微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = - 9 x^{8} e^{- x^{9}}$ , $y (0) = 2$

解题步骤 1

重写该方程。

$d y = - 9 x^{8} e^{- x^{9}} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int - 9 x^{8} e^{- x^{9}} d x$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \int - 9 x^{8} e^{- x^{9}} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $- 9$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 9$ 移到积分外。

$y + C_{1} = - 9 \int x^{8} e^{- x^{9}} d x$

解题步骤 2.3.2

使 $u_{2} = e^{- x^{9}}$ 。然后使 $d u_{2} = - 9 x^{8} e^{- x^{9}} d x$ ，以便 $- \frac{1}{9} d u_{2} = x^{8} e^{- x^{9}} d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.2.1

设 $u_{2} = e^{- x^{9}}$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 2.3.2.1.1

对 $e^{- x^{9}}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{9}}]$

解题步骤 2.3.2.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - x^{9}$ 。

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解题步骤 2.3.2.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $- x^{9}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{9}]$

解题步骤 2.3.2.1.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{9}]$

解题步骤 2.3.2.1.2.3

使用 $- x^{9}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$e^{- x^{9}} \frac{d}{d x} [- x^{9}]$

解题步骤 2.3.2.1.3

求微分。

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解题步骤 2.3.2.1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{9}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{9}]$ 。

$e^{- x^{9}} (- \frac{d}{d x} [x^{9}])$

解题步骤 2.3.2.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 9$ 。

$e^{- x^{9}} (- (9 x^{8}))$

解题步骤 2.3.2.1.3.3

将 $9$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{- x^{9}} (- 9 x^{8})$

解题步骤 2.3.2.1.4

化简。

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解题步骤 2.3.2.1.4.1

重新排序 $e^{- x^{9}} (- 9 x^{8})$ 的因式。

$- 9 e^{- x^{9}} x^{8}$

解题步骤 2.3.2.1.4.2

将 $- 9 e^{- x^{9}} x^{8}$ 中的因式重新排序。

$- 9 x^{8} e^{- x^{9}}$

解题步骤 2.3.2.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$y + C_{1} = - 9 \int \frac{1}{- 9} d u_{2}$

解题步骤 2.3.3

将负号移到分数的前面。

$y + C_{1} = - 9 \int - \frac{1}{9} d u_{2}$

解题步骤 2.3.4

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = - 9 (- \frac{1}{9} u_{2} + C_{2})$

解题步骤 2.3.5

化简答案。

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解题步骤 2.3.5.1

化简。

$y + C_{1} = - 9 (- \frac{1}{9} u_{2}) + C_{2}$

解题步骤 2.3.5.2

化简。

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解题步骤 2.3.5.2.1

组合 $u_{2}$ 和 $\frac{1}{9}$ 。

$y + C_{1} = - 9 (- \frac{u_{2}}{9}) + C_{2}$

解题步骤 2.3.5.2.2

将 $- 1$ 乘以 $- 9$ 。

$y + C_{1} = 9 \frac{u_{2}}{9} + C_{2}$

解题步骤 2.3.5.2.3

组合 $9$ 和 $\frac{u_{2}}{9}$ 。

$y + C_{1} = \frac{9 u_{2}}{9} + C_{2}$

解题步骤 2.3.5.2.4

约去 $9$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.5.2.4.1

约去公因数。

$y + C_{1} = \frac{9 u_{2}}{9} + C_{2}$

解题步骤 2.3.5.2.4.2

用 $u_{2}$ 除以 $1$ 。

$y + C_{1} = u_{2} + C_{2}$

解题步骤 2.3.5.3

使用 $e^{- x^{9}}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$y + C_{1} = e^{- x^{9}} + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$y = e^{- x^{9}} + K$

解题步骤 3

使用初始条件，通过将 $0$ 代入 $x$ ，将 $2$ 代入 $y$ ，在 $y = e^{- x^{9}} + K$ 中求 $K$ 的值。

$2 = e^{- 0^{9}} + K$

解题步骤 4

求解 $K$ 。

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解题步骤 4.1

将方程重写为 $e^{- 0^{9}} + K = 2$ 。

$e^{- 0^{9}} + K = 2$

解题步骤 4.2

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$e^{- 0} + K = 2$

解题步骤 4.2.2

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$e^{0} + K = 2$

解题步骤 4.2.3

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$1 + K = 2$

解题步骤 4.3

将所有不包含 $K$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 4.3.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$K = 2 - 1$

解题步骤 4.3.2

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$K = 1$

解题步骤 5

代入 $1$ 替换 $y = e^{- x^{9}} + K$ 中的 $K$ 并化简。

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解题步骤 5.1

代入 $1$ 替换 $K$ 。

$y = e^{- x^{9}} + 1$

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