微积分学示例

$\frac{d y}{d x} (x^{2} + 2) + 4 x (y^{2} + 2 y + 1) = 0$

解题步骤 1

分离变量。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

求解 $\frac{d y}{d x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1.1

运用分配律。

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 2 + 4 x (y^{2} + 2 y + 1) = 0$

解题步骤 1.1.1.2

将 $2$ 移到 $\frac{d y}{d x}$ 的左侧。

$\frac{d y}{d x} x^{2} + 2 \cdot \frac{d y}{d x} + 4 x (y^{2} + 2 y + 1) = 0$

解题步骤 1.1.1.3

运用分配律。

$\frac{d y}{d x} x^{2} + 2 \frac{d y}{d x} + 4 x y^{2} + 4 x (2 y) + 4 x \cdot 1 = 0$

解题步骤 1.1.1.4

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1.4.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{d y}{d x} x^{2} + 2 \frac{d y}{d x} + 4 x y^{2} + 4 \cdot 2 x y + 4 x \cdot 1 = 0$

解题步骤 1.1.1.4.2

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} x^{2} + 2 \frac{d y}{d x} + 4 x y^{2} + 4 \cdot 2 x y + 4 x = 0$

解题步骤 1.1.1.5

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{d y}{d x} x^{2} + 2 \frac{d y}{d x} + 4 x y^{2} + 8 x y + 4 x = 0$

解题步骤 1.1.2

将所有不包含 $\frac{d y}{d x}$ 的项移到等式右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.1

从等式两边同时减去 $4 x y^{2}$ 。

$\frac{d y}{d x} x^{2} + 2 \frac{d y}{d x} + 8 x y + 4 x = - 4 x y^{2}$

解题步骤 1.1.2.2

从等式两边同时减去 $8 x y$ 。

$\frac{d y}{d x} x^{2} + 2 \frac{d y}{d x} + 4 x = - 4 x y^{2} - 8 x y$

解题步骤 1.1.2.3

从等式两边同时减去 $4 x$ 。

$\frac{d y}{d x} x^{2} + 2 \frac{d y}{d x} = - 4 x y^{2} - 8 x y - 4 x$

解题步骤 1.1.3

从 $\frac{d y}{d x} x^{2} + 2 \frac{d y}{d x}$ 中分解出因数 $\frac{d y}{d x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.3.1

从 $2 \frac{d y}{d x}$ 中分解出因数 $\frac{d y}{d x}$ 。

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 2 = - 4 x y^{2} - 8 x y - 4 x$

解题步骤 1.1.3.2

从 $\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 2$ 中分解出因数 $\frac{d y}{d x}$ 。

$\frac{d y}{d x} (x^{2} + 2) = - 4 x y^{2} - 8 x y - 4 x$

解题步骤 1.1.4

将 $\frac{d y}{d x} (x^{2} + 2) = - 4 x y^{2} - 8 x y - 4 x$ 中的每一项除以 $x^{2} + 2$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.4.1

将 $\frac{d y}{d x} (x^{2} + 2) = - 4 x y^{2} - 8 x y - 4 x$ 中的每一项都除以 $x^{2} + 2$ 。

$\frac{\frac{d y}{d x} (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2} = \frac{- 4 x y^{2}}{x^{2} + 2} + \frac{- 8 x y}{x^{2} + 2} + \frac{- 4 x}{x^{2} + 2}$

解题步骤 1.1.4.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.4.2.1

约去 $x^{2} + 2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{\frac{d y}{d x} (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2} = \frac{- 4 x y^{2}}{x^{2} + 2} + \frac{- 8 x y}{x^{2} + 2} + \frac{- 4 x}{x^{2} + 2}$

解题步骤 1.1.4.2.1.2

用 $\frac{d y}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 4 x y^{2}}{x^{2} + 2} + \frac{- 8 x y}{x^{2} + 2} + \frac{- 4 x}{x^{2} + 2}$

解题步骤 1.1.4.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.4.3.1

化简项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.4.3.1.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.4.3.1.1.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x y^{2}}{x^{2} + 2} + \frac{- 8 x y}{x^{2} + 2} + \frac{- 4 x}{x^{2} + 2}$

