微积分学示例

$y \frac{d y}{d x} - x = 2 y^{2}$

解题步骤 1

使 $v = y^{2}$ 。用 $v$ 代入替换所有出现的 $y^{2}$ 。

$y \frac{d y}{d x} - x = 2 v$

解题步骤 2

通过对 $y^{2}$ 进行微分求 $\frac{d v}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{d v}{d x} = 2 u \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 2.1.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{d v}{d x} = 2 y \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 2.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$\frac{d v}{d x} = 2 y y'$

解题步骤 3

将导数代回微分方程。

$\frac{1}{2} \frac{d v}{d x} - x = 2 v$

解题步骤 4

将微分方程重写为 $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ 。

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解题步骤 4.1

将方程重写为 $M (x) \frac{d v}{d x} + P (x) v = Q (x)$ 。

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解题步骤 4.1.1

从等式两边同时减去 $2 v$ 。

$\frac{1}{2} \frac{d v}{d x} - x - 2 v = 0$

解题步骤 4.1.2

在等式两边都加上 $x$ 。

$\frac{1}{2} \frac{d v}{d x} - 2 v = x$

解题步骤 4.2

将 $\frac{1}{2} \frac{d v}{d x} - 2 v = x$ 中的每一项乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} \frac{d v}{d x} \cdot 2 - 2 v \cdot 2 = x \cdot 2$

解题步骤 4.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\frac{d v}{d x}$ 。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{2} \cdot 2 - 2 v \cdot 2 = x \cdot 2$

解题步骤 4.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.4.1

约去公因数。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{2} \cdot 2 - 2 v \cdot 2 = x \cdot 2$

解题步骤 4.4.2

重写表达式。

$\frac{d v}{d x} - 2 v \cdot 2 = x \cdot 2$

解题步骤 4.5

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{d v}{d x} - 4 v = x \cdot 2$

解题步骤 4.6

将 $x$ 和 $2$ 重新排序。

$\frac{d v}{d x} - 4 v = 2 \cdot x$

解题步骤 5

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = - 4$ 。

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解题步骤 5.1

建立积分。

$e^{\int - 4 d x}$

解题步骤 5.2

应用常数不变法则。

$e^{- 4 x + C}$

解题步骤 5.3

去掉积分常数。

$e^{- 4 x}$

解题步骤 6

每一项乘以积分因数 $e^{- 4 x}$ 。

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解题步骤 6.1

每一项乘以 $e^{- 4 x}$ 。

$e^{- 4 x} \frac{d v}{d x} + e^{- 4 x} (- 4 v) = e^{- 4 x} (2 \cdot x)$

解题步骤 6.2

使用乘法的交换性质重写。

$e^{- 4 x} \frac{d v}{d x} - 4 e^{- 4 x} v = e^{- 4 x} (2 \cdot x)$

解题步骤 6.3

使用乘法的交换性质重写。

$e^{- 4 x} \frac{d v}{d x} - 4 e^{- 4 x} v = 2 e^{- 4 x} x$

解题步骤 6.4

将 $e^{- 4 x} \frac{d v}{d x} - 4 e^{- 4 x} v = 2 e^{- 4 x} x$ 中的因式重新排序。

$e^{- 4 x} \frac{d v}{d x} - 4 v e^{- 4 x} = 2 x e^{- 4 x}$

解题步骤 7

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [e^{- 4 x} v] = 2 x e^{- 4 x}$

解题步骤 8

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 4 x} v] d x = \int 2 x e^{- 4 x} d x$

解题步骤 9

对左边积分。

$e^{- 4 x} v = \int 2 x e^{- 4 x} d x$

解题步骤 10

对右边积分。

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解题步骤 10.1

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$e^{- 4 x} v = 2 \int x e^{- 4 x} d x$

解题步骤 10.2

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = e^{- 4 x}$ 。

$e^{- 4 x} v = 2 (x (- \frac{1}{4} e^{- 4 x}) - \int - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x)$

解题步骤 10.3

化简。

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解题步骤 10.3.1

组合 $e^{- 4 x}$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$e^{- 4 x} v = 2 (x (- \frac{e^{- 4 x}}{4}) - \int - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x)$

解题步骤 10.3.2

组合 $x$ 和 $\frac{e^{- 4 x}}{4}$ 。

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \int - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x)$

解题步骤 10.3.3

组合 $e^{- 4 x}$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \int - \frac{e^{- 4 x}}{4} d x)$

