微积分学示例

$4 x y \frac{d y}{d x} = x^{2} + 1$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

将 $4 x y \frac{d y}{d x} = x^{2} + 1$ 中的每一项除以 $4 x y$ 并化简。

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解题步骤 1.1.1

将 $4 x y \frac{d y}{d x} = x^{2} + 1$ 中的每一项都除以 $4 x y$ 。

$\frac{4 x y \frac{d y}{d x}}{4 x y} = \frac{x^{2}}{4 x y} + \frac{1}{4 x y}$

解题步骤 1.1.2

化简左边。

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解题步骤 1.1.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 x y \frac{d y}{d x}}{4 x y} = \frac{x^{2}}{4 x y} + \frac{1}{4 x y}$

解题步骤 1.1.2.1.2

重写表达式。

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{x^{2}}{4 x y} + \frac{1}{4 x y}$

解题步骤 1.1.2.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.2.1

约去公因数。

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{x^{2}}{4 x y} + \frac{1}{4 x y}$

解题步骤 1.1.2.2.2

重写表达式。

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{x^{2}}{4 x y} + \frac{1}{4 x y}$

解题步骤 1.1.2.3

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.3.1

约去公因数。

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{x^{2}}{4 x y} + \frac{1}{4 x y}$

解题步骤 1.1.2.3.2

用 $\frac{d y}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{4 x y} + \frac{1}{4 x y}$

解题步骤 1.1.3

化简右边。

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解题步骤 1.1.3.1

约去 $x^{2}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.3.1.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{4 x y} + \frac{1}{4 x y}$

解题步骤 1.1.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 1.1.3.1.2.1

从 $4 x y$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x (4 y)} + \frac{1}{4 x y}$

解题步骤 1.1.3.1.2.2

约去公因数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x (4 y)} + \frac{1}{4 x y}$

解题步骤 1.1.3.1.2.3

重写表达式。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{4 y} + \frac{1}{4 x y}$

解题步骤 1.2

因数。

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解题步骤 1.2.1

要将 $\frac{x}{4 y}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{4 y} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{4 x y}$

解题步骤 1.2.2

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $4 y x$ 的形式。

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解题步骤 1.2.2.1

将 $\frac{x}{4 y}$ 乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{4 y x} + \frac{1}{4 x y}$

解题步骤 1.2.2.2

重新排序 $4 y x$ 的因式。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{4 x y} + \frac{1}{4 x y}$

解题步骤 1.2.3

在公分母上合并分子。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x + 1}{4 x y}$

解题步骤 1.2.4

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{4 x y}$

解题步骤 1.3

重新组合因数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{4 x} \cdot \frac{1}{y}$

解题步骤 1.4

两边同时乘以 $y$ 。

$y \frac{d y}{d x} = y (\frac{x^{2} + 1}{4 x} \cdot \frac{1}{y})$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

将 $\frac{x^{2} + 1}{4 x}$ 乘以 $\frac{1}{y}$ 。

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{2} + 1}{4 x y}$

解题步骤 1.5.2

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.2.1

从 $4 x y$ 中分解出因数 $y$ 。

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{2} + 1}{y (4 x)}$

解题步骤 1.5.2.2

约去公因数。

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{2} + 1}{y (4 x)}$

解题步骤 1.5.2.3

重写表达式。

$y \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{4 x}$

解题步骤 1.6

重写该方程。

$y d y = \frac{x^{2} + 1}{4 x} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int y d y = \int \frac{x^{2} + 1}{4 x} d x$

解题步骤 2.2

根据幂法则， $y$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{2} y^{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x^{2} + 1}{4 x} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{4} \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

解题步骤 2.3.2

用 $x^{2} + 1$ 除以 $x$ 。

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解题步骤 2.3.2.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

解题步骤 2.3.2.2

将被除数中的最高阶项 $x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$x$
	$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$

解题步骤 2.3.2.3

将新的商式项乘以除数。

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$x^{2}$	+	$0$

解题步骤 2.3.2.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{2} + 0$ 中的所有符号

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$

解题步骤 2.3.2.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
						$0$

解题步骤 2.3.2.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
						$0$	+	$1$

解题步骤 2.3.2.7

最终答案为商加上余数除以除数。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{4} \int x + \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.3.3

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{4} (\int x d x + \int \frac{1}{x} d x)$

解题步骤 2.3.4

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{4} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int \frac{1}{x} d x)$

解题步骤 2.3.5

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{4} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \ln (| x |) + C_{3})$

解题步骤 2.3.6

化简。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{4} (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |)) + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{4} (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |)) + C$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

等式两边同时乘以 $2$ 。

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{4} (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |)) + C)$

解题步骤 3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 3.2.1

化简左边。

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解题步骤 3.2.1.1

化简 $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ 。

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解题步骤 3.2.1.1.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $y^{2}$ 。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{4} (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |)) + C)$

解题步骤 3.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1.2.1

约去公因数。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{4} (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |)) + C)$

解题步骤 3.2.1.1.2.2

重写表达式。

$y^{2} = 2 (\frac{1}{4} (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |)) + C)$

解题步骤 3.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.2.1

化简 $2 (\frac{1}{4} (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |)) + C)$ 。

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解题步骤 3.2.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.2.1.1.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$y^{2} = 2 (\frac{1}{4} (\frac{x^{2}}{2} + \ln (| x |)) + C)$

解题步骤 3.2.2.1.1.2

运用分配律。

$y^{2} = 2 (\frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{4} \ln (| x |) + C)$