解题步骤 1.1.4.3.1.1.2

将负号移到分数的前面。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x y^{2}}{x^{2} + 2} - \frac{8 x y}{x^{2} + 2} + \frac{- 4 x}{x^{2} + 2}$

解题步骤 1.1.4.3.1.1.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x y^{2}}{x^{2} + 2} - \frac{8 x y}{x^{2} + 2} - \frac{4 x}{x^{2} + 2}$

解题步骤 1.1.4.3.1.2

合并为一个分式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.4.3.1.2.1

在公分母上合并分子。

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 4 x y^{2} - 8 x y}{x^{2} + 2} - \frac{4 x}{x^{2} + 2}$

解题步骤 1.1.4.3.1.2.2

在公分母上合并分子。

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 4 x y^{2} - 8 x y - 4 x}{x^{2} + 2}$

解题步骤 1.1.4.3.2

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.4.3.2.1

从 $- 4 x y^{2} - 8 x y - 4 x$ 中分解出因数 $4 x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.4.3.2.1.1

从 $- 4 x y^{2}$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x (- 1 y^{2}) - 8 x y - 4 x}{x^{2} + 2}$

解题步骤 1.1.4.3.2.1.2

从 $- 8 x y$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x (- 1 y^{2}) + 4 x (- 2 y) - 4 x}{x^{2} + 2}$

解题步骤 1.1.4.3.2.1.3

从 $- 4 x$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x (- 1 y^{2}) + 4 x (- 2 y) + 4 x (- 1)}{x^{2} + 2}$

解题步骤 1.1.4.3.2.1.4

从 $4 x (- 1 y^{2}) + 4 x (- 2 y)$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x (- 1 y^{2} - 2 y) + 4 x (- 1)}{x^{2} + 2}$

解题步骤 1.1.4.3.2.1.5

从 $4 x (- 1 y^{2} - 2 y) + 4 x (- 1)$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x (- 1 y^{2} - 2 y - 1)}{x^{2} + 2}$

解题步骤 1.1.4.3.2.2

分组因式分解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.4.3.2.2.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = - 1 \cdot - 1 = 1$ 并且它们的和为 $b = - 2$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.4.3.2.2.1.1

从 $- 2 y$ 中分解出因数 $- 2$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x (- 1 y^{2} - 2 (y) - 1)}{x^{2} + 2}$

解题步骤 1.1.4.3.2.2.1.2

把 $- 2$ 重写为 $- 1$ 加 $- 1$

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x (- 1 y^{2} + (- 1 - 1) y - 1)}{x^{2} + 2}$

解题步骤 1.1.4.3.2.2.1.3

运用分配律。

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x (- 1 y^{2} - 1 y - 1 y - 1)}{x^{2} + 2}$

解题步骤 1.1.4.3.2.2.2

从每组中因式分解出最大公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.4.3.2.2.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x ((- 1 y^{2} - 1 y) - 1 y - 1)}{x^{2} + 2}$

解题步骤 1.1.4.3.2.2.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x (y (- 1 y - 1) + 1 (- y - 1))}{x^{2} + 2}$

解题步骤 1.1.4.3.2.2.3

通过因式分解出最大公因数 $- 1 y - 1$ 来因式分解多项式。

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x ((- 1 y - 1) (y + 1))}{x^{2} + 2}$

解题步骤 1.1.4.3.2.3

将 $- 1 y$ 重写为 $- y$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x (- y - 1) (y + 1)}{x^{2} + 2}$

解题步骤 1.1.4.3.2.4

合并指数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.4.3.2.4.1

从 $- y$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x (- (y) - 1) (y + 1)}{x^{2} + 2}$

解题步骤 1.1.4.3.2.4.2

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x (- (y) - 1 (1)) (y + 1)}{x^{2} + 2}$

解题步骤 1.1.4.3.2.4.3

从 $- (y) - 1 (1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x (- (y + 1)) (y + 1)}{x^{2} + 2}$

解题步骤 1.1.4.3.2.4.4

将 $- (y + 1)$ 重写为 $- 1 (y + 1)$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x (- 1 (y + 1)) (y + 1)}{x^{2} + 2}$

