微积分学示例

$x e^{x^{2} + y} d x = y d y$

解题步骤 1

重写微分方程以符合精确微分方程方法。

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解题步骤 1.1

从等式两边同时减去 $y d y$ 。

$x e^{x^{2} + y} d x - y d y = 0$

解题步骤 2

求 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 在 $M (x, y) = x e^{x^{2} + y}$ 的值。

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解题步骤 2.1

将 $M$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x e^{x^{2} + y}]$

解题步骤 2.2

因为 $x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $x e^{x^{2} + y}$ 对 $y$ 的导数是 $x \frac{d}{d y} [e^{x^{2} + y}]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [e^{x^{2} + y}]$

解题步骤 2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 等于 $f' (g (y)) g' (y)$ ，其中 $f (y) = e^{y}$ 且 $g (y) = x^{2} + y$ 。

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解题步骤 2.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} + y$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [x^{2} + y])$

解题步骤 2.3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (e^{u} \frac{d}{d y} [x^{2} + y])$

解题步骤 2.3.3

使用 $x^{2} + y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (e^{x^{2} + y} \frac{d}{d y} [x^{2} + y])$

解题步骤 2.4

求微分。

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解题步骤 2.4.1

根据加法法则， $x^{2} + y$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (e^{x^{2} + y} (\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y]))$

解题步骤 2.4.2

因为 $x^{2}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $x^{2}$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (e^{x^{2} + y} (0 + \frac{d}{d y} [y]))$

解题步骤 2.4.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d y} [y]$ 相加。

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (e^{x^{2} + y} \frac{d}{d y} [y])$

解题步骤 2.4.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (e^{x^{2} + y} \cdot 1)$

解题步骤 2.4.5

将 $e^{x^{2} + y}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = x e^{x^{2} + y}$

解题步骤 3

求 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 在 $N (x, y) = - y$ 的值。

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解题步骤 3.1

将 $N$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- y]$

解题步骤 3.2

因为 $- y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- y$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

解题步骤 4

判断 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 。

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解题步骤 4.1

将 $x e^{x^{2} + y}$ 代入 $\frac{\partial M}{\partial y}$ ，将 $0$ 代入 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$x e^{x^{2} + y} = 0$

解题步骤 4.2

因为左边不等于右边，所以该方程不是恒等式。

$x e^{x^{2} + y} = 0$ 不是恒等式。

解题步骤 5

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 。

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解题步骤 5.1

代入 $0$ 替换 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$\frac{0 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

解题步骤 5.2

代入 $x e^{x^{2} + y}$ 替换 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 。

$\frac{0 - (x e^{x^{2} + y})}{M}$

解题步骤 5.3

代入 $x e^{x^{2} + y}$ 替换 $M$ 。

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解题步骤 5.3.1

代入 $x e^{x^{2} + y}$ 替换 $M$ 。

$\frac{0 - (x e^{x^{2} + y})}{x e^{x^{2} + y}}$

解题步骤 5.3.2

从 $0$ 中减去 $x e^{x^{2} + y}$ 。

$\frac{- x e^{x^{2} + y}}{x e^{x^{2} + y}}$

解题步骤 5.3.3

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.1

约去公因数。

$\frac{- x e^{x^{2} + y}}{x e^{x^{2} + y}}$

解题步骤 5.3.3.2

重写表达式。

$\frac{- e^{x^{2} + y}}{e^{x^{2} + y}}$

解题步骤 5.3.4

代入 $x e^{x^{2} + y}$ 替换 $M$ 。

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解题步骤 5.3.4.1

约去公因数。

$\frac{- e^{x^{2} + y}}{e^{x^{2} + y}}$

解题步骤 5.3.4.2

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 5.4

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 。

$μ (x, y) = e^{\int - 1 d y}$

解题步骤 6

计算积分 $e^{\int - 1 d y}$ 。

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解题步骤 6.1

应用常数不变法则。

$μ (x, y) = e^{- y + C}$

解题步骤 6.2

化简。

$μ (x, y) = e^{- y} + C$

解题步骤 7

在 $x e^{x^{2} + y} d x - y d y = 0$ 的两边同时乘以积分因数 $e^{- y}$ 。

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解题步骤 7.1

将 $x e^{x^{2} + y}$ 乘以 $e^{- y}$ 。

$x e^{x^{2} + y} e^{- y} d x - y d y = 0$

解题步骤 7.2

通过指数相加将 $e^{x^{2} + y}$ 乘以 $e^{- y}$ 。

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解题步骤 7.2.1

移动 $e^{- y}$ 。

$x (e^{- y} e^{x^{2} + y}) d x - y d y = 0$

解题步骤 7.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x e^{- y + x^{2} + y} d x - y d y = 0$

解题步骤 7.2.3

合并 $- y + x^{2} + y$ 中相反的项。

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解题步骤 7.2.3.1

将 $- y$ 和 $y$ 相加。

$x e^{x^{2} + 0} d x - y d y = 0$

解题步骤 7.2.3.2

将 $x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$x e^{x^{2}} d x - y d y = 0$

解题步骤 7.3

将 $- y$ 乘以 $e^{- y}$ 。

$x e^{x^{2}} d x - y e^{- y} d y = 0$

解题步骤 8

使 $f (x, y)$ 等于 $M (x, y)$ 的积分。

$f (x, y) = \int x e^{x^{2}} d x$

解题步骤 9

对 $M (x, y) = x e^{x^{2}}$ 积分以求 $f (x, y)$ 。

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解题步骤 9.1

使 $u_{2} = e^{x^{2}}$ 。然后使 $d u_{2} = 2 x e^{x^{2}} d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{2} = x e^{x^{2}} d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 9.1.1

