微积分学示例

$\frac{d y}{d x} + (\sin (x)) y = e^{\cos (x)}$

解题步骤 1

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = \sin (x)$ 。

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解题步骤 1.1

建立积分。

$e^{\int \sin (x) d x}$

解题步骤 1.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的积分为 $- \cos (x)$ 。

$e^{- \cos (x) + C}$

解题步骤 1.3

去掉积分常数。

$e^{- \cos (x)}$

解题步骤 2

每一项乘以积分因数 $e^{- \cos (x)}$ 。

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解题步骤 2.1

每一项乘以 $e^{- \cos (x)}$ 。

$e^{- \cos (x)} \frac{d y}{d x} + e^{- \cos (x)} ((\sin (x)) y) = e^{- \cos (x)} e^{\cos (x)}$

解题步骤 2.2

去掉圆括号。

$e^{- \cos (x)} \frac{d y}{d x} + e^{- \cos (x)} \sin (x) y = e^{- \cos (x)} e^{\cos (x)}$

解题步骤 2.3

通过指数相加将 $e^{- \cos (x)}$ 乘以 $e^{\cos (x)}$ 。

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解题步骤 2.3.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$e^{- \cos (x)} \frac{d y}{d x} + e^{- \cos (x)} \sin (x) y = e^{- \cos (x) + \cos (x)}$

解题步骤 2.3.2

将 $- \cos (x)$ 和 $\cos (x)$ 相加。

$e^{- \cos (x)} \frac{d y}{d x} + e^{- \cos (x)} \sin (x) y = e^{0}$

解题步骤 2.4

化简 $e^{0}$ 。

$e^{- \cos (x)} \frac{d y}{d x} + e^{- \cos (x)} \sin (x) y = 1$

解题步骤 2.5

将 $e^{- \cos (x)} \frac{d y}{d x} + e^{- \cos (x)} \sin (x) y = 1$ 中的因式重新排序。

$e^{- \cos (x)} \frac{d y}{d x} + y e^{- \cos (x)} \sin (x) = 1$

解题步骤 3

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [e^{- \cos (x)} y] = 1$

解题步骤 4

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [e^{- \cos (x)} y] d x = \int d x$

解题步骤 5

对左边积分。

$e^{- \cos (x)} y = \int d x$

解题步骤 6

应用常数不变法则。

$e^{- \cos (x)} y = x + C$

解题步骤 7

将 $e^{- \cos (x)} y = x + C$ 中的每一项除以 $e^{- \cos (x)}$ 并化简。

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解题步骤 7.1

将 $e^{- \cos (x)} y = x + C$ 中的每一项都除以 $e^{- \cos (x)}$ 。

$\frac{e^{- \cos (x)} y}{e^{- \cos (x)}} = \frac{x}{e^{- \cos (x)}} + \frac{C}{e^{- \cos (x)}}$

解题步骤 7.2

化简左边。

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解题步骤 7.2.1

约去 $e^{- \cos (x)}$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1.1

约去公因数。

$\frac{e^{- \cos (x)} y}{e^{- \cos (x)}} = \frac{x}{e^{- \cos (x)}} + \frac{C}{e^{- \cos (x)}}$

解题步骤 7.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{x}{e^{- \cos (x)}} + \frac{C}{e^{- \cos (x)}}$

微积分学 示例

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