微积分学示例

$x \frac{d y}{d x} + y = x^{4} - 3 x$

解题步骤 1

检查方程的左侧是否是 $x y$ 项的导数的结果。

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解题步骤 1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = y$ 。

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x y' + y \cdot 1$

解题步骤 1.4

代入 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$x \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

解题步骤 1.5

将 $y$ 和 $1$ 重新排序。

$x \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

解题步骤 1.6

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$x \frac{d y}{d x} + y$

解题步骤 2

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [x y] = x^{4} - 3 x$

解题步骤 3

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int x^{4} - 3 x d x$

解题步骤 4

对左边积分。

$x y = \int x^{4} - 3 x d x$

解题步骤 5

对右边积分。

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解题步骤 5.1

将单个积分拆分为多个积分。

$x y = \int x^{4} d x + \int - 3 x d x$

解题步骤 5.2

根据幂法则， $x^{4}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{5} x^{5}$ 。

$x y = \frac{1}{5} x^{5} + C + \int - 3 x d x$

解题步骤 5.3

由于 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 3$ 移到积分外。

$x y = \frac{1}{5} x^{5} + C - 3 \int x d x$

解题步骤 5.4

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$x y = \frac{1}{5} x^{5} + C - 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

解题步骤 5.5

化简。

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解题步骤 5.5.1

化简。

$x y = \frac{1}{5} x^{5} - 3 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

解题步骤 5.5.2

化简。

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解题步骤 5.5.2.1

组合 $- 3$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$x y = \frac{1}{5} x^{5} + \frac{- 3}{2} x^{2} + C$

解题步骤 5.5.2.2

将负号移到分数的前面。

$x y = \frac{1}{5} x^{5} - \frac{3}{2} x^{2} + C$

解题步骤 6

将 $x y = \frac{1}{5} x^{5} - \frac{3}{2} x^{2} + C$ 中的每一项除以 $x$ 并化简。

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解题步骤 6.1

将 $x y = \frac{1}{5} x^{5} - \frac{3}{2} x^{2} + C$ 中的每一项都除以 $x$ 。

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{1}{5} x^{5}}{x} + \frac{- \frac{3}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

解题步骤 6.2

化简左边。

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解题步骤 6.2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{1}{5} x^{5}}{x} + \frac{- \frac{3}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

解题步骤 6.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\frac{1}{5} x^{5}}{x} + \frac{- \frac{3}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

解题步骤 6.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.1

化简每一项。

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解题步骤 6.3.1.1

约去 $x^{5}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.1.1.1

从 $\frac{1}{5} x^{5}$ 中分解出因数 $x$ 。

$y = \frac{x (\frac{1}{5} x^{4})}{x} + \frac{- \frac{3}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

解题步骤 6.3.1.1.2

约去公因数。

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解题步骤 6.3.1.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \frac{x (\frac{1}{5} x^{4})}{x^{1}} + \frac{- \frac{3}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

解题步骤 6.3.1.1.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$y = \frac{x (\frac{1}{5} x^{4})}{x \cdot 1} + \frac{- \frac{3}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

解题步骤 6.3.1.1.2.3

约去公因数。

$y = \frac{x (\frac{1}{5} x^{4})}{x \cdot 1} + \frac{- \frac{3}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

解题步骤 6.3.1.1.2.4

重写表达式。

$y = \frac{\frac{1}{5} x^{4}}{1} + \frac{- \frac{3}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

解题步骤 6.3.1.1.2.5

用 $\frac{1}{5} x^{4}$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{1}{5} x^{4} + \frac{- \frac{3}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

解题步骤 6.3.1.2

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $x^{4}$ 。

$y = \frac{x^{4}}{5} + \frac{- \frac{3}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

解题步骤 6.3.1.3

约去 $x^{2}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.1.3.1

从 $- \frac{3}{2} x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$y = \frac{x^{4}}{5} + \frac{x (- \frac{3}{2} x)}{x} + \frac{C}{x}$

解题步骤 6.3.1.3.2

约去公因数。

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解题步骤 6.3.1.3.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \frac{x^{4}}{5} + \frac{x (- \frac{3}{2} x)}{x^{1}} + \frac{C}{x}$

解题步骤 6.3.1.3.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$y = \frac{x^{4}}{5} + \frac{x (- \frac{3}{2} x)}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

解题步骤 6.3.1.3.2.3

约去公因数。

$y = \frac{x^{4}}{5} + \frac{x (- \frac{3}{2} x)}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

解题步骤 6.3.1.3.2.4

重写表达式。

$y = \frac{x^{4}}{5} + \frac{- \frac{3}{2} x}{1} + \frac{C}{x}$

解题步骤 6.3.1.3.2.5

用 $- \frac{3}{2} x$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{x^{4}}{5} - \frac{3}{2} x + \frac{C}{x}$

解题步骤 6.3.1.4

组合 $x$ 和 $\frac{3}{2}$ 。

$y = \frac{x^{4}}{5} - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{C}{x}$

解题步骤 6.3.1.5

将 $3$ 移到 $x$ 的左侧。

$y = \frac{x^{4}}{5} - \frac{3 x}{2} + \frac{C}{x}$

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