解题步骤 1.1.4.3.2.4.5

对 $y + 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x \cdot - 1 ({(y + 1)}^{1} (y + 1))}{x^{2} + 2}$

解题步骤 1.1.4.3.2.4.6

对 $y + 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x \cdot - 1 ({(y + 1)}^{1} {(y + 1)}^{1})}{x^{2} + 2}$

解题步骤 1.1.4.3.2.4.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x \cdot - 1 {(y + 1)}^{1 + 1}}{x^{2} + 2}$

解题步骤 1.1.4.3.2.4.8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x \cdot - 1 {(y + 1)}^{2}}{x^{2} + 2}$

解题步骤 1.1.4.3.2.4.9

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 4 x {(y + 1)}^{2}}{x^{2} + 2}$

解题步骤 1.1.4.3.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x {(y + 1)}^{2}}{x^{2} + 2}$

解题步骤 1.2

重新组合因数。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x}{x^{2} + 2} {(y + 1)}^{2}$

解题步骤 1.3

两边同时乘以 $\frac{1}{{(y + 1)}^{2}}$ 。

$\frac{1}{{(y + 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(y + 1)}^{2}} (- \frac{4 x}{x^{2} + 2} {(y + 1)}^{2})$

解题步骤 1.4

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.4.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{1}{{(y + 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{{(y + 1)}^{2}} (\frac{4 x}{x^{2} + 2} {(y + 1)}^{2})$

解题步骤 1.4.2

约去 ${(y + 1)}^{2}$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.4.2.1

将 $- \frac{1}{{(y + 1)}^{2}}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{1}{{(y + 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{{(y + 1)}^{2}} (\frac{4 x}{x^{2} + 2} {(y + 1)}^{2})$

解题步骤 1.4.2.2

从 $\frac{4 x}{x^{2} + 2} {(y + 1)}^{2}$ 中分解出因数 ${(y + 1)}^{2}$ 。

$\frac{1}{{(y + 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{{(y + 1)}^{2}} ({(y + 1)}^{2} \frac{4 x}{x^{2} + 2})$

解题步骤 1.4.2.3

约去公因数。

$\frac{1}{{(y + 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{{(y + 1)}^{2}} ({(y + 1)}^{2} \frac{4 x}{x^{2} + 2})$

解题步骤 1.4.2.4

重写表达式。

$\frac{1}{{(y + 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} = - \frac{4 x}{x^{2} + 2}$

解题步骤 1.5

重写该方程。

$\frac{1}{{(y + 1)}^{2}} d y = - \frac{4 x}{x^{2} + 2} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{{(y + 1)}^{2}} d y = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 2} d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

使 $u_{1} = y + 1$ 。然后使 $d u_{1} = d y$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1.1

设 $u_{1} = y + 1$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d y}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1.1.1

对 $y + 1$ 求导。

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

解题步骤 2.2.1.1.2

根据加法法则， $y + 1$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ 。

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

解题步骤 2.2.1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

解题步骤 2.2.1.1.4

因为 $1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $1$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 2.2.1.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 2.2.1.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$\int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 2} d x$

解题步骤 2.2.2

应用指数的基本规则。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.2.1

通过将 ${u_{1}}^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 2} d x$

解题步骤 2.2.2.2

将 ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 2} d x$

解题步骤 2.2.2.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\int {u_{1}}^{- 2} d u_{1} = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 2} d x$

解题步骤 2.2.3

根据幂法则， ${u_{1}}^{- 2}$ 对 $u_{1}$ 的积分是 $- {u_{1}}^{- 1}$ 。

$- {u_{1}}^{- 1} + C_{1} = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 2} d x$

解题步骤 2.2.4

将 $- {u_{1}}^{- 1} + C_{1}$ 重写为 $- \frac{1}{u_{1}} + C_{1}$ 。

$- \frac{1}{u_{1}} + C_{1} = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 2} d x$

解题步骤 2.2.5

使用 $y + 1$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 2} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = - \int \frac{4 x}{x^{2} + 2} d x$

解题步骤 2.3.2

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = - (4 \int \frac{x}{x^{2} + 2} d x)$

解题步骤 2.3.3

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = - 4 \int \frac{x}{x^{2} + 2} d x$

