微积分学示例

$(1 + x^{3}) d y - x^{2} (y d) x = 0$

解题步骤 1

在等式两边都加上 $x^{2} y d x$ 。

$(1 + x^{3}) d y = x^{2} y d x$

解题步骤 2

两边同时乘以 $\frac{1}{(1 + x^{3}) y}$ 。

$\frac{1}{(1 + x^{3}) y} (1 + x^{3}) d y = \frac{1}{(1 + x^{3}) y} (x^{2} y) d x$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

约去 $1 + x^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.1

从 $(1 + x^{3}) y$ 中分解出因数 $1 + x^{3}$ 。

$\frac{1}{(1 + x^{3}) (y)} (1 + x^{3}) d y = \frac{1}{(1 + x^{3}) y} (x^{2} y) d x$

解题步骤 3.1.2

约去公因数。

$\frac{1}{(1 + x^{3}) y} (1 + x^{3}) d y = \frac{1}{(1 + x^{3}) y} (x^{2} y) d x$

解题步骤 3.1.3

重写表达式。

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(1 + x^{3}) y} (x^{2} y) d x$

解题步骤 3.2

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1

从 $(1 + x^{3}) y$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y (1 + x^{3})} (x^{2} y) d x$

解题步骤 3.2.2

从 $x^{2} y$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y (1 + x^{3})} (y x^{2}) d x$

解题步骤 3.2.3

约去公因数。

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y (1 + x^{3})} (y x^{2}) d x$

解题步骤 3.2.4

重写表达式。

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{1 + x^{3}} x^{2} d x$

解题步骤 3.3

组合 $\frac{1}{1 + x^{3}}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{1}{y} d y = \frac{x^{2}}{1 + x^{3}} d x$

解题步骤 3.4

化简分母。

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解题步骤 3.4.1

将 $1$ 重写为 $1^{3}$ 。

$\frac{1}{y} d y = \frac{x^{2}}{1^{3} + x^{3}} d x$

解题步骤 3.4.2

因为两项都是完全立方数，所以使用立方和公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = x$ 。

$\frac{1}{y} d y = \frac{x^{2}}{(1 + x) (1^{2} - 1 x + x^{2})} d x$

解题步骤 3.4.3

化简。

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解题步骤 3.4.3.1

一的任意次幂都为一。

$\frac{1}{y} d y = \frac{x^{2}}{(1 + x) (1 - 1 x + x^{2})} d x$

解题步骤 3.4.3.2

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$\frac{1}{y} d y = \frac{x^{2}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} d x$

解题步骤 4

对两边积分。

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解题步骤 4.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{x^{2}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} d x$

解题步骤 4.2

$\frac{1}{y}$ 对 $y$ 的积分为 $\ln (| y |)$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x^{2}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} d x$

解题步骤 4.3

对右边积分。

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解题步骤 4.3.1

使 $u = (1 + x) (1 - x + x^{2})$ 。然后使 $d u = 3 x^{2} d x$ ，以便 $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 4.3.1.1

设 $u = (1 + x) (1 - x + x^{2})$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 4.3.1.1.1

对 $(1 + x) (1 - x + x^{2})$ 求导。

$\frac{d}{d x} [(1 + x) (1 - x + x^{2})]$

解题步骤 4.3.1.1.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = 1 + x$ 且 $g (x) = 1 - x + x^{2}$ 。

$(1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x + x^{2}] + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

解题步骤 4.3.1.1.3

求微分。

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解题步骤 4.3.1.1.3.1

根据加法法则， $1 - x + x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$(1 + x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

解题步骤 4.3.1.1.3.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(1 + x) (0 + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

解题步骤 4.3.1.1.3.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x]$ 相加。

$(1 + x) (\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

解题步骤 4.3.1.1.3.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$(1 + x) (- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

解题步骤 4.3.1.1.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(1 + x) (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

解题步骤 4.3.1.1.3.6

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$(1 + x) (- 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

解题步骤 4.3.1.1.3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

解题步骤 4.3.1.1.3.8

根据加法法则， $1 + x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ 。

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + (1 - x + x^{2}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.3.1.1.3.9

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + (1 - x + x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.3.1.1.3.10

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [x]$ 相加。

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.3.1.1.3.11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + (1 - x + x^{2}) \cdot 1$