解题步骤 10.4

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - - \int \frac{e^{- 4 x}}{4} d x)$

解题步骤 10.5

化简。

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解题步骤 10.5.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + 1 \int \frac{e^{- 4 x}}{4} d x)$

解题步骤 10.5.2

将 $\int \frac{e^{- 4 x}}{4} d x$ 乘以 $1$ 。

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \int \frac{e^{- 4 x}}{4} d x)$

解题步骤 10.6

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int e^{- 4 x} d x)$

解题步骤 10.7

使 $u = - 4 x$ 。然后使 $d u = - 4 d x$ ，以便 $- \frac{1}{4} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 10.7.1

设 $u = - 4 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 10.7.1.1

对 $- 4 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$

解题步骤 10.7.1.2

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 10.7.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 4 \cdot 1$

解题步骤 10.7.1.4

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$- 4$

解题步骤 10.7.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int e^{u} \frac{1}{- 4} d u)$

解题步骤 10.8

化简。

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解题步骤 10.8.1

将负号移到分数的前面。

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int e^{u} (- \frac{1}{4}) d u)$

解题步骤 10.8.2

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int - \frac{e^{u}}{4} d u)$

解题步骤 10.9

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} (- \int \frac{e^{u}}{4} d u))$

解题步骤 10.10

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} (- (\frac{1}{4} \int e^{u} d u)))$

解题步骤 10.11

化简。

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解题步骤 10.11.1

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{4 \cdot 4} \int e^{u} d u)$

解题步骤 10.11.2

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} \int e^{u} d u)$

解题步骤 10.12

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C))$

解题步骤 10.13

化简。

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解题步骤 10.13.1

将 $2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C))$ 重写为 $2 (- \frac{1}{4} x e^{- 4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$ 。

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{1}{4} x e^{- 4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$

解题步骤 10.13.2

化简。

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解题步骤 10.13.2.1

组合 $x$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{x}{4} e^{- 4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$

解题步骤 10.13.2.2

组合 $e^{- 4 x}$ 和 $\frac{x}{4}$ 。

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{e^{- 4 x} x}{4} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$

解题步骤 10.13.2.3

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{1}{16}$ 。

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{e^{- 4 x} x}{4} - \frac{e^{u}}{16}) + C$

解题步骤 10.14

使用 $- 4 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{e^{- 4 x} x}{4} - \frac{e^{- 4 x}}{16}) + C$

解题步骤 10.15

化简。

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解题步骤 10.15.1

运用分配律。

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{e^{- 4 x} x}{4}) + 2 (- \frac{e^{- 4 x}}{16}) + C$

解题步骤 10.15.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.15.2.1

将 $- \frac{e^{- 4 x} x}{4}$ 中前置负号移到分子中。

$e^{- 4 x} v = 2 \frac{- e^{- 4 x} x}{4} + 2 (- \frac{e^{- 4 x}}{16}) + C$

解题步骤 10.15.2.2

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$e^{- 4 x} v = 2 \frac{- e^{- 4 x} x}{2 (2)} + 2 (- \frac{e^{- 4 x}}{16}) + C$

解题步骤 10.15.2.3

约去公因数。

$e^{- 4 x} v = 2 \frac{- e^{- 4 x} x}{2 \cdot 2} + 2 (- \frac{e^{- 4 x}}{16}) + C$