解题步骤 2.3.4

使 $u_{2} = x^{2} + 2$ 。然后使 $d u_{2} = 2 x d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.4.1

设 $u_{2} = x^{2} + 2$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.4.1.1

对 $x^{2} + 2$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

解题步骤 2.3.4.1.2

根据加法法则， $x^{2} + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 2.3.4.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 2.3.4.1.4

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 x + 0$

解题步骤 2.3.4.1.5

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$2 x$

解题步骤 2.3.4.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = - 4 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

解题步骤 2.3.5

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.5.1

将 $\frac{1}{u_{2}}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = - 4 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

解题步骤 2.3.5.2

将 $2$ 移到 $u_{2}$ 的左侧。

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = - 4 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 2.3.6

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = - 4 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

解题步骤 2.3.7

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.7.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 4$ 。

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = \frac{- 4}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 2.3.7.2

约去 $- 4$ 和 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.7.2.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 2.3.7.2.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.7.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 2.3.7.2.2.2

约去公因数。

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 2.3.7.2.2.3

重写表达式。

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = \frac{- 2}{1} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 2.3.7.2.2.4

用 $- 2$ 除以 $1$ 。

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 2.3.8

$\frac{1}{u_{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $\ln (| u_{2} |)$ 。

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = - 2 (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

解题步骤 2.3.9

化简。

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = - 2 \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

解题步骤 2.3.10

使用 $x^{2} + 2$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = - 2 \ln (| x^{2} + 2 |) + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$- \frac{1}{y + 1} = - 2 \ln (| x^{2} + 2 |) + C$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 2 \ln (| x^{2} + 2 |)$ 。

$- \frac{1}{y + 1} = - \ln ({| x^{2} + 2 |}^{2}) + C$

解题步骤 3.2

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$y + 1, 1, 1$

解题步骤 3.2.2

去掉圆括号。

$y + 1, 1, 1$

解题步骤 3.2.3

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$y + 1$

解题步骤 3.3

将 $- \frac{1}{y + 1} = - \ln ({| x^{2} + 2 |}^{2}) + C$ 中的每一项乘以 $y + 1$ 以消去分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1

将 $- \frac{1}{y + 1} = - \ln ({| x^{2} + 2 |}^{2}) + C$ 中的每一项乘以 $y + 1$ 。

$- \frac{1}{y + 1} (y + 1) = - \ln ({| x^{2} + 2 |}^{2}) (y + 1) + C (y + 1)$

解题步骤 3.3.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.2.1

约去 $y + 1$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.2.1.1

将 $- \frac{1}{y + 1}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- 1}{y + 1} (y + 1) = - \ln ({| x^{2} + 2 |}^{2}) (y + 1) + C (y + 1)$

解题步骤 3.3.2.1.2

约去公因数。

$\frac{- 1}{y + 1} (y + 1) = - \ln ({| x^{2} + 2 |}^{2}) (y + 1) + C (y + 1)$

解题步骤 3.3.2.1.3

重写表达式。

$- 1 = - \ln ({| x^{2} + 2 |}^{2}) (y + 1) + C (y + 1)$

解题步骤 3.3.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.3.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.3.1.1

去掉 ${| x^{2} + 2 |}^{2}$ 的绝对值符号，因为偶次幂的求幂结果恒为正。

$- 1 = - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) (y + 1) + C (y + 1)$

解题步骤 3.3.3.1.2

运用分配律。

$- 1 = - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) y - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) \cdot 1 + C (y + 1)$

解题步骤 3.3.3.1.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1 = - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) y - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C (y + 1)$

解题步骤 3.3.3.1.4

运用分配律。

$- 1 = - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) y - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C y + C \cdot 1$

解题步骤 3.3.3.1.5

将 $C$ 乘以 $1$ 。

$- 1 = - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) y - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C y + C$

解题步骤 3.3.3.2

将 $- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) y - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C y + C$ 中的因式重新排序。

$- 1 = - y \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C y + C$

解题步骤 3.4

求解方程。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.1

将方程重写为 $- y \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C y + C = - 1$ 。