设 $u_{2} = e^{x^{2}}$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 9.1.1.1

对 $e^{x^{2}}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

解题步骤 9.1.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

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解题步骤 9.1.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $x^{2}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 9.1.1.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 9.1.1.2.3

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 9.1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$e^{x^{2}} (2 x)$

解题步骤 9.1.1.4

化简。

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解题步骤 9.1.1.4.1

重新排序 $e^{x^{2}} (2 x)$ 的因式。

$2 e^{x^{2}} x$

解题步骤 9.1.1.4.2

将 $2 e^{x^{2}} x$ 中的因式重新排序。

$2 x e^{x^{2}}$

解题步骤 9.1.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$f (x, y) = \int \frac{1}{2} d u_{2}$

解题步骤 9.2

应用常数不变法则。

$f (x, y) = \frac{1}{2} u_{2} + C$

解题步骤 9.3

使用 $e^{x^{2}}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C$

解题步骤 10

由于 $g (y)$ 的积分将包含一个积分常数，可以用 $g (y)$ 替换 $C$ 。

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + g (y)$

解题步骤 11

设置 $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ 。

$\frac{\partial f}{\partial y} = - y e^{- y}$

解题步骤 12

求 $\frac{\partial f}{\partial y}$ 。

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解题步骤 12.1

将 $f$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} e^{x^{2}} + g (y)] = - y e^{- y}$

解题步骤 12.2

根据加法法则， $\frac{1}{2} e^{x^{2}} + g (y)$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ 。

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - y e^{- y}$

解题步骤 12.3

因为 $\frac{1}{2} e^{x^{2}}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $\frac{1}{2} e^{x^{2}}$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = - y e^{- y}$

解题步骤 12.4

使用函数法则进行微分，即 $g (y)$ 的导数为 $\frac{d g}{d y}$ 。

$0 + \frac{d g}{d y} = - y e^{- y}$

解题步骤 12.5

将 $0$ 和 $\frac{d g}{d y}$ 相加。

$\frac{d g}{d y} = - y e^{- y}$

解题步骤 13

求 $- y e^{- y}$ 的不定积分，以求出 $g (y)$ 。

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解题步骤 13.1

对 $\frac{d g}{d y} = - y e^{- y}$ 的两边积分。

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - y e^{- y} d y$

解题步骤 13.2

计算 $\int \frac{d g}{d y} d y$ 。

$g (y) = \int - y e^{- y} d y$

解题步骤 13.3

由于 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$g (y) = - \int y e^{- y} d y$

解题步骤 13.4

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = y$ ， $d v = e^{- y}$ 。

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - \int - e^{- y} d y)$

解题步骤 13.5

由于 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - - \int e^{- y} d y)$

解题步骤 13.6

化简。

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解题步骤 13.6.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$g (y) = - (y (- e^{- y}) + 1 \int e^{- y} d y)$

解题步骤 13.6.2

将 $\int e^{- y} d y$ 乘以 $1$ 。

$g (y) = - (y (- e^{- y}) + \int e^{- y} d y)$

解题步骤 13.7

使 $u = - y$ 。然后使 $d u = - d y$ ，以便 $- d u = d y$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 13.7.1

设 $u = - y$ 。求 $\frac{d u}{d y}$ 。

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解题步骤 13.7.1.1

对 $- y$ 求导。

$\frac{d}{d y} [- y]$

解题步骤 13.7.1.2

因为 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- y$ 对 $y$ 的导数是 $- \frac{d}{d y} [y]$ 。

$- \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 13.7.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 1 \cdot 1$

解题步骤 13.7.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 13.7.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$g (y) = - (y (- e^{- y}) + \int - e^{u} d u)$

解题步骤 13.8

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - \int e^{u} d u)$

解题步骤 13.9

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - (e^{u} + C))$

解题步骤 13.10

将 $- (y (- e^{- y}) - (e^{u} + C))$ 重写为 $- (- y e^{- y} - e^{u}) + C$ 。

$g (y) = - (- y e^{- y} - e^{u}) + C$

解题步骤 13.11

使用 $- y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$g (y) = - (- y e^{- y} - e^{- y}) + C$

解题步骤 13.12

化简。

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解题步骤 13.12.1

运用分配律。

$g (y) = - (- y e^{- y}) - - e^{- y} + C$

解题步骤 13.12.2

乘以 $- (- y e^{- y})$ 。

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解题步骤 13.12.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$g (y) = 1 (y e^{- y}) - - e^{- y} + C$

解题步骤 13.12.2.2

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$g (y) = y e^{- y} - - e^{- y} + C$

解题步骤 13.12.3

乘以 $- - e^{- y}$ 。

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解题步骤 13.12.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$g (y) = y e^{- y} + 1 e^{- y} + C$

解题步骤 13.12.3.2

将 $e^{- y}$ 乘以 $1$ 。

$g (y) = y e^{- y} + e^{- y} + C$

解题步骤 14

在 $f (x, y) = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + g (y)$ 中代入 $g (y)$ 。

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + y e^{- y} + e^{- y} + C$

解题步骤 15

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $e^{x^{2}}$ 。

$f (x, y) = \frac{e^{x^{2}}}{2} + y e^{- y} + e^{- y} + C$

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