解题步骤 10.15.2.4

重写表达式。

$e^{- 4 x} v = \frac{- e^{- 4 x} x}{2} + 2 (- \frac{e^{- 4 x}}{16}) + C$

解题步骤 10.15.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.15.3.1

将 $- \frac{e^{- 4 x}}{16}$ 中前置负号移到分子中。

$e^{- 4 x} v = \frac{- e^{- 4 x} x}{2} + 2 \frac{- e^{- 4 x}}{16} + C$

解题步骤 10.15.3.2

从 $16$ 中分解出因数 $2$ 。

$e^{- 4 x} v = \frac{- e^{- 4 x} x}{2} + 2 \frac{- e^{- 4 x}}{2 (8)} + C$

解题步骤 10.15.3.3

约去公因数。

$e^{- 4 x} v = \frac{- e^{- 4 x} x}{2} + 2 \frac{- e^{- 4 x}}{2 \cdot 8} + C$

解题步骤 10.15.3.4

重写表达式。

$e^{- 4 x} v = \frac{- e^{- 4 x} x}{2} + \frac{- e^{- 4 x}}{8} + C$

解题步骤 10.15.4

化简每一项。

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解题步骤 10.15.4.1

将负号移到分数的前面。

$e^{- 4 x} v = - \frac{e^{- 4 x} x}{2} + \frac{- e^{- 4 x}}{8} + C$

解题步骤 10.15.4.2

将负号移到分数的前面。

$e^{- 4 x} v = - \frac{e^{- 4 x} x}{2} - \frac{e^{- 4 x}}{8} + C$

解题步骤 10.15.5

将 $- \frac{e^{- 4 x} x}{2} - \frac{e^{- 4 x}}{8}$ 中的因式重新排序。

$e^{- 4 x} v = - \frac{x e^{- 4 x}}{2} - \frac{e^{- 4 x}}{8} + C$

解题步骤 10.16

重新排序项。

$e^{- 4 x} v = - \frac{1}{2} x e^{- 4 x} - \frac{1}{8} e^{- 4 x} + C$

解题步骤 11

求解 $v$ 。

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解题步骤 11.1

化简。

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解题步骤 11.1.1

组合 $x$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$e^{- 4 x} v = - \frac{x}{2} e^{- 4 x} - \frac{1}{8} e^{- 4 x} + C$

解题步骤 11.1.2

组合 $e^{- 4 x}$ 和 $\frac{x}{2}$ 。

$e^{- 4 x} v = - \frac{e^{- 4 x} x}{2} - \frac{1}{8} e^{- 4 x} + C$

解题步骤 11.1.3

组合 $e^{- 4 x}$ 和 $\frac{1}{8}$ 。

$e^{- 4 x} v = - \frac{e^{- 4 x} x}{2} - \frac{e^{- 4 x}}{8} + C$

解题步骤 11.2

将 $e^{- 4 x} v = - \frac{e^{- 4 x} x}{2} - \frac{e^{- 4 x}}{8} + C$ 中的每一项除以 $e^{- 4 x}$ 并化简。

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解题步骤 11.2.1

将 $e^{- 4 x} v = - \frac{e^{- 4 x} x}{2} - \frac{e^{- 4 x}}{8} + C$ 中的每一项都除以 $e^{- 4 x}$ 。

$\frac{e^{- 4 x} v}{e^{- 4 x}} = \frac{- \frac{e^{- 4 x} x}{2}}{e^{- 4 x}} + \frac{- \frac{e^{- 4 x}}{8}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

解题步骤 11.2.2

化简左边。

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解题步骤 11.2.2.1

约去 $e^{- 4 x}$ 的公因数。

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解题步骤 11.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{e^{- 4 x} v}{e^{- 4 x}} = \frac{- \frac{e^{- 4 x} x}{2}}{e^{- 4 x}} + \frac{- \frac{e^{- 4 x}}{8}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

解题步骤 11.2.2.1.2

用 $v$ 除以 $1$ 。

$v = \frac{- \frac{e^{- 4 x} x}{2}}{e^{- 4 x}} + \frac{- \frac{e^{- 4 x}}{8}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

解题步骤 11.2.3

化简右边。

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解题步骤 11.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 11.2.3.1.1

将分子乘以分母的倒数。

$v = - \frac{e^{- 4 x} x}{2} \cdot \frac{1}{e^{- 4 x}} + \frac{- \frac{e^{- 4 x}}{8}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

解题步骤 11.2.3.1.2

将 $\frac{1}{e^{- 4 x}}$ 乘以 $\frac{e^{- 4 x} x}{2}$ 。

$v = - \frac{e^{- 4 x} x}{e^{- 4 x} \cdot 2} + \frac{- \frac{e^{- 4 x}}{8}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

解题步骤 11.2.3.1.3

约去 $e^{- 4 x}$ 的公因数。

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解题步骤 11.2.3.1.3.1

约去公因数。

$v = - \frac{e^{- 4 x} x}{e^{- 4 x} \cdot 2} + \frac{- \frac{e^{- 4 x}}{8}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

解题步骤 11.2.3.1.3.2

重写表达式。

$v = - \frac{x}{2} + \frac{- \frac{e^{- 4 x}}{8}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

解题步骤 11.2.3.1.4

将分子乘以分母的倒数。

$v = - \frac{x}{2} - \frac{e^{- 4 x}}{8} \cdot \frac{1}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

解题步骤 11.2.3.1.5

将 $\frac{1}{e^{- 4 x}}$ 乘以 $\frac{e^{- 4 x}}{8}$ 。

$v = - \frac{x}{2} - \frac{e^{- 4 x}}{e^{- 4 x} \cdot 8} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