$- y \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C y + C = - 1$

解题步骤 3.4.2

将所有包含对数的项移到等式左边。

$- y \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) = - C y - C - 1$

解题步骤 3.4.3

在等式两边都加上 $C y$ 。

$- y \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C y = - C - 1$

解题步骤 3.4.4

在等式两边都加上 $\ln ({(x^{2} + 2)}^{2})$ 。

$- y \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C y = - C - 1 + \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})$

解题步骤 3.4.5

从 $- y \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C y$ 中分解出因数 $y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.5.1

从 $- y \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})$ 中分解出因数 $y$ 。

$y (- 1 \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})) + C y = - C - 1 + \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})$

解题步骤 3.4.5.2

从 $C y$ 中分解出因数 $y$ 。

$y (- 1 \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})) + y C = - C - 1 + \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})$

解题步骤 3.4.5.3

从 $y (- 1 \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})) + y C$ 中分解出因数 $y$ 。

$y (- 1 \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C) = - C - 1 + \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})$

解题步骤 3.4.6

将 $- 1 \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})$ 重写为 $- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})$ 。

$y (- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C) = - C - 1 + \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})$

解题步骤 3.4.7

将 $y (- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C) = - C - 1 + \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})$ 中的每一项除以 $- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.7.1

将 $y (- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C) = - C - 1 + \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})$ 中的每一项都除以 $- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C$ 。

$\frac{y (- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C)}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C} = \frac{- C}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C} + \frac{- 1}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C} + \frac{\ln ({(x^{2} + 2)}^{2})}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C}$

解题步骤 3.4.7.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.7.2.1

约去 $- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.7.2.1.1

约去公因数。

解题步骤 3.4.7.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{- C}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C} + \frac{- 1}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C} + \frac{\ln ({(x^{2} + 2)}^{2})}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C}$

解题步骤 3.4.7.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.7.3.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.7.3.1.1

将负号移到分数的前面。

$y = - \frac{C}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C} + \frac{- 1}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C} + \frac{\ln ({(x^{2} + 2)}^{2})}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C}$

解题步骤 3.4.7.3.1.2

将负号移到分数的前面。

$y = - \frac{C}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C} - \frac{1}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C} + \frac{\ln ({(x^{2} + 2)}^{2})}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C}$

解题步骤 3.4.7.3.2

化简项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.7.3.2.1

在公分母上合并分子。

$y = \frac{- C - 1}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C} + \frac{\ln ({(x^{2} + 2)}^{2})}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C}$

解题步骤 3.4.7.3.2.2

在公分母上合并分子。

$y = \frac{- C - 1 + \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C}$

解题步骤 3.4.7.3.2.3

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$y = \frac{- C - 1 (1) + \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C}$

解题步骤 3.4.7.3.2.4

从 $- C - 1 (1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \frac{- (C + 1) + \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C}$

解题步骤 3.4.7.3.2.5

从 $\ln ({(x^{2} + 2)}^{2})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \frac{- (C + 1) - 1 (- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}))}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C}$

解题步骤 3.4.7.3.2.6

从 $- (C + 1) - 1 (- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \frac{- (C + 1 - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}))}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C}$

解题步骤 3.4.7.3.2.7

将 $- (C + 1 - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}))$ 重写为 $- 1 (C + 1 - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}))$ 。

$y = \frac{- 1 (C + 1 - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}))}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C}$

解题步骤 3.4.7.3.2.8

从 $C$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \frac{- 1 (C + 1 - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}))}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) - 1 (- C)}$

解题步骤 3.4.7.3.2.9

从 $- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) - 1 (- C)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \frac{- 1 (C + 1 - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}))}{- (\ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) - C)}$

解题步骤 3.4.7.3.2.10

将 $- (\ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) - C)$ 重写为 $- 1 (\ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) - C)$ 。

$y = \frac{- 1 (C + 1 - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}))}{- 1 (\ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) - C)}$

解题步骤 3.4.7.3.2.11

约去公因数。

$y = \frac{- 1 (C + 1 - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}))}{- 1 (\ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) - C)}$

解题步骤 3.4.7.3.2.12

重写表达式。

$y = \frac{C + 1 - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})}{\ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) - C}$

解题步骤 4

化简积分常数。

$y = \frac{C - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})}{\ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C}$

微积分学 示例

微积分学示例