微积分学示例

$\frac{d y}{d x} - \frac{2}{x} y = \frac{3}{x^{2}} y^{4}$

解题步骤 1

要解微分方程，设 $v = y^{1 - n}$ ，其中 $n$ 是 $y^{4}$ 的指数。

$v = y^{- 3}$

解题步骤 2

求解 $y$ 的方程。

$y = v^{- \frac{1}{3}}$

解题步骤 3

取 $y$ 对 $x$ 的导数。

$y' = v^{- \frac{1}{3}}$

解题步骤 4

取 $v^{- \frac{1}{3}}$ 对 $x$ 的导数。

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解题步骤 4.1

取 $v^{- \frac{1}{3}}$ 的导数。

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- \frac{1}{3}}]$

解题步骤 4.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v^{\frac{1}{3}}}]$

解题步骤 4.3

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 1$ 且 $g (x) = v^{\frac{1}{3}}$ 。

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{{(v^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 4.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 4.4.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{{(v^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 4.4.2

将 ${(v^{\frac{1}{3}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.4.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{1}{3} \cdot 2}}$

解题步骤 4.4.2.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $2$ 。

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.4.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.4.4

化简表达式。

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解题步骤 4.4.4.1

将 $v^{\frac{1}{3}}$ 乘以 $0$ 。

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.4.4.2

从 $0$ 中减去 $\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]$ 。

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.4.4.3

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ 且 $g (x) = v$ 。

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解题步骤 4.5.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $v$ 。

$y' = - \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$y' = - \frac{\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.5.3

使用 $v$ 替换所有出现的 $u$ 。

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.6

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.7

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.8

在公分母上合并分子。

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.9

化简分子。

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解题步骤 4.9.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.9.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.10

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.11

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $v^{- \frac{2}{3}}$ 。

$y' = - \frac{\frac{v^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.12

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $v^{- \frac{2}{3}}$ 移动到分母。

$y' = - \frac{\frac{1}{3 v^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.13

将 $\frac{d}{d x} [v]$ 重写为 $v'$ 。

$y' = - \frac{\frac{1}{3 v^{\frac{2}{3}}} v'}{v^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.14

组合 $\frac{1}{3 v^{\frac{2}{3}}}$ 和 $v'$ 。

$y' = - \frac{\frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}}}}{v^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.15

将 $\frac{\frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}}}}{v^{\frac{2}{3}}}$ 重写为乘积形式。

$y' = - (\frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{v^{\frac{2}{3}}})$

解题步骤 4.16

将 $\frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}}}$ 乘以 $\frac{1}{v^{\frac{2}{3}}}$ 。

$y' = - \frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}} v^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.17

通过指数相加将 $v^{\frac{2}{3}}$ 乘以 $v^{\frac{2}{3}}$ 。

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解题步骤 4.17.1

移动 $v^{\frac{2}{3}}$ 。

$y' = - \frac{v'}{3 (v^{\frac{2}{3}} v^{\frac{2}{3}})}$

解题步骤 4.17.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y' = - \frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.17.3

在公分母上合并分子。

$y' = - \frac{v'}{3 v^{\frac{2 + 2}{3}}}$

解题步骤 4.17.4

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$y' = - \frac{v'}{3 v^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 5

在原方程 $\frac{d y}{d x} - \frac{2}{x} y = \frac{3}{x^{2}} y^{4}$ 中将 $\frac{d y}{d x}$ 替换成 $- \frac{v'}{3 v^{\frac{4}{3}}}$ 并且将 $y$ 替换成 $v^{- \frac{1}{3}}$ 。

$- \frac{v'}{3 v^{\frac{4}{3}}} - \frac{2}{x} v^{- \frac{1}{3}} = \frac{3}{x^{2}} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4}$

解题步骤 6

求解代入的微分方程。

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解题步骤 6.1

将微分方程重写为 $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ 。

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解题步骤 6.1.1

将 $- \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} - \frac{2}{x} v^{- \frac{1}{3}} = \frac{3}{x^{2}} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4}$ 中的每一项乘以 $- (3 v^{\frac{4}{3}})$ 以消去分数。

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解题步骤 6.1.1.1

将 $- \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} - \frac{2}{x} v^{- \frac{1}{3}} = \frac{3}{x^{2}} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4}$ 中的每一项乘以 $- (3 v^{\frac{4}{3}})$ 。

