 u^{2} \cdot - 27 + {(- 3)}^{4}}}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$

解题步骤 5.11.4.3.5.4.8

将 $- 27$ 乘以 $4$ 。

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} \sqrt[3]{u^{8} - 12 u^{6} + 54 u^{4} - 108 u^{2} + {(- 3)}^{4}}}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$

解题步骤 5.11.4.3.5.4.9

对 $- 3$ 进行 $4$ 次方运算。

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} \sqrt[3]{u^{8} - 12 u^{6} + 54 u^{4} - 108 u^{2} + 81}}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$

解题步骤 5.11.4.3.5.5

使用根数乘积法则进行合并。

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{(u^{8} - 12 u^{6} + 54 u^{4} - 108 u^{2} + 81) | u |}}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$

解题步骤 5.11.4.3.6

将 $\frac{e^{C} \sqrt[3]{(u^{8} - 12 u^{6} + 54 u^{4} - 108 u^{2} + 81) | u |}}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$ 中的因式重新排序。

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u | (u^{8} - 12 u^{6} + 54 u^{4} - 108 u^{2} + 81)}}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$

解题步骤 5.11.4.4

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$y = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u | (u^{8} - 12 u^{6} + 54 u^{4} - 108 u^{2} + 81)}}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$

解题步骤 6

化简积分常数。

$y = \pm \frac{C \sqrt[3]{| u | (u^{8} - 12 u^{6} + 54 u^{4} - 108 u^{2} + 81)}}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$

微积分学 示例

微积分学示例