解题步骤 3.2.2.1.1.3

合并。

$y^{2} = 2 (\frac{1 x^{2}}{4 \cdot 2} + \frac{1}{4} \ln (| x |) + C)$

解题步骤 3.2.2.1.1.4

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $\ln (| x |)$ 。

$y^{2} = 2 (\frac{1 x^{2}}{4 \cdot 2} + \frac{\ln (| x |)}{4} + C)$

解题步骤 3.2.2.1.1.5

化简每一项。

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解题步骤 3.2.2.1.1.5.1

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$y^{2} = 2 (\frac{x^{2}}{4 \cdot 2} + \frac{\ln (| x |)}{4} + C)$

解题步骤 3.2.2.1.1.5.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$y^{2} = 2 (\frac{x^{2}}{8} + \frac{\ln (| x |)}{4} + C)$

解题步骤 3.2.2.1.2

运用分配律。

$y^{2} = 2 \frac{x^{2}}{8} + 2 \frac{\ln (| x |)}{4} + 2 C$

解题步骤 3.2.2.1.3

化简。

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解题步骤 3.2.2.1.3.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1.3.1.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$y^{2} = 2 \frac{x^{2}}{2 (4)} + 2 \frac{\ln (| x |)}{4} + 2 C$

解题步骤 3.2.2.1.3.1.2

约去公因数。

$y^{2} = 2 \frac{x^{2}}{2 \cdot 4} + 2 \frac{\ln (| x |)}{4} + 2 C$

解题步骤 3.2.2.1.3.1.3

重写表达式。

$y^{2} = \frac{x^{2}}{4} + 2 \frac{\ln (| x |)}{4} + 2 C$

解题步骤 3.2.2.1.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1.3.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$y^{2} = \frac{x^{2}}{4} + 2 \frac{\ln (| x |)}{2 (2)} + 2 C$

解题步骤 3.2.2.1.3.2.2

约去公因数。

$y^{2} = \frac{x^{2}}{4} + 2 \frac{\ln (| x |)}{2 \cdot 2} + 2 C$

解题步骤 3.2.2.1.3.2.3

重写表达式。

$y^{2} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{\ln (| x |)}{2} + 2 C$

解题步骤 3.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{4} + \frac{\ln (| x |)}{2} + 2 C}$

解题步骤 3.4

化简 $\pm \sqrt{\frac{x^{2}}{4} + \frac{\ln (| x |)}{2} + 2 C}$ 。

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解题步骤 3.4.1

化简每一项。

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解题步骤 3.4.1.1

将 $\frac{\ln (| x |)}{2}$ 重写为 $\frac{1}{2} \ln (| x |)$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2} \ln (| x |) + 2 C}$

解题步骤 3.4.1.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $\frac{1}{2} \ln (| x |)$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{4} + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + 2 C}$

解题步骤 3.4.2

要将 $\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{4} + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) \cdot \frac{4}{4} + 2 C}$

解题步骤 3.4.3

化简项。

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解题步骤 3.4.3.1

组合 $\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{4} + \frac{\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 4}{4} + 2 C}$

解题步骤 3.4.3.2

在公分母上合并分子。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 4}{4} + 2 C}$

解题步骤 3.4.4

化简分子。

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解题步骤 3.4.4.1

乘以 $\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 4$ 。

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解题步骤 3.4.4.1.1

将 $\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})$ 和 $4$ 重新排序。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + 4 \cdot \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})}{4} + 2 C}$

解题步骤 3.4.4.1.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $4 \cdot \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + \ln ({({| x |}^{\frac{1}{2}})}^{4})}{4} + 2 C}$

解题步骤 3.4.4.2

将 ${({| x |}^{\frac{1}{2}})}^{4}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.4.4.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2} \cdot 4})}{4} + 2 C}$

解题步骤 3.4.4.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.4.2.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2} \cdot (2 (2))})}{4} + 2 C}$

解题步骤 3.4.4.2.2.2

约去公因数。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2)})}{4} + 2 C}$

解题步骤 3.4.4.2.2.3

重写表达式。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + \ln ({| x |}^{2})}{4} + 2 C}$

解题步骤 3.4.4.3

去掉 ${| x |}^{2}$ 的绝对值符号，因为偶次幂的求幂结果恒为正。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + \ln (x^{2})}{4} + 2 C}$

解题步骤 3.4.5

要将 $2 C$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + \ln (x^{2})}{4} + 2 C \cdot \frac{4}{4}}$

解题步骤 3.4.6

组合 $2 C$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + \ln (x^{2})}{4} + \frac{2 C \cdot 4}{4}}$

解题步骤 3.4.7

在公分母上合并分子。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C \cdot 4}{4}}$

解题步骤 3.4.8

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C}{4}}$

解题步骤 3.4.9

将 $\frac{x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C}{4}$ 重写为 ${(\frac{1}{2})}^{2} (x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C)$ 。

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解题步骤 3.4.9.1

从 $x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C$ 中因式分解出完全幂数 $1^{2}$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C)}{4}}$

解题步骤 3.4.9.2

从 $4$ 中因式分解出完全幂数 $2^{2}$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C)}{2^{2} \cdot 1}}$

解题步骤 3.4.9.3

重新整理分数 $\frac{1^{2} (x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C)}{2^{2} \cdot 1}$ 。

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C)}$

解题步骤 3.4.10

从根式下提出各项。

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C}$

解题步骤 3.4.11

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C}}{2}$

解题步骤 3.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$y = \frac{\sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C}}{2}$

解题步骤 3.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C}}{2}$

解题步骤 3.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$y = \frac{\sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C}}{2}$

解题步骤 4

化简积分常数。

$y = \frac{\sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + C}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + C}}{2}$

微积分学 示例

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