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) - \frac{2}{x} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{3}{x^{2}} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

解题步骤 6.1.1.2

化简左边。

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解题步骤 6.1.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.1.1.2.1.1

约去 $3 v^{\frac{4}{3}}$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.1.2.1.1.1

将 $- \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) - \frac{2}{x} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{3}{x^{2}} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

解题步骤 6.1.1.2.1.1.2

从 $- (3 v^{\frac{4}{3}})$ 中分解出因数 $3 v^{\frac{4}{3}}$ 。

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} (3 v^{\frac{4}{3}} (- 1)) - \frac{2}{x} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{3}{x^{2}} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

解题步骤 6.1.1.2.1.1.3

约去公因数。

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} (3 v^{\frac{4}{3}} \cdot - 1) - \frac{2}{x} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{3}{x^{2}} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

解题步骤 6.1.1.2.1.1.4

重写表达式。

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 - \frac{2}{x} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{3}{x^{2}} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

解题步骤 6.1.1.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 \frac{d v}{d x} - \frac{2}{x} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{3}{x^{2}} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

解题步骤 6.1.1.2.1.3

将 $\frac{d v}{d x}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{d v}{d x} - \frac{2}{x} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{3}{x^{2}} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

解题步骤 6.1.1.2.1.4

通过指数相加将 $v^{- \frac{1}{3}}$ 乘以 $v^{\frac{4}{3}}$ 。

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解题步骤 6.1.1.2.1.4.1

移动 $v^{\frac{4}{3}}$ 。

$\frac{d v}{d x} - \frac{2}{x} (v^{\frac{4}{3}} v^{- \frac{1}{3}}) (- 1 \cdot (3)) = \frac{3}{x^{2}} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

解题步骤 6.1.1.2.1.4.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{d v}{d x} - \frac{2}{x} v^{\frac{4}{3} - \frac{1}{3}} (- 1 \cdot (3)) = \frac{3}{x^{2}} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

解题步骤 6.1.1.2.1.4.3

在公分母上合并分子。

$\frac{d v}{d x} - \frac{2}{x} v^{\frac{4 - 1}{3}} (- 1 \cdot (3)) = \frac{3}{x^{2}} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

解题步骤 6.1.1.2.1.4.4

从 $4$ 中减去 $1$ 。

$\frac{d v}{d x} - \frac{2}{x} v^{\frac{3}{3}} (- 1 \cdot (3)) = \frac{3}{x^{2}} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

解题步骤 6.1.1.2.1.4.5

用 $3$ 除以 $3$ 。

$\frac{d v}{d x} - \frac{2}{x} v^{1} (- 1 \cdot (3)) = \frac{3}{x^{2}} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

解题步骤 6.1.1.2.1.5

化简 $- \frac{2}{x} v^{1} (- 1 \cdot (3))$ 。

$\frac{d v}{d x} - \frac{2}{x} v (- 1 \cdot (3)) = \frac{3}{x^{2}} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

解题步骤 6.1.1.2.1.6

组合 $v$ 和 $\frac{2}{x}$ 。

$\frac{d v}{d x} - \frac{v \cdot 2}{x} (- 1 \cdot (3)) = \frac{3}{x^{2}} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

解题步骤 6.1.1.2.1.7

将 $2$ 移到 $v$ 的左侧。

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 \cdot v}{x} (- 1 \cdot (3)) = \frac{3}{x^{2}} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

解题步骤 6.1.1.2.1.8

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} \cdot - 3 = \frac{3}{x^{2}} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

解题步骤 6.1.1.2.1.9

乘以 $- \frac{2 v}{x} \cdot - 3$ 。

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解题步骤 6.1.1.2.1.9.1

将 $- 3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{d v}{d x} + 3 \frac{2 v}{x} = \frac{3}{x^{2}} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

解题步骤 6.1.1.2.1.9.2

组合 $3$ 和 $\frac{2 v}{x}$ 。

$\frac{d v}{d x} + \frac{3 (2 v)}{x} = \frac{3}{x^{2}} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

解题步骤 6.1.1.2.1.9.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{d v}{d x} + \frac{6 v}{x} = \frac{3}{x^{2}} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

解题步骤 6.1.1.3

化简右边。

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解题步骤 6.1.1.3.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{d v}{d x} + \frac{6 v}{x} = - 1 \cdot 3 \frac{3}{x^{2}} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

