微积分学示例

$69 x d y + 420 y d x = 0$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $420 y d x$ 。

$69 x d y = - 420 y d x$

解题步骤 2

两边同时乘以 $\frac{1}{x y}$ 。

$\frac{1}{x y} (69 x) d y = \frac{1}{x y} (- 420 y) d x$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

使用乘法的交换性质重写。

$69 \frac{1}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- 420 y) d x$

解题步骤 3.2

组合 $69$ 和 $\frac{1}{x y}$ 。

$\frac{69}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- 420 y) d x$

解题步骤 3.3

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1

从 $x y$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{69}{x (y)} x d y = \frac{1}{x y} (- 420 y) d x$

解题步骤 3.3.2

约去公因数。

$\frac{69}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- 420 y) d x$

解题步骤 3.3.3

重写表达式。

$\frac{69}{y} d y = \frac{1}{x y} (- 420 y) d x$

解题步骤 3.4

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{69}{y} d y = - 420 \frac{1}{x y} y d x$

解题步骤 3.5

组合 $- 420$ 和 $\frac{1}{x y}$ 。

$\frac{69}{y} d y = \frac{- 420}{x y} y d x$

解题步骤 3.6

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 3.6.1

从 $x y$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{69}{y} d y = \frac{- 420}{y x} y d x$

解题步骤 3.6.2

约去公因数。

$\frac{69}{y} d y = \frac{- 420}{y x} y d x$

解题步骤 3.6.3

重写表达式。

$\frac{69}{y} d y = \frac{- 420}{x} d x$

解题步骤 3.7

将负号移到分数的前面。

$\frac{69}{y} d y = - \frac{420}{x} d x$

解题步骤 4

对两边积分。

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解题步骤 4.1

在两边建立积分。

$\int \frac{69}{y} d y = \int - \frac{420}{x} d x$

解题步骤 4.2

对左边积分。

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解题步骤 4.2.1

由于 $69$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $69$ 移到积分外。

$69 \int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{420}{x} d x$

解题步骤 4.2.2

$\frac{1}{y}$ 对 $y$ 的积分为 $\ln (| y |)$ 。

$69 (\ln (| y |) + C_{1}) = \int - \frac{420}{x} d x$

解题步骤 4.2.3

化简。

$69 \ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{420}{x} d x$

解题步骤 4.3

对右边积分。

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解题步骤 4.3.1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$69 \ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{420}{x} d x$

解题步骤 4.3.2

由于 $420$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $420$ 移到积分外。

$69 \ln (| y |) + C_{1} = - (420 \int \frac{1}{x} d x)$

解题步骤 4.3.3

将 $420$ 乘以 $- 1$ 。

$69 \ln (| y |) + C_{1} = - 420 \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4.3.4

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$69 \ln (| y |) + C_{1} = - 420 (\ln (| x |) + C_{2})$

解题步骤 4.3.5

化简。

$69 \ln (| y |) + C_{1} = - 420 \ln (| x |) + C_{2}$

解题步骤 4.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$69 \ln (| y |) = - 420 \ln (| x |) + C$

解题步骤 5

求解 $y$ 。

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解题步骤 5.1

将所有包含对数的项移到等式左边。

$69 \ln (| y |) + 420 \ln (| x |) = C$

解题步骤 5.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.1

化简 $69 \ln (| y |) + 420 \ln (| x |)$ 。

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解题步骤 5.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $69 \ln (| y |)$ 。

$\ln ({| y |}^{69}) + 420 \ln (| x |) = C$

解题步骤 5.2.1.1.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $420 \ln (| x |)$ 。

$\ln ({| y |}^{69}) + \ln ({| x |}^{420}) = C$

解题步骤 5.2.1.1.3

去掉 ${| x |}^{420}$ 的绝对值符号，因为偶次幂的求幂结果恒为正。

$\ln ({| y |}^{69}) + \ln (x^{420}) = C$

解题步骤 5.2.1.2

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$\ln ({| y |}^{69} x^{420}) = C$

解题步骤 5.2.1.3

将 $\ln ({| y |}^{69} x^{420})$ 中的因式重新排序。

$\ln (x^{420} {| y |}^{69}) = C$

解题步骤 5.3

要求解 $y$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (x^{420} {| y |}^{69})} = e^{C}$

解题步骤 5.4

使用对数的定义将 $\ln (x^{420} {| y |}^{69}) = C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{C} = x^{420} {| y |}^{69}$

解题步骤 5.5

求解 $y$ 。

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解题步骤 5.5.1

将方程重写为 $x^{420} {| y |}^{69} = e^{C}$ 。

$x^{420} {| y |}^{69} = e^{C}$

解题步骤 5.5.2

将 $x^{420} {| y |}^{69} = e^{C}$ 中的每一项除以 $x^{420}$ 并化简。

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解题步骤 5.5.2.1

将 $x^{420} {| y |}^{69} = e^{C}$ 中的每一项都除以 $x^{420}$ 。

$\frac{x^{420} {| y |}^{69}}{x^{420}} = \frac{e^{C}}{x^{420}}$

解题步骤 5.5.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.5.2.2.1

约去 $x^{420}$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x^{420} {| y |}^{69}}{x^{420}} = \frac{e^{C}}{x^{420}}$

