微积分学示例

$4 e^{4 y} \frac{d y}{d x} = 2 x e^{3 x} + 3 e^{4 y}$

解题步骤 1

使 $v = e^{4 y}$ 。用 $v$ 代入替换所有出现的 $e^{4 y}$ 。

$4 v \frac{d y}{d x} = 2 x e^{3 x} + 3 v$

解题步骤 2

通过对 $e^{4 y}$ 进行微分求 $\frac{d v}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 4 y$ 。

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解题步骤 2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $4 y$ 。

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [4 y]$

解题步骤 2.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{d v}{d x} = e^{u} \frac{d}{d x} [4 y]$

解题步骤 2.1.3

使用 $4 y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{d v}{d x} = e^{4 y} \frac{d}{d x} [4 y]$

解题步骤 2.2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 y$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [y]$ 。

$\frac{d v}{d x} = e^{4 y} (4 \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 2.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$\frac{d v}{d x} = e^{4 y} (4 y')$

解题步骤 2.4

重新排序 $e^{4 y} (4 y')$ 的因式。

$\frac{d v}{d x} = 4 e^{4 y} y'$

解题步骤 3

代入 $v$ 替换 $e^{4 y}$ 。

$\frac{d v}{d x} = 4 v y'$

解题步骤 4

将导数代回微分方程。

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解题步骤 4.1

约去公因数。

$4 v \frac{\frac{d v}{d x}}{4 v} = 2 x e^{3 x} + 3 v$

解题步骤 4.2

重写表达式。

$\frac{d v}{d x} = 2 x e^{3 x} + 3 v$

解题步骤 5

从等式两边同时减去 $3 v$ 。

$\frac{d v}{d x} - 3 v = 2 x e^{3 x}$

解题步骤 6

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = - 3$ 。

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解题步骤 6.1

建立积分。

$e^{\int - 3 d x}$

解题步骤 6.2

应用常数不变法则。

$e^{- 3 x + C}$

解题步骤 6.3

去掉积分常数。

$e^{- 3 x}$

解题步骤 7

每一项乘以积分因数 $e^{- 3 x}$ 。

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解题步骤 7.1

每一项乘以 $e^{- 3 x}$ 。

$e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} + e^{- 3 x} (- 3 v) = e^{- 3 x} (2 x e^{3 x})$

解题步骤 7.2

使用乘法的交换性质重写。

$e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} - 3 e^{- 3 x} v = e^{- 3 x} (2 x e^{3 x})$

解题步骤 7.3

使用乘法的交换性质重写。

$e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} - 3 e^{- 3 x} v = 2 e^{- 3 x} (x e^{3 x})$

解题步骤 7.4

通过指数相加将 $e^{- 3 x}$ 乘以 $e^{3 x}$ 。

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解题步骤 7.4.1

移动 $e^{3 x}$ 。

$e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} - 3 e^{- 3 x} v = 2 (e^{3 x} e^{- 3 x}) x$

解题步骤 7.4.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} - 3 e^{- 3 x} v = 2 e^{3 x - 3 x} x$

解题步骤 7.4.3

从 $3 x$ 中减去 $3 x$ 。

$e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} - 3 e^{- 3 x} v = 2 e^{0} x$

解题步骤 7.5

化简 $2 e^{0} x$ 。

$e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} - 3 e^{- 3 x} v = 2 x$

解题步骤 7.6

将 $e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} - 3 e^{- 3 x} v = 2 x$ 中的因式重新排序。

$e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} - 3 v e^{- 3 x} = 2 x$

解题步骤 8

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [e^{- 3 x} v] = 2 x$

解题步骤 9

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 3 x} v] d x = \int 2 x d x$

解题步骤 10

对左边积分。

$e^{- 3 x} v = \int 2 x d x$

解题步骤 11

对右边积分。

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解题步骤 11.1

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$e^{- 3 x} v = 2 \int x d x$

解题步骤 11.2

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$e^{- 3 x} v = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

解题步骤 11.3

化简答案。

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解题步骤 11.3.1

将 $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ 重写为 $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ 。

$e^{- 3 x} v = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

解题步骤 11.3.2

化简。

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解题步骤 11.3.2.1

组合 $2$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$e^{- 3 x} v = \frac{2}{2} x^{2} + C$

解题步骤 11.3.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 11.3.2.2.1

约去公因数。

$e^{- 3 x} v = \frac{2}{2} x^{2} + C$

解题步骤 11.3.2.2.2

重写表达式。

$e^{- 3 x} v = 1 x^{2} + C$

解题步骤 11.3.2.3

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$e^{- 3 x} v = x^{2} + C$

解题步骤 12

将 $e^{- 3 x} v = x^{2} + C$ 中的每一项除以 $e^{- 3 x}$ 并化简。

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解题步骤 12.1

将 $e^{- 3 x} v = x^{2} + C$ 中的每一项都除以 $e^{- 3 x}$ 。

$\frac{e^{- 3 x} v}{e^{- 3 x}} = \frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

解题步骤 12.2

化简左边。

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解题步骤 12.2.1

约去 $e^{- 3 x}$ 的公因数。

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解题步骤 12.2.1.1

约去公因数。

$\frac{e^{- 3 x} v}{e^{- 3 x}} = \frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

解题步骤 12.2.1.2

用 $v$ 除以 $1$ 。

$v = \frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

解题步骤 13

使用 $e^{4 y}$ 替换所有出现的 $v$ 。

$e^{4 y} = \frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

解题步骤 14

求解 $y$ 。

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解题步骤 14.1

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{4 y}) = \ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})$

解题步骤 14.2

展开左边。

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解题步骤 14.2.1

通过将 $4 y$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{4 y})$ 。

$4 y \ln (e) = \ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})$

解题步骤 14.2.2

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$4 y \cdot 1 = \ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})$

解题步骤 14.2.3

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$4 y = \ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})$

解题步骤 14.3

将 $4 y = \ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 14.3.1

将 $4 y = \ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 y}{4} = \frac{\ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})}{4}$

解题步骤 14.3.2

化简左边。

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解题步骤 14.3.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 14.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 y}{4} = \frac{\ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})}{4}$

解题步骤 14.3.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})}{4}$

微积分学 示例

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