解题步骤 11.2.3.1.6

约去 $e^{- 4 x}$ 的公因数。

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解题步骤 11.2.3.1.6.1

约去公因数。

$v = - \frac{x}{2} - \frac{e^{- 4 x}}{e^{- 4 x} \cdot 8} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

解题步骤 11.2.3.1.6.2

重写表达式。

$v = - \frac{x}{2} - \frac{1}{8} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

解题步骤 12

使用 $y^{2}$ 替换所有出现的 $v$ 。

$y^{2} = - \frac{x}{2} - \frac{1}{8} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

解题步骤 13

求解 $y$ 。

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解题步骤 13.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \pm \sqrt{- \frac{x}{2} - \frac{1}{8} + \frac{C}{e^{- 4 x}}}$

解题步骤 13.2

化简 $\pm \sqrt{- \frac{x}{2} - \frac{1}{8} + \frac{C}{e^{- 4 x}}}$ 。

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解题步骤 13.2.1

要将 $- \frac{x}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$y = \pm \sqrt{- \frac{x}{2} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{8} + \frac{C}{e^{- 4 x}}}$

解题步骤 13.2.2

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $8$ 的形式。

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解题步骤 13.2.2.1

将 $\frac{x}{2}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$y = \pm \sqrt{- \frac{x \cdot 4}{2 \cdot 4} - \frac{1}{8} + \frac{C}{e^{- 4 x}}}$

解题步骤 13.2.2.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$y = \pm \sqrt{- \frac{x \cdot 4}{8} - \frac{1}{8} + \frac{C}{e^{- 4 x}}}$

解题步骤 13.2.3

在公分母上合并分子。

$y = \pm \sqrt{\frac{- x \cdot 4 - 1}{8} + \frac{C}{e^{- 4 x}}}$

解题步骤 13.2.4

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{- 4 x - 1}{8} + \frac{C}{e^{- 4 x}}}$

解题步骤 13.2.5

要将 $\frac{- 4 x - 1}{8}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{e^{- 4 x}}{e^{- 4 x}}$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{- 4 x - 1}{8} \cdot \frac{e^{- 4 x}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}}$

解题步骤 13.2.6

要将 $\frac{C}{e^{- 4 x}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{8}{8}$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{- 4 x - 1}{8} \cdot \frac{e^{- 4 x}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}} \cdot \frac{8}{8}}$

解题步骤 13.2.7

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $8 e^{- 4 x}$ 的形式。

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解题步骤 13.2.7.1

将 $\frac{- 4 x - 1}{8}$ 乘以 $\frac{e^{- 4 x}}{e^{- 4 x}}$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{(- 4 x - 1) e^{- 4 x}}{8 e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}} \cdot \frac{8}{8}}$

解题步骤 13.2.7.2

将 $\frac{C}{e^{- 4 x}}$ 乘以 $\frac{8}{8}$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{(- 4 x - 1) e^{- 4 x}}{8 e^{- 4 x}} + \frac{C \cdot 8}{e^{- 4 x} \cdot 8}}$

解题步骤 13.2.7.3

重新排序 $e^{- 4 x} \cdot 8$ 的因式。

$y = \pm \sqrt{\frac{(- 4 x - 1) e^{- 4 x}}{8 e^{- 4 x}} + \frac{C \cdot 8}{8 e^{- 4 x}}}$

解题步骤 13.2.8

在公分母上合并分子。

$y = \pm \sqrt{\frac{(- 4 x - 1) e^{- 4 x} + C \cdot 8}{8 e^{- 4 x}}}$

解题步骤 13.2.9

化简分子。

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解题步骤 13.2.9.1

运用分配律。

$y = \pm \sqrt{\frac{- 4 x e^{- 4 x} - 1 e^{- 4 x} + C \cdot 8}{8 e^{- 4 x}}}$

解题步骤 13.2.9.2

将 $- 1 e^{- 4 x}$ 重写为 $- e^{- 4 x}$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + C \cdot 8}{8 e^{- 4 x}}}$

解题步骤 13.2.9.3

将 $8$ 移到 $C$ 的左侧。

$y = \pm \sqrt{\frac{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C}{8 e^{- 4 x}}}$

解题步骤 13.2.10

将 $\frac{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C}{8 e^{- 4 x}}$ 重写为 ${(\frac{1}{2 e^{- 2 x}})}^{2} \frac{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C}{2}$ 。