解题步骤 5.5.2.2.1.2

用 ${| y |}^{69}$ 除以 $1$ 。

${| y |}^{69} = \frac{e^{C}}{x^{420}}$

解题步骤 5.5.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$| y | = \sqrt[69]{\frac{e^{C}}{x^{420}}}$

解题步骤 5.5.4

化简 $\sqrt[69]{\frac{e^{C}}{x^{420}}}$ 。

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解题步骤 5.5.4.1

将 $\frac{e^{C}}{x^{420}}$ 重写为 ${(\frac{1}{x^{6}})}^{69} \frac{e^{C}}{x^{6}}$ 。

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解题步骤 5.5.4.1.1

从 $e^{C}$ 中因式分解出完全幂数 $1^{69}$ 。

$| y | = \sqrt[69]{\frac{1^{69} e^{C}}{x^{420}}}$

解题步骤 5.5.4.1.2

从 $x^{420}$ 中因式分解出完全幂数 ${(x^{6})}^{69}$ 。

$| y | = \sqrt[69]{\frac{1^{69} e^{C}}{{(x^{6})}^{69} x^{6}}}$

解题步骤 5.5.4.1.3

重新整理分数 $\frac{1^{69} e^{C}}{{(x^{6})}^{69} x^{6}}$ 。

$| y | = \sqrt[69]{{(\frac{1}{x^{6}})}^{69} \frac{e^{C}}{x^{6}}}$

解题步骤 5.5.4.2

从根式下提出各项。

$| y | = \frac{1}{x^{6}} \sqrt[69]{\frac{e^{C}}{x^{6}}}$

解题步骤 5.5.4.3

将 $\sqrt[69]{\frac{e^{C}}{x^{6}}}$ 重写为 $\frac{\sqrt[69]{e^{C}}}{\sqrt[69]{x^{6}}}$ 。

$| y | = \frac{1}{x^{6}} \cdot \frac{\sqrt[69]{e^{C}}}{\sqrt[69]{x^{6}}}$

解题步骤 5.5.4.4

合并分数。

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解题步骤 5.5.4.4.1

合并。

$| y | = \frac{1 \sqrt[69]{e^{C}}}{x^{6} \sqrt[69]{x^{6}}}$

解题步骤 5.5.4.4.2

将 $\sqrt[69]{e^{C}}$ 乘以 $1$ 。

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}}}{x^{6} \sqrt[69]{x^{6}}}$

解题步骤 5.5.4.5

化简分母。

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解题步骤 5.5.4.5.1

将 $x^{6}$ 重写为 ${(x^{2})}^{3}$ 。

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}}}{x^{6} \sqrt[69]{{(x^{2})}^{3}}}$

解题步骤 5.5.4.5.2

将 $\sqrt[69]{{(x^{2})}^{3}}$ 重写为 $\sqrt[23]{\sqrt[3]{{(x^{2})}^{3}}}$ 。

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}}}{x^{6} \sqrt[23]{\sqrt[3]{{(x^{2})}^{3}}}}$

解题步骤 5.5.4.5.3

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}}}{x^{6} \sqrt[23]{x^{2}}}$

解题步骤 5.5.4.6

将 $\frac{\sqrt[69]{e^{C}}}{x^{6} \sqrt[23]{x^{2}}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{{\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}$ 。

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}}}{x^{6} \sqrt[23]{x^{2}}} \cdot \frac{{\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{{\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}$

解题步骤 5.5.4.7

合并和化简分母。

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解题步骤 5.5.4.7.1

将 $\frac{\sqrt[69]{e^{C}}}{x^{6} \sqrt[23]{x^{2}}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{{\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}$ 。

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} \sqrt[23]{x^{2}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}$

解题步骤 5.5.4.7.2

移动 $\sqrt[23]{x^{2}}$ 。

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} (\sqrt[23]{x^{2}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22})}$

解题步骤 5.5.4.7.3

对 $\sqrt[23]{x^{2}}$ 进行 $1$ 次方运算。

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} ({\sqrt[23]{x^{2}}}^{1} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22})}$

解题步骤 5.5.4.7.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{1 + 22}}$

解题步骤 5.5.4.7.5

将 $1$ 和 $22$ 相加。

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{23}}$

解题步骤 5.5.4.7.6

将 ${\sqrt[23]{x^{2}}}^{23}$ 重写为 $x^{2}$ 。

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解题步骤 5.5.4.7.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[23]{x^{2}}$ 重写成 $x^{\frac{2}{23}}$ 。

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} {(x^{\frac{2}{23}})}^{23}}$