解题步骤 4.3.1.1.3.12

将 $1 - x + x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + 1 - x + x^{2}$

解题步骤 4.3.1.1.4

化简。

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解题步骤 4.3.1.1.4.1

运用分配律。

$(1 + x) \cdot - 1 + (1 + x) (2 x) + 1 - x + x^{2}$

解题步骤 4.3.1.1.4.2

运用分配律。

$1 \cdot - 1 + x \cdot - 1 + (1 + x) (2 x) + 1 - x + x^{2}$

解题步骤 4.3.1.1.4.3

运用分配律。

$1 \cdot - 1 + x \cdot - 1 + 1 (2 x) + x (2 x) + 1 - x + x^{2}$

解题步骤 4.3.1.1.4.4

合并项。

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解题步骤 4.3.1.1.4.4.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1 + x \cdot - 1 + 1 (2 x) + x (2 x) + 1 - x + x^{2}$

解题步骤 4.3.1.1.4.4.2

将 $- 1$ 移到 $x$ 的左侧。

$- 1 - 1 \cdot x + 1 (2 x) + x (2 x) + 1 - x + x^{2}$

解题步骤 4.3.1.1.4.4.3

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$- 1 - x + 1 (2 x) + x (2 x) + 1 - x + x^{2}$

解题步骤 4.3.1.1.4.4.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$- 1 - x + 2 x + x (2 x) + 1 - x + x^{2}$

解题步骤 4.3.1.1.4.4.5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 1 - x + 2 x + 2 (x^{1} x) + 1 - x + x^{2}$

解题步骤 4.3.1.1.4.4.6

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 1 - x + 2 x + 2 (x^{1} x^{1}) + 1 - x + x^{2}$

解题步骤 4.3.1.1.4.4.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 1 - x + 2 x + 2 x^{1 + 1} + 1 - x + x^{2}$

解题步骤 4.3.1.1.4.4.8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- 1 - x + 2 x + 2 x^{2} + 1 - x + x^{2}$

解题步骤 4.3.1.1.4.4.9

将 $- x$ 和 $2 x$ 相加。

$- 1 + x + 2 x^{2} + 1 - x + x^{2}$

解题步骤 4.3.1.1.4.4.10

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$x + 2 x^{2} + 0 - x + x^{2}$

解题步骤 4.3.1.1.4.4.11

将 $x + 2 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$x + 2 x^{2} - x + x^{2}$

解题步骤 4.3.1.1.4.4.12

从 $x$ 中减去 $x$ 。

$2 x^{2} + 0 + x^{2}$

解题步骤 4.3.1.1.4.4.13

将 $2 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$2 x^{2} + x^{2}$

解题步骤 4.3.1.1.4.4.14

将 $2 x^{2}$ 和 $x^{2}$ 相加。

$3 x^{2}$

解题步骤 4.3.1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u$

解题步骤 4.3.2

化简。

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解题步骤 4.3.2.1

将 $\frac{1}{u}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u \cdot 3} d u$

解题步骤 4.3.2.2

将 $3$ 移到 $u$ 的左侧。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{3 u} d u$

解题步骤 4.3.3

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 4.3.4

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{2})$

解题步骤 4.3.5

化简。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} \ln (| u |) + C_{2}$

解题步骤 4.3.6

使用 $(1 + x) (1 - x + x^{2})$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} \ln (| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |) + C_{2}$

解题步骤 4.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\ln (| y |) = \frac{1}{3} \ln (| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |) + C$

解题步骤 5

求解 $y$ 。

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解题步骤 5.1

化简右边。

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解题步骤 5.1.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $\ln (| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |)$ 。

$\ln (| y |) = \frac{\ln (| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |)}{3} + C$

解题步骤 5.2

将所有包含对数的项移到等式左边。

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |)}{3} = C$

解题步骤 5.3

化简分子。

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解题步骤 5.3.1

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(1 + x) (1 - x + x^{2})$ 。

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- x) + 1 x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} |)}{3} = C$

解题步骤 5.3.2

化简每一项。

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解题步骤 5.3.2.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| 1 + 1 (- x) + 1 x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} |)}{3} = C$

解题步骤 5.3.2.2

将 $- x$ 乘以 $1$ 。

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| 1 - x + 1 x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} |)}{3} = C$

解题步骤 5.3.2.3

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| 1 - x + x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} |)}{3} = C$

