微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{x y^{2}}$

解题步骤 1

分离变量。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

重新组合因数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{x} \cdot \frac{1}{y^{2}}$

解题步骤 1.2

两边同时乘以 $y^{2}$ 。

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} (\frac{x^{2} + 1}{x} \cdot \frac{1}{y^{2}})$

解题步骤 1.3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.1

将 $\frac{x^{2} + 1}{x}$ 乘以 $\frac{1}{y^{2}}$ 。

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x^{2} + 1}{x y^{2}}$

解题步骤 1.3.2

约去 $y^{2}$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.2.1

从 $x y^{2}$ 中分解出因数 $y^{2}$ 。

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x^{2} + 1}{y^{2} x}$

解题步骤 1.3.2.2

约去公因数。

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x^{2} + 1}{y^{2} x}$

解题步骤 1.3.2.3

重写表达式。

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{x}$

解题步骤 1.4

重写该方程。

$y^{2} d y = \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int y^{2} d y = \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

解题步骤 2.2

根据幂法则， $y^{2}$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{3} y^{3}$ 。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

将分数分解成多个分数。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{x^{2}}{x} + \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.3.2

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{x^{2}}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.3.3

约去 $x^{2}$ 和 $x$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.3.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{x \cdot x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.3.3.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.3.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{x \cdot x}{x^{1}} d x + \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.3.3.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x + \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.3.3.2.3

约去公因数。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x + \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.3.3.2.4

重写表达式。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{x}{1} d x + \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.3.3.2.5

用 $x$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int x d x + \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.3.4

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.3.5

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \ln (| x |) + C_{3}$

解题步骤 2.3.6

化简。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\frac{1}{3} y^{3} = \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

等式两边同时乘以 $3$ 。

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$

解题步骤 3.2

化简方程的两边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1.1

化简 $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1.1.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $y^{3}$ 。

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$

解题步骤 3.2.1.1.2

约去 $3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1.1.2.1

约去公因数。

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$

解题步骤 3.2.1.1.2.2

重写表达式。

$y^{3} = 3 (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$

解题步骤 3.2.2

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.2.1

化简 $3 (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.2.1.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$y^{3} = 3 (\frac{x^{2}}{2} + \ln (| x |) + C)$

解题步骤 3.2.2.1.2

运用分配律。

$y^{3} = 3 \frac{x^{2}}{2} + 3 \ln (| x |) + 3 C$

解题步骤 3.2.2.1.3

组合 $3$ 和 $\frac{x^{2}}{2}$ 。

$y^{3} = \frac{3 x^{2}}{2} + 3 \ln (| x |) + 3 C$

解题步骤 3.3

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $3 \ln (| x |)$ 。

$y^{3} = \frac{3 x^{2}}{2} + \ln ({| x |}^{3}) + 3 C$

解题步骤 3.4

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \sqrt[3]{\frac{3 x^{2}}{2} + \ln ({| x |}^{3}) + 3 C}$

解题步骤 3.5

化简 $\sqrt[3]{\frac{3 x^{2}}{2} + \ln ({| x |}^{3}) + 3 C}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.5.1

要将 $\ln ({| x |}^{3})$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y = \sqrt[3]{\frac{3 x^{2}}{2} + \ln ({| x |}^{3}) \cdot \frac{2}{2} + 3 C}$

解题步骤 3.5.2

化简项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.5.2.1

组合 $\ln ({| x |}^{3})$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$y = \sqrt[3]{\frac{3 x^{2}}{2} + \frac{\ln ({| x |}^{3}) \cdot 2}{2} + 3 C}$

解题步骤 3.5.2.2

在公分母上合并分子。

$y = \sqrt[3]{\frac{3 x^{2} + \ln ({| x |}^{3}) \cdot 2}{2} + 3 C}$

解题步骤 3.5.3

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.5.3.1

乘以 $\ln ({| x |}^{3}) \cdot 2$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.5.3.1.1

将 $\ln ({| x |}^{3})$ 和 $2$ 重新排序。

$y = \sqrt[3]{\frac{3 x^{2} + 2 \cdot \ln ({| x |}^{3})}{2} + 3 C}$

解题步骤 3.5.3.1.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $2 \cdot \ln ({| x |}^{3})$ 。