解题步骤 5.5.4.7.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} x^{\frac{2}{23} \cdot 23}}$

解题步骤 5.5.4.7.6.3

组合 $\frac{2}{23}$ 和 $23$ 。

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} x^{\frac{2 \cdot 23}{23}}}$

解题步骤 5.5.4.7.6.4

将 $2$ 乘以 $23$ 。

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} x^{\frac{46}{23}}}$

解题步骤 5.5.4.7.6.5

约去 $46$ 和 $23$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.4.7.6.5.1

从 $46$ 中分解出因数 $23$ 。

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} x^{\frac{23 \cdot 2}{23}}}$

解题步骤 5.5.4.7.6.5.2

约去公因数。

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解题步骤 5.5.4.7.6.5.2.1

从 $23$ 中分解出因数 $23$ 。

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} x^{\frac{23 \cdot 2}{23 (1)}}}$

解题步骤 5.5.4.7.6.5.2.2

约去公因数。

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} x^{\frac{23 \cdot 2}{23 \cdot 1}}}$

解题步骤 5.5.4.7.6.5.2.3

重写表达式。

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} x^{\frac{2}{1}}}$

解题步骤 5.5.4.7.6.5.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} x^{2}}$

解题步骤 5.5.4.8

通过指数相加将 $x^{6}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 5.5.4.8.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6 + 2}}$

解题步骤 5.5.4.8.2

将 $6$ 和 $2$ 相加。

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{8}}$

解题步骤 5.5.4.9

化简分子。

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解题步骤 5.5.4.9.1

将 ${\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}$ 重写为 $\sqrt[23]{{(x^{2})}^{22}}$ 。

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} \sqrt[23]{{(x^{2})}^{22}}}{x^{8}}$

解题步骤 5.5.4.9.2

将 ${(x^{2})}^{22}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.5.4.9.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} \sqrt[23]{x^{2 \cdot 22}}}{x^{8}}$

解题步骤 5.5.4.9.2.2

将 $2$ 乘以 $22$ 。

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} \sqrt[23]{x^{44}}}{x^{8}}$

解题步骤 5.5.4.9.3

因式分解出 $x^{23}$ 。

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} \sqrt[23]{x^{23} x^{21}}}{x^{8}}$

解题步骤 5.5.4.9.4

从根式下提出各项。

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} x \sqrt[23]{x^{21}}}{x^{8}}$

解题步骤 5.5.4.9.5

合并指数。

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解题步骤 5.5.4.9.5.1

使用 $69$ 的最小常见指标重写表达式。

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解题步骤 5.5.4.9.5.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[23]{x^{21}}$ 重写成 $x^{\frac{21}{23}}$ 。

$| y | = \frac{x (\sqrt[69]{e^{C}} x^{\frac{21}{23}})}{x^{8}}$

解题步骤 5.5.4.9.5.1.2

将 $x^{\frac{21}{23}}$ 重写为 $x^{\frac{63}{69}}$ 。

$| y | = \frac{x (\sqrt[69]{e^{C}} x^{\frac{63}{69}})}{x^{8}}$

解题步骤 5.5.4.9.5.1.3

将 $x^{\frac{63}{69}}$ 重写为 $\sqrt[69]{x^{63}}$ 。

$| y | = \frac{x (\sqrt[69]{e^{C}} \sqrt[69]{x^{63}})}{x^{8}}$

解题步骤 5.5.4.9.5.2

使用根数乘积法则进行合并。

$| y | = \frac{x \sqrt[69]{e^{C} x^{63}}}{x^{8}}$

解题步骤 5.5.4.10

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 5.5.4.10.1

约去 $x$ 和 $x^{8}$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.4.10.1.1

从 $x \sqrt[69]{e^{C} x^{63}}$ 中分解出因数 $x$ 。

$| y | = \frac{x \sqrt[69]{e^{C} x^{63}}}{x^{8}}$

解题步骤 5.5.4.10.1.2

约去公因数。

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解题步骤 5.5.4.10.1.2.1

从 $x^{8}$ 中分解出因数 $x$ 。

$| y | = \frac{x \sqrt[69]{e^{C} x^{63}}}{x \cdot x^{7}}$

解题步骤 5.5.4.10.1.2.2

约去公因数。

$| y | = \frac{x \sqrt[69]{e^{C} x^{63}}}{x \cdot x^{7}}$

解题步骤 5.5.4.10.1.2.3

重写表达式。

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C} x^{63}}}{x^{7}}$

解题步骤 5.5.4.10.2

将 $\frac{\sqrt[69]{e^{C} x^{63}}}{x^{7}}$ 中的因式重新排序。

$| y | = \frac{\sqrt[69]{x^{63} e^{C}}}{x^{7}}$

解题步骤 5.5.5

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt[69]{x^{63} e^{C}}}{x^{7}}$

解题步骤 6

化简积分常数。

$y = \pm \frac{\sqrt[69]{x^{63} C}}{x^{7}}$

微积分学 示例

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