解题步骤 5.3.2.4

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| 1 - x + x^{2} + x + x (- x) + x \cdot x^{2} |)}{3} = C$

解题步骤 5.3.2.5

使用乘法的交换性质重写。

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| 1 - x + x^{2} + x - x \cdot x + x \cdot x^{2} |)}{3} = C$

解题步骤 5.3.2.6

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.3.2.6.1

移动 $x$ 。

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| 1 - x + x^{2} + x - (x \cdot x) + x \cdot x^{2} |)}{3} = C$

解题步骤 5.3.2.6.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| 1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x \cdot x^{2} |)}{3} = C$

解题步骤 5.3.2.7

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 5.3.2.7.1

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 5.3.2.7.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| 1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x \cdot x^{2} |)}{3} = C$

解题步骤 5.3.2.7.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| 1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{1 + 2} |)}{3} = C$

解题步骤 5.3.2.7.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| 1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{3} |)}{3} = C$

解题步骤 5.3.3

合并 $1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{3}$ 中相反的项。

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解题步骤 5.3.3.1

将 $- x$ 和 $x$ 相加。

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| 1 + x^{2} + 0 - x^{2} + x^{3} |)}{3} = C$

解题步骤 5.3.3.2

将 $1 + x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| 1 + x^{2} - x^{2} + x^{3} |)}{3} = C$

解题步骤 5.3.3.3

从 $x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| 1 + 0 + x^{3} |)}{3} = C$

解题步骤 5.3.3.4

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| 1 + x^{3} |)}{3} = C$

解题步骤 5.4

要将 $\ln (| y |)$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\ln (| y |) \cdot \frac{3}{3} - \frac{\ln (| 1 + x^{3} |)}{3} = C$

解题步骤 5.5

化简项。

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解题步骤 5.5.1

组合 $\ln (| y |)$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{\ln (| y |) \cdot 3}{3} - \frac{\ln (| 1 + x^{3} |)}{3} = C$

解题步骤 5.5.2

在公分母上合并分子。

$\frac{\ln (| y |) \cdot 3 - \ln (| 1 + x^{3} |)}{3} = C$

解题步骤 5.6

将 $3$ 移到 $\ln (| y |)$ 的左侧。

$\frac{3 \ln (| y |) - \ln (| 1 + x^{3} |)}{3} = C$

解题步骤 5.7

化简左边。

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解题步骤 5.7.1

化简 $\frac{3 \ln (| y |) - \ln (| 1 + x^{3} |)}{3}$ 。

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解题步骤 5.7.1.1

化简分子。

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解题步骤 5.7.1.1.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $3 \ln (| y |)$ 。

$\frac{\ln ({| y |}^{3}) - \ln (| 1 + x^{3} |)}{3} = C$

解题步骤 5.7.1.1.2

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| 1 + x^{3} |})}{3} = C$

解题步骤 5.7.1.1.3

化简分母。

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解题步骤 5.7.1.1.3.1

将 $1$ 重写为 $1^{3}$ 。

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| 1^{3} + x^{3} |})}{3} = C$

解题步骤 5.7.1.1.3.2

因为两项都是完全立方数，所以使用立方和公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = x$ 。

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| (1 + x) (1^{2} - 1 x + x^{2}) |})}{3} = C$

解题步骤 5.7.1.1.3.3

化简。

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解题步骤 5.7.1.1.3.3.1

一的任意次幂都为一。

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| (1 + x) (1 - 1 x + x^{2}) |})}{3} = C$

解题步骤 5.7.1.1.3.3.2

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |})}{3} = C$

解题步骤 5.7.1.1.3.4

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(1 + x) (1 - x + x^{2})$ 。

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| 1 \cdot 1 + 1 (- x) + 1 x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} |})}{3} = C$

解题步骤 5.7.1.1.3.5

化简每一项。

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解题步骤 5.7.1.1.3.5.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| 1 + 1 (- x) + 1 x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} |})}{3} = C$

解题步骤 5.7.1.1.3.5.2

将 $- x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| 1 - x + 1 x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} |})}{3} = C$

解题步骤 5.7.1.1.3.5.3

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| 1 - x + x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} |})}{3} = C$

解题步骤 5.7.1.1.3.5.4

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| 1 - x + x^{2} + x + x (- x) + x \cdot x^{2} |})}{3} = C$

