微积分学示例

$e^{5 y} d y = e^{5 x} d x$

解题步骤 1

对两边积分。

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解题步骤 1.1

在两边建立积分。

$\int e^{5 y} d y = \int e^{5 x} d x$

解题步骤 1.2

对左边积分。

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解题步骤 1.2.1

使 $u_{1} = 5 y$ 。然后使 $d u_{1} = 5 d y$ ，以便 $\frac{1}{5} d u_{1} = d y$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 1.2.1.1

设 $u_{1} = 5 y$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d y}$ 。

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解题步骤 1.2.1.1.1

对 $5 y$ 求导。

$\frac{d}{d y} [5 y]$

解题步骤 1.2.1.1.2

因为 $5$ 对于 $y$ 是常数，所以 $5 y$ 对 $y$ 的导数是 $5 \frac{d}{d y} [y]$ 。

$5 \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 1.2.1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$5 \cdot 1$

解题步骤 1.2.1.1.4

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$5$

解题步骤 1.2.1.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$\int e^{u_{1}} \frac{1}{5} d u_{1} = \int e^{5 x} d x$

解题步骤 1.2.2

组合 $e^{u_{1}}$ 和 $\frac{1}{5}$ 。

$\int \frac{e^{u_{1}}}{5} d u_{1} = \int e^{5 x} d x$

解题步骤 1.2.3

由于 $\frac{1}{5}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{5}$ 移到积分外。

$\frac{1}{5} \int e^{u_{1}} d u_{1} = \int e^{5 x} d x$

解题步骤 1.2.4

$e^{u_{1}}$ 对 $u_{1}$ 的积分为 $e^{u_{1}}$ 。

$\frac{1}{5} (e^{u_{1}} + C_{1}) = \int e^{5 x} d x$

解题步骤 1.2.5

化简。

$\frac{1}{5} e^{u_{1}} + C_{1} = \int e^{5 x} d x$

解题步骤 1.2.6

使用 $5 y$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = \int e^{5 x} d x$

解题步骤 1.3

对右边积分。

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解题步骤 1.3.1

使 $u_{2} = 5 x$ 。然后使 $d u_{2} = 5 d x$ ，以便 $\frac{1}{5} d u_{2} = d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 1.3.1.1

设 $u_{2} = 5 x$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 1.3.1.1.1

对 $5 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [5 x]$

解题步骤 1.3.1.1.2

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$5 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3.1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$5 \cdot 1$

解题步骤 1.3.1.1.4

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$5$

解题步骤 1.3.1.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = \int e^{u_{2}} \frac{1}{5} d u_{2}$

解题步骤 1.3.2

组合 $e^{u_{2}}$ 和 $\frac{1}{5}$ 。

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = \int \frac{e^{u_{2}}}{5} d u_{2}$

解题步骤 1.3.3

由于 $\frac{1}{5}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{5}$ 移到积分外。

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = \frac{1}{5} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 1.3.4

$e^{u_{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $e^{u_{2}}$ 。

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = \frac{1}{5} (e^{u_{2}} + C_{2})$

解题步骤 1.3.5

化简。

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = \frac{1}{5} e^{u_{2}} + C_{2}$

解题步骤 1.3.6

使用 $5 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = \frac{1}{5} e^{5 x} + C_{2}$

解题步骤 1.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$\frac{1}{5} e^{5 y} = \frac{1}{5} e^{5 x} + K$

解题步骤 2

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

等式两边同时乘以 $5$ 。

$5 (\frac{1}{5} e^{5 y}) = 5 (\frac{1}{5} e^{5 x} + K)$

解题步骤 2.2

化简方程的两边。

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解题步骤 2.2.1

化简左边。

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解题步骤 2.2.1.1

化简 $5 (\frac{1}{5} e^{5 y})$ 。

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解题步骤 2.2.1.1.1

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $e^{5 y}$ 。

$5 \frac{e^{5 y}}{5} = 5 (\frac{1}{5} e^{5 x} + K)$

解题步骤 2.2.1.1.2

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.1.2.1

约去公因数。

$5 \frac{e^{5 y}}{5} = 5 (\frac{1}{5} e^{5 x} + K)$

解题步骤 2.2.1.1.2.2

重写表达式。

$e^{5 y} = 5 (\frac{1}{5} e^{5 x} + K)$

解题步骤 2.2.2

化简右边。

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解题步骤 2.2.2.1

化简 $5 (\frac{1}{5} e^{5 x} + K)$ 。

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解题步骤 2.2.2.1.1

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $e^{5 x}$ 。

$e^{5 y} = 5 (\frac{e^{5 x}}{5} + K)$

解题步骤 2.2.2.1.2

运用分配律。

$e^{5 y} = 5 \frac{e^{5 x}}{5} + 5 K$

解题步骤 2.2.2.1.3

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.2.1.3.1

约去公因数。

$e^{5 y} = 5 \frac{e^{5 x}}{5} + 5 K$

解题步骤 2.2.2.1.3.2

重写表达式。

$e^{5 y} = e^{5 x} + 5 K$

解题步骤 2.3

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{5 y}) = \ln (e^{5 x} + 5 K)$

解题步骤 2.4

展开左边。

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解题步骤 2.4.1

通过将 $5 y$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{5 y})$ 。

$5 y \ln (e) = \ln (e^{5 x} + 5 K)$

解题步骤 2.4.2

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$5 y \cdot 1 = \ln (e^{5 x} + 5 K)$

解题步骤 2.4.3

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$5 y = \ln (e^{5 x} + 5 K)$

解题步骤 2.5

将 $5 y = \ln (e^{5 x} + 5 K)$ 中的每一项除以 $5$ 并化简。

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解题步骤 2.5.1

将 $5 y = \ln (e^{5 x} + 5 K)$ 中的每一项都除以 $5$ 。

$\frac{5 y}{5} = \frac{\ln (e^{5 x} + 5 K)}{5}$

解题步骤 2.5.2

化简左边。

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解题步骤 2.5.2.1

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.2.1.1

约去公因数。

$\frac{5 y}{5} = \frac{\ln (e^{5 x} + 5 K)}{5}$

解题步骤 2.5.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\ln (e^{5 x} + 5 K)}{5}$

解题步骤 3

化简积分常数。

$y = \frac{\ln (e^{5 x} + K)}{5}$

微积分学 示例

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