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解题步骤 13.2.10.1

从 $- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C$ 中因式分解出完全幂数 $1^{2}$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C)}{8 e^{- 4 x}}}$

解题步骤 13.2.10.2

从 $8 e^{- 4 x}$ 中因式分解出完全幂数 ${(2 e^{- 2 x})}^{2}$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C)}{{(2 e^{- 2 x})}^{2} \cdot 2}}$

解题步骤 13.2.10.3

重新整理分数 $\frac{1^{2} (- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C)}{{(2 e^{- 2 x})}^{2} \cdot 2}$ 。

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2 e^{- 2 x}})}^{2} \frac{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C}{2}}$

解题步骤 13.2.11

从根式下提出各项。

$y = \pm \frac{1}{2 e^{- 2 x}} \sqrt{\frac{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C}{2}}$

解题步骤 13.2.12

将 $\sqrt{\frac{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C}{2}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C}}{\sqrt{2}}$ 。

$y = \pm \frac{1}{2 e^{- 2 x}} \cdot \frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 13.2.13

合并。

$y = \pm \frac{1 \sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C}}{2 e^{- 2 x} \sqrt{2}}$

解题步骤 13.2.14

将 $\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C}$ 乘以 $1$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C}}{2 e^{- 2 x} \sqrt{2}}$

解题步骤 13.2.15

将 $\frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C}}{2 e^{- 2 x} \sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C}}{2 e^{- 2 x} \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 13.2.16

合并和化简分母。

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解题步骤 13.2.16.1

将 $\frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C}}{2 e^{- 2 x} \sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C} \sqrt{2}}{2 e^{- 2 x} \sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 13.2.16.2

移动 $\sqrt{2}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C} \sqrt{2}}{2 e^{- 2 x} (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

解题步骤 13.2.16.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \pm \frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C} \sqrt{2}}{2 e^{- 2 x} ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

解题步骤 13.2.16.4

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \pm \frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C} \sqrt{2}}{2 e^{- 2 x} ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

解题步骤 13.2.16.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = \pm \frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C} \sqrt{2}}{2 e^{- 2 x} {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

解题步骤 13.2.16.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$y = \pm \frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C} \sqrt{2}}{2 e^{- 2 x} {\sqrt{2}}^{2}}$

解题步骤 13.2.16.7

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 13.2.16.7.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C} \sqrt{2}}{2 e^{- 2 x} {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 13.2.16.7.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C} \sqrt{2}}{2 e^{- 2 x} \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 13.2.16.7.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C} \sqrt{2}}{2 e^{- 2 x} \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 13.2.16.7.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 13.2.16.7.4.1

约去公因数。

$y = \pm \frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C} \sqrt{2}}{2 e^{- 2 x} \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 13.2.16.7.4.2

重写表达式。

$y = \pm \frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C} \sqrt{2}}{2 e^{- 2 x} \cdot 2^{1}}$

解题步骤 13.2.16.7.5

计算指数。

$y = \pm \frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C} \sqrt{2}}{2 e^{- 2 x} \cdot 2}$

解题步骤 13.2.17

使用根数乘积法则进行合并。

$y = \pm \frac{\sqrt{(- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C) \cdot 2}}{2 e^{- 2 x} \cdot 2}$

解题步骤 13.2.18

化简表达式。

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解题步骤 13.2.18.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{(- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C) \cdot 2}}{4 e^{- 2 x}}$

解题步骤 13.2.18.2

将 $\pm \frac{\sqrt{(- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C) \cdot 2}}{4 e^{- 2 x}}$ 中的因式重新排序。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C)}}{4 e^{- 2 x}}$

解题步骤 13.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 13.3.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$y = \frac{\sqrt{2 (- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C)}}{4 e^{- 2 x}}$

解题步骤 13.3.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C)}}{4 e^{- 2 x}}$

解题步骤 13.3.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$y = \frac{\sqrt{2 (- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C)}}{4 e^{- 2 x}}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C)}}{4 e^{- 2 x}}$

$y = \frac{\sqrt{2 (- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C)}}{4 e^{- 2 x}}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C)}}{4 e^{- 2 x}}$

$y = \frac{\sqrt{2 (- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C)}}{4 e^{- 2 x}}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C)}}{4 e^{- 2 x}}$

解题步骤 14

化简积分常数。

$y = \frac{\sqrt{2 (- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + C)}}{4 e^{- 2 x}}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + C)}}{4 e^{- 2 x}}$

微积分学 示例

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