解题步骤 5.7.1.1.3.5.5

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| 1 - x + x^{2} + x - x \cdot x + x \cdot x^{2} |})}{3} = C$

解题步骤 5.7.1.1.3.5.6

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.7.1.1.3.5.6.1

移动 $x$ 。

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| 1 - x + x^{2} + x - (x \cdot x) + x \cdot x^{2} |})}{3} = C$

解题步骤 5.7.1.1.3.5.6.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| 1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x \cdot x^{2} |})}{3} = C$

解题步骤 5.7.1.1.3.5.7

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 5.7.1.1.3.5.7.1

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 5.7.1.1.3.5.7.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| 1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{1} x^{2} |})}{3} = C$

解题步骤 5.7.1.1.3.5.7.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| 1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{1 + 2} |})}{3} = C$

解题步骤 5.7.1.1.3.5.7.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| 1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{3} |})}{3} = C$

解题步骤 5.7.1.1.3.6

合并 $1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{3}$ 中相反的项。

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解题步骤 5.7.1.1.3.6.1

将 $- x$ 和 $x$ 相加。

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| 1 + x^{2} + 0 - x^{2} + x^{3} |})}{3} = C$

解题步骤 5.7.1.1.3.6.2

将 $1 + x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| 1 + x^{2} - x^{2} + x^{3} |})}{3} = C$

解题步骤 5.7.1.1.3.6.3

从 $x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| 1 + 0 + x^{3} |})}{3} = C$

解题步骤 5.7.1.1.3.6.4

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| 1 + x^{3} |})}{3} = C$

解题步骤 5.7.1.1.3.7

将 $1$ 重写为 $1^{3}$ 。

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| 1^{3} + x^{3} |})}{3} = C$

解题步骤 5.7.1.1.3.8

因为两项都是完全立方数，所以使用立方和公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = x$ 。

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| (1 + x) (1^{2} - 1 x + x^{2}) |})}{3} = C$

解题步骤 5.7.1.1.3.9

化简。

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解题步骤 5.7.1.1.3.9.1

一的任意次幂都为一。

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| (1 + x) (1 - 1 x + x^{2}) |})}{3} = C$

解题步骤 5.7.1.1.3.9.2

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |})}{3} = C$

解题步骤 5.7.1.2

将 $\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |})}{3}$ 重写为 $\frac{1}{3} \ln (\frac{{| y |}^{3}}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |})$ 。

$\frac{1}{3} \ln (\frac{{| y |}^{3}}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |}) = C$

解题步骤 5.7.1.3

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $\frac{1}{3} \ln (\frac{{| y |}^{3}}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |})$ 。

$\ln ({(\frac{{| y |}^{3}}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |})}^{\frac{1}{3}}) = C$

解题步骤 5.7.1.4

对 $\frac{{| y |}^{3}}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |}$ 运用乘积法则。

$\ln (\frac{{({| y |}^{3})}^{\frac{1}{3}}}{{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |}^{\frac{1}{3}}}) = C$

解题步骤 5.7.1.5

化简分子。

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解题步骤 5.7.1.5.1

将 ${({| y |}^{3})}^{\frac{1}{3}}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.7.1.5.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\ln (\frac{{| y |}^{3 (\frac{1}{3})}}{{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |}^{\frac{1}{3}}}) = C$

解题步骤 5.7.1.5.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.7.1.5.1.2.1

约去公因数。

$\ln (\frac{{| y |}^{3 (\frac{1}{3})}}{{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |}^{\frac{1}{3}}}) = C$

解题步骤 5.7.1.5.1.2.2

重写表达式。

$\ln (\frac{{| y |}^{1}}{{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |}^{\frac{1}{3}}}) = C$

解题步骤 5.7.1.5.2

化简。

$\ln (\frac{| y |}{{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |}^{\frac{1}{3}}}) = C$

解题步骤 5.7.1.6

化简分母。

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解题步骤 5.7.1.6.1

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(1 + x) (1 - x + x^{2})$ 。

$\ln (\frac{| y |}{{| 1 \cdot 1 + 1 (- x) + 1 x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}) = C$

解题步骤 5.7.1.6.2

化简每一项。

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解题步骤 5.7.1.6.2.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\ln (\frac{| y |}{{| 1 + 1 (- x) + 1 x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}) = C$

