微积分学示例

$\frac{d y}{d t} = - b y (t)$

解题步骤 1

将方程重写为 $M (t) \frac{d y}{d t} + P (t) y = Q (t)$ 。

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解题步骤 1.1

在等式两边都加上 $b y t$ 。

$\frac{d y}{d t} + b y t = 0$

解题步骤 1.2

重新排序项。

$\frac{d y}{d t} + b t y = 0$

解题步骤 2

积分因数由公式 $e^{\int P (t) d t}$ 定义，其中 $P (t) = b t$ 。

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解题步骤 2.1

建立积分。

$e^{\int b t d t}$

解题步骤 2.2

对 $b t$ 积分。

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解题步骤 2.2.1

由于 $b$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $b$ 移到积分外。

$e^{b \int t d t}$

解题步骤 2.2.2

根据幂法则， $t$ 对 $t$ 的积分是 $\frac{1}{2} t^{2}$ 。

$e^{b (\frac{1}{2} t^{2} + C)}$

解题步骤 2.2.3

化简答案。

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解题步骤 2.2.3.1

将 $b (\frac{1}{2} t^{2} + C)$ 重写为 $b \frac{1}{2} t^{2} + C$ 。

$e^{b \frac{1}{2} t^{2} + C}$

解题步骤 2.2.3.2

化简。

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解题步骤 2.2.3.2.1

组合 $b$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$e^{\frac{b}{2} t^{2} + C}$

解题步骤 2.2.3.2.2

组合 $\frac{b}{2}$ 和 $t^{2}$ 。

$e^{\frac{b t^{2}}{2} + C}$

$e^{\frac{1}{2} b t^{2} + C}$

解题步骤 2.3

去掉积分常数。

$e^{\frac{1}{2} b t^{2}}$

解题步骤 2.4

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $b$ 。

$e^{\frac{b}{2} t^{2}}$

解题步骤 2.5

组合 $\frac{b}{2}$ 和 $t^{2}$ 。

$e^{\frac{b t^{2}}{2}}$

解题步骤 3

每一项乘以积分因数 $e^{\frac{b t^{2}}{2}}$ 。

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解题步骤 3.1

每一项乘以 $e^{\frac{b t^{2}}{2}}$ 。

$e^{\frac{b t^{2}}{2}} \frac{d y}{d t} + e^{\frac{b t^{2}}{2}} (b t y) = e^{\frac{b t^{2}}{2}} \cdot 0$

解题步骤 3.2

将 $e^{\frac{b t^{2}}{2}}$ 乘以 $0$ 。

$e^{\frac{b t^{2}}{2}} \frac{d y}{d t} + e^{\frac{b t^{2}}{2}} (b t y) = 0$

解题步骤 3.3

将 $e^{\frac{b t^{2}}{2}} \frac{d y}{d t} + e^{\frac{b t^{2}}{2}} (b t y) = 0$ 中的因式重新排序。

$e^{\frac{b t^{2}}{2}} \frac{d y}{d t} + (b t) y e^{\frac{b t^{2}}{2}} = 0$

解题步骤 4

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d t} [e^{\frac{b t^{2}}{2}} y] = 0$

解题步骤 5

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d t} [e^{\frac{b t^{2}}{2}} y] d t = \int 0 d t$

解题步骤 6

对左边积分。

$e^{\frac{b t^{2}}{2}} y = \int 0 d t$

解题步骤 7

对右边积分。

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解题步骤 7.1

$0$ 对 $t$ 的积分为 $0$ 。

$e^{\frac{b t^{2}}{2}} y = 0 + C$

解题步骤 7.2

将 $0$ 和 $C$ 相加。

$e^{\frac{b t^{2}}{2}} y = C$

解题步骤 8

将 $e^{\frac{b t^{2}}{2}} y = C$ 中的每一项除以 $e^{\frac{b t^{2}}{2}}$ 并化简。

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解题步骤 8.1

将 $e^{\frac{b t^{2}}{2}} y = C$ 中的每一项都除以 $e^{\frac{b t^{2}}{2}}$ 。

$\frac{e^{\frac{b t^{2}}{2}} y}{e^{\frac{b t^{2}}{2}}} = \frac{C}{e^{\frac{b t^{2}}{2}}}$

解题步骤 8.2

化简左边。

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解题步骤 8.2.1

约去 $e^{\frac{b t^{2}}{2}}$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.1.1

约去公因数。

$\frac{e^{\frac{b t^{2}}{2}} y}{e^{\frac{b t^{2}}{2}}} = \frac{C}{e^{\frac{b t^{2}}{2}}}$

解题步骤 8.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{C}{e^{\frac{b t^{2}}{2}}}$

微积分学 示例

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