微积分学示例

$\frac{d y}{d x} - 2 x \ln (x^{2} + 1) = 0$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

求解 $\frac{d y}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.1.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 2 \ln (x^{2} + 1)$ 。

$\frac{d y}{d x} + x (- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})) = 0$

解题步骤 1.1.1.2

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{d y}{d x} - x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) = 0$

解题步骤 1.1.2

在等式两边都加上 $x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})$ 。

$\frac{d y}{d x} = x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})$

解题步骤 1.2

重写该方程。

$d y = x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) d x$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \int x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

将 $x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})$ 重写为 $x (2 \ln (x^{2} + 1))$ 。

$y + C_{1} = \int x (2 \ln (x^{2} + 1)) d x$

解题步骤 2.3.2

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$y + C_{1} = 2 \int x (\ln (x^{2} + 1)) d x$

解题步骤 2.3.3

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \ln (x^{2} + 1)$ ， $d v = x$ 。

$y + C_{1} = 2 (\ln (x^{2} + 1) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x)$

解题步骤 2.3.4

化简。

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解题步骤 2.3.4.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$y + C_{1} = 2 (\ln (x^{2} + 1) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x)$

解题步骤 2.3.4.2

组合 $\ln (x^{2} + 1)$ 和 $\frac{x^{2}}{2}$ 。

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x)$

解题步骤 2.3.4.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x)$

解题步骤 2.3.4.4

将 $\frac{x^{2}}{2}$ 乘以 $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ 。

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{2} (2 x)}{2 (x^{2} + 1)} d x)$

解题步骤 2.3.4.5

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.3.4.5.1

移动 $x$ 。

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x^{2} \cdot 2}{2 (x^{2} + 1)} d x)$

解题步骤 2.3.4.5.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.3.4.5.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{1} x^{2} \cdot 2}{2 (x^{2} + 1)} d x)$

解题步骤 2.3.4.5.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{1 + 2} \cdot 2}{2 (x^{2} + 1)} d x)$

解题步骤 2.3.4.5.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{3} \cdot 2}{2 (x^{2} + 1)} d x)$

解题步骤 2.3.4.6

将 $2$ 移到 $x^{3}$ 的左侧。

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - \int \frac{2 \cdot x^{3}}{2 (x^{2} + 1)} d x)$

解题步骤 2.3.4.7

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.4.7.1

约去公因数。

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - \int \frac{2 x^{3}}{2 (x^{2} + 1)} d x)$

解题步骤 2.3.4.7.2

重写表达式。

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{3}}{x^{2} + 1} d x)$

解题步骤 2.3.5

用 $x^{3}$ 除以 $x^{2} + 1$ 。

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解题步骤 2.3.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

解题步骤 2.3.5.2

将被除数中的最高阶项 $x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x^{2}$ 。

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

解题步骤 2.3.5.3

将新的商式项乘以除数。

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$x$

解题步骤 2.3.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{3} + 0 + x$ 中的所有符号

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$x$

解题步骤 2.3.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$x$

解题步骤 2.3.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$x$

$0$

解题步骤 2.3.5.7

最终答案为商加上余数除以除数。

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - \int x + \frac{- x}{x^{2} + 1} d x)$

解题步骤 2.3.6

将单个积分拆分为多个积分。

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - (\int x d x + \int \frac{- x}{x^{2} + 1} d x))$

解题步骤 2.3.7

将负号移到分数的前面。

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - (\int x d x + \int - \frac{x}{x^{2} + 1} d x))$

解题步骤 2.3.8

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int - \frac{x}{x^{2} + 1} d x))$

解题步骤 2.3.9

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2} + \int - \frac{x}{x^{2} + 1} d x))$

解题步骤 2.3.10

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2} - \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x))$

解题步骤 2.3.11

使 $u = x^{2} + 1$ 。然后使 $d u = 2 x d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = x d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.11.1

设 $u = x^{2} + 1$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.3.11.1.1

对 $x^{2} + 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

解题步骤 2.3.11.1.2

根据加法法则， $x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.3.11.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.3.11.1.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 x + 0$

解题步骤 2.3.11.1.5

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$2 x$

解题步骤 2.3.11.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2} - \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u))$

解题步骤 2.3.12

化简。

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解题步骤 2.3.12.1

将 $\frac{1}{u}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2} - \int \frac{1}{u \cdot 2} d u))$

解题步骤 2.3.12.2

将 $2$ 移到 $u$ 的左侧。

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2} - \int \frac{1}{2 u} d u))$

解题步骤 2.3.13

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)))$

解题步骤 2.3.14

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2} - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{3})))$

解题步骤 2.3.15

化简。

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解题步骤 2.3.15.1

化简。

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{\ln (| u |)}{2}) + C_{4}$

解题步骤 2.3.15.2

在公分母上合并分子。

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2} - x^{2}}{2} + \frac{\ln (| u |)}{2}) + C_{4}$

解题步骤 2.3.16

使用 $x^{2} + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2} - x^{2}}{2} + \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2}) + C_{4}$

解题步骤 2.3.17

化简。

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解题步骤 2.3.17.1

在公分母上合并分子。

$y + C_{1} = 2 \frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2} - x^{2} + \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C_{4}$

解题步骤 2.3.17.2

将 $\ln (x^{2} + 1) x^{2} - x^{2} + \ln (| x^{2} + 1 |)$ 中的因式重新排序。

$y + C_{1} = 2 \frac{x^{2} \ln (x^{2} + 1) - x^{2} + \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C_{4}$

解题步骤 2.3.17.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.17.3.1

约去公因数。

$y + C_{1} = 2 \frac{x^{2} \ln (x^{2} + 1) - x^{2} + \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C_{4}$

解题步骤 2.3.17.3.2

重写表达式。

$y + C_{1} = x^{2} \ln (x^{2} + 1) - x^{2} + \ln (| x^{2} + 1 |) + C_{4}$

解题步骤 2.3.18

重新排序项。

$y + C_{1} = - x^{2} + x^{2} \ln (x^{2} + 1) + \ln (| x^{2} + 1 |) + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$y = - x^{2} + x^{2} \ln (x^{2} + 1) + \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

微积分学 示例

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