$y = \sqrt[3]{\frac{3 x^{2} + \ln ({({| x |}^{3})}^{2})}{2} + 3 C}$

解题步骤 3.5.3.2

将 ${({| x |}^{3})}^{2}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.5.3.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y = \sqrt[3]{\frac{3 x^{2} + \ln ({| x |}^{3 \cdot 2})}{2} + 3 C}$

解题步骤 3.5.3.2.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$y = \sqrt[3]{\frac{3 x^{2} + \ln ({| x |}^{6})}{2} + 3 C}$

解题步骤 3.5.3.3

去掉 ${| x |}^{6}$ 的绝对值符号，因为偶次幂的求幂结果恒为正。

$y = \sqrt[3]{\frac{3 x^{2} + \ln (x^{6})}{2} + 3 C}$

解题步骤 3.5.4

要将 $3 C$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y = \sqrt[3]{\frac{3 x^{2} + \ln (x^{6})}{2} + 3 C \cdot \frac{2}{2}}$

解题步骤 3.5.5

组合 $3 C$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$y = \sqrt[3]{\frac{3 x^{2} + \ln (x^{6})}{2} + \frac{3 C \cdot 2}{2}}$

解题步骤 3.5.6

在公分母上合并分子。

$y = \sqrt[3]{\frac{3 x^{2} + \ln (x^{6}) + 3 C \cdot 2}{2}}$

解题步骤 3.5.7

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$y = \sqrt[3]{\frac{3 x^{2} + \ln (x^{6}) + 6 C}{2}}$

解题步骤 3.5.8

将 $\sqrt[3]{\frac{3 x^{2} + \ln (x^{6}) + 6 C}{2}}$ 重写为 $\frac{\sqrt[3]{3 x^{2} + \ln (x^{6}) + 6 C}}{\sqrt[3]{2}}$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} + \ln (x^{6}) + 6 C}}{\sqrt[3]{2}}$

解题步骤 3.5.9

将 $\frac{\sqrt[3]{3 x^{2} + \ln (x^{6}) + 6 C}}{\sqrt[3]{2}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} + \ln (x^{6}) + 6 C}}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$

解题步骤 3.5.10

合并和化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.5.10.1

将 $\frac{\sqrt[3]{3 x^{2} + \ln (x^{6}) + 6 C}}{\sqrt[3]{2}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} + \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

解题步骤 3.5.10.2

对 $\sqrt[3]{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} + \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

解题步骤 3.5.10.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} + \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}}$

解题步骤 3.5.10.4

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} + \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}}$

解题步骤 3.5.10.5

将 ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ 重写为 $2$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.5.10.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{3}}$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} + \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

解题步骤 3.5.10.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} + \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

解题步骤 3.5.10.5.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $3$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} + \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

解题步骤 3.5.10.5.4

约去 $3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.5.10.5.4.1

约去公因数。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} + \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

解题步骤 3.5.10.5.4.2

重写表达式。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} + \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{1}}$

解题步骤 3.5.10.5.5

计算指数。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} + \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2}$

解题步骤 3.5.11

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.5.11.1

将 ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ 重写为 $\sqrt[3]{2^{2}}$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} + \ln (x^{6}) + 6 C} \sqrt[3]{2^{2}}}{2}$

解题步骤 3.5.11.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} + \ln (x^{6}) + 6 C} \sqrt[3]{4}}{2}$

解题步骤 3.5.12

通过提取公因式进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.5.12.1

使用根数乘积法则进行合并。

$y = \frac{\sqrt[3]{(3 x^{2} + \ln (x^{6}) + 6 C) \cdot 4}}{2}$

解题步骤 3.5.12.2

将 $\frac{\sqrt[3]{(3 x^{2} + \ln (x^{6}) + 6 C) \cdot 4}}{2}$ 中的因式重新排序。

$y = \frac{\sqrt[3]{4 (3 x^{2} + \ln (x^{6}) + 6 C)}}{2}$

解题步骤 4

化简积分常数。

$y = \frac{\sqrt[3]{4 (3 x^{2} + \ln (x^{6}) + C)}}{2}$

微积分学 示例

微积分学示例