解题步骤 5.7.1.6.2.2

将 $- x$ 乘以 $1$ 。

$\ln (\frac{| y |}{{| 1 - x + 1 x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}) = C$

解题步骤 5.7.1.6.2.3

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\ln (\frac{| y |}{{| 1 - x + x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}) = C$

解题步骤 5.7.1.6.2.4

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\ln (\frac{| y |}{{| 1 - x + x^{2} + x + x (- x) + x \cdot x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}) = C$

解题步骤 5.7.1.6.2.5

使用乘法的交换性质重写。

$\ln (\frac{| y |}{{| 1 - x + x^{2} + x - x \cdot x + x \cdot x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}) = C$

解题步骤 5.7.1.6.2.6

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.7.1.6.2.6.1

移动 $x$ 。

$\ln (\frac{| y |}{{| 1 - x + x^{2} + x - (x \cdot x) + x \cdot x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}) = C$

解题步骤 5.7.1.6.2.6.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\ln (\frac{| y |}{{| 1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x \cdot x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}) = C$

解题步骤 5.7.1.6.2.7

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 5.7.1.6.2.7.1

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 5.7.1.6.2.7.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\ln (\frac{| y |}{{| 1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{1} x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}) = C$

解题步骤 5.7.1.6.2.7.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\ln (\frac{| y |}{{| 1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{1 + 2} |}^{\frac{1}{3}}}) = C$

解题步骤 5.7.1.6.2.7.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\ln (\frac{| y |}{{| 1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{3} |}^{\frac{1}{3}}}) = C$

解题步骤 5.7.1.6.3

合并 $1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{3}$ 中相反的项。

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解题步骤 5.7.1.6.3.1

将 $- x$ 和 $x$ 相加。

$\ln (\frac{| y |}{{| 1 + x^{2} + 0 - x^{2} + x^{3} |}^{\frac{1}{3}}}) = C$

解题步骤 5.7.1.6.3.2

将 $1 + x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\ln (\frac{| y |}{{| 1 + x^{2} - x^{2} + x^{3} |}^{\frac{1}{3}}}) = C$

解题步骤 5.7.1.6.3.3

从 $x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$\ln (\frac{| y |}{{| 1 + 0 + x^{3} |}^{\frac{1}{3}}}) = C$

解题步骤 5.7.1.6.3.4

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\ln (\frac{| y |}{{| 1 + x^{3} |}^{\frac{1}{3}}}) = C$

解题步骤 5.8

要求解 $y$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (\frac{| y |}{{| 1 + x^{3} |}^{\frac{1}{3}}})} = e^{C}$

解题步骤 5.9

使用对数的定义将 $\ln (\frac{| y |}{{| 1 + x^{3} |}^{\frac{1}{3}}}) = C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{C} = \frac{| y |}{{| 1 + x^{3} |}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 5.10

求解 $y$ 。

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解题步骤 5.10.1

将方程重写为 $\frac{| y |}{{| 1 + x^{3} |}^{\frac{1}{3}}} = e^{C}$ 。

$\frac{| y |}{{| 1 + x^{3} |}^{\frac{1}{3}}} = e^{C}$

解题步骤 5.10.2

两边同时乘以 ${| 1 + x^{3} |}^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{| y |}{{| 1 + x^{3} |}^{\frac{1}{3}}} {| 1 + x^{3} |}^{\frac{1}{3}} = e^{C} {| 1 + x^{3} |}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 5.10.3

化简左边。

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解题步骤 5.10.3.1

约去 ${| 1 + x^{3} |}^{\frac{1}{3}}$ 的公因数。

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解题步骤 5.10.3.1.1

约去公因数。

$\frac{| y |}{{| 1 + x^{3} |}^{\frac{1}{3}}} {| 1 + x^{3} |}^{\frac{1}{3}} = e^{C} {| 1 + x^{3} |}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 5.10.3.1.2

重写表达式。

$| y | = e^{C} {| 1 + x^{3} |}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 5.10.4

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$y = \pm e^{C} {| 1 + x^{3} |}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 6

将常数项组合在一起。

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解题步骤 6.1

化简积分常数。

$y = \pm C {| 1 + x^{3} |}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 6.2

用加号或减号合并常数。

$y = C {| 1 + x^{3} |}^{\frac{1}{3}}$

微积分学 示例

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