微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \csc (x)$ , $y (4) = - 5$

解题步骤 1

重写该方程。

$d y = \csc (x) d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int \csc (x) d x$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \int \csc (x) d x$

解题步骤 2.3

$\csc (x)$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)$ 。

$y + C_{1} = \ln (| \csc (x) - \cot (x) |) + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$y = \ln (| \csc (x) - \cot (x) |) + C$

解题步骤 3

使用初始条件，通过将 $4$ 代入 $x$ ，将 $- 5$ 代入 $y$ ，在 $y = \ln (| \csc (x) - \cot (x) |) + C$ 中求 $C$ 的值。

$- 5 = \ln (| \csc (4) - \cot (4) |) + C$

解题步骤 4

求解 $C$ 。

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解题步骤 4.1

将方程重写为 $\ln (| \csc (4) - \cot (4) |) + C = - 5$ 。

$\ln (| \csc (4) - \cot (4) |) + C = - 5$

解题步骤 4.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1.1

计算 $\csc (4)$ 。

$\ln (| 14.33558702 - \cot (4) |) + C = - 5$

解题步骤 4.2.1.1.2

计算 $\cot (4)$ 。

$\ln (| 14.33558702 - 1 \cdot 14.30066625 |) + C = - 5$

解题步骤 4.2.1.1.3

将 $- 1$ 乘以 $14.30066625$ 。

$\ln (| 14.33558702 - 14.30066625 |) + C = - 5$

解题步骤 4.2.1.2

从 $14.33558702$ 中减去 $14.30066625$ 。

$\ln (| 0.03492076 |) + C = - 5$

解题步骤 4.2.1.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $0.03492076$ 之间的距离为 $0.03492076$ 。

$\ln (0.03492076) + C = - 5$

解题步骤 4.3

从等式两边同时减去 $\ln (0.03492076)$ 。

$C = - 5 - \ln (0.03492076)$

解题步骤 5

代入 $- 5 - \ln (0.03492076)$ 替换 $y = \ln (| \csc (x) - \cot (x) |) + C$ 中的 $C$ 并化简。

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解题步骤 5.1

代入 $- 5 - \ln (0.03492076)$ 替换 $C$ 。

$y = \ln (| \csc (x) - \cot (x) |) - 5 - \ln (0.03492076)$

解题步骤 5.2

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$y = \ln (\frac{| \csc (x) - \cot (x) |}{0.03492076}) - 5$

解题步骤 5.3

化简每一项。

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解题步骤 5.3.1

乘以 $1$ 。

$y = \ln (\frac{1 | \csc (x) - \cot (x) |}{0.03492076}) - 5$

解题步骤 5.3.2

从 $0.03492076$ 中分解出因数 $0.03492076$ 。

$y = \ln (\frac{1 | \csc (x) - \cot (x) |}{0.03492076 (1)}) - 5$

解题步骤 5.3.3

分离分数。

$y = \ln (\frac{1}{0.03492076} \cdot \frac{| \csc (x) - \cot (x) |}{1}) - 5$

解题步骤 5.3.4

用 $1$ 除以 $0.03492076$ 。

$y = \ln (28.63625328 \frac{| \csc (x) - \cot (x) |}{1}) - 5$

解题步骤 5.3.5

用 $| \csc (x) - \cot (x) |$ 除以 $1$ 。

$y = \ln (28.63625328 | \csc (x) - \cot (x) |) - 5$

微积分学 示例

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