解题步骤 6.1.1.3.2

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{d v}{d x} + \frac{6 v}{x} = - 3 \frac{3}{x^{2}} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

解题步骤 6.1.1.3.3

乘以 $- 3 \frac{3}{x^{2}}$ 。

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解题步骤 6.1.1.3.3.1

组合 $- 3$ 和 $\frac{3}{x^{2}}$ 。

$\frac{d v}{d x} + \frac{6 v}{x} = \frac{- 3 \cdot 3}{x^{2}} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

解题步骤 6.1.1.3.3.2

将 $- 3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{d v}{d x} + \frac{6 v}{x} = \frac{- 9}{x^{2}} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

解题步骤 6.1.1.3.4

将负号移到分数的前面。

$\frac{d v}{d x} + \frac{6 v}{x} = - \frac{9}{x^{2}} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

解题步骤 6.1.1.3.5

将 ${(v^{- \frac{1}{3}})}^{4}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.1.1.3.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{d v}{d x} + \frac{6 v}{x} = - \frac{9}{x^{2}} v^{- \frac{1}{3} \cdot 4} v^{\frac{4}{3}}$

解题步骤 6.1.1.3.5.2

乘以 $- \frac{1}{3} \cdot 4$ 。

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解题步骤 6.1.1.3.5.2.1

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{d v}{d x} + \frac{6 v}{x} = - \frac{9}{x^{2}} v^{- 4 (\frac{1}{3})} v^{\frac{4}{3}}$

解题步骤 6.1.1.3.5.2.2

组合 $- 4$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{d v}{d x} + \frac{6 v}{x} = - \frac{9}{x^{2}} v^{\frac{- 4}{3}} v^{\frac{4}{3}}$

解题步骤 6.1.1.3.5.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{d v}{d x} + \frac{6 v}{x} = - \frac{9}{x^{2}} v^{- \frac{4}{3}} v^{\frac{4}{3}}$

解题步骤 6.1.1.3.6

通过指数相加将 $v^{- \frac{4}{3}}$ 乘以 $v^{\frac{4}{3}}$ 。

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解题步骤 6.1.1.3.6.1

移动 $v^{\frac{4}{3}}$ 。

$\frac{d v}{d x} + \frac{6 v}{x} = - \frac{9}{x^{2}} (v^{\frac{4}{3}} v^{- \frac{4}{3}})$

解题步骤 6.1.1.3.6.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{d v}{d x} + \frac{6 v}{x} = - \frac{9}{x^{2}} v^{\frac{4}{3} - \frac{4}{3}}$

解题步骤 6.1.1.3.6.3

在公分母上合并分子。

$\frac{d v}{d x} + \frac{6 v}{x} = - \frac{9}{x^{2}} v^{\frac{4 - 4}{3}}$

解题步骤 6.1.1.3.6.4

从 $4$ 中减去 $4$ 。

$\frac{d v}{d x} + \frac{6 v}{x} = - \frac{9}{x^{2}} v^{\frac{0}{3}}$

解题步骤 6.1.1.3.6.5

用 $0$ 除以 $3$ 。

$\frac{d v}{d x} + \frac{6 v}{x} = - \frac{9}{x^{2}} v^{0}$

解题步骤 6.1.1.3.7

化简 $- \frac{9}{x^{2}} v^{0}$ 。

$\frac{d v}{d x} + \frac{6 v}{x} = - \frac{9}{x^{2}}$

解题步骤 6.1.2

从 $\frac{6 v}{x}$ 中分解出因数 $v$ 。

$\frac{d v}{d x} + v \frac{6}{x} = - \frac{9}{x^{2}}$

解题步骤 6.1.3

将 $v$ 和 $\frac{6}{x}$ 重新排序。

$\frac{d v}{d x} + \frac{6}{x} v = - \frac{9}{x^{2}}$

解题步骤 6.2

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = \frac{6}{x}$ 。

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解题步骤 6.2.1

建立积分。

$e^{\int \frac{6}{x} d x}$

解题步骤 6.2.2

对 $\frac{6}{x}$ 积分。

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解题步骤 6.2.2.1

由于 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $6$ 移到积分外。

$e^{6 \int \frac{1}{x} d x}$

解题步骤 6.2.2.2

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$e^{6 (\ln (| x |) + C)}$

解题步骤 6.2.2.3

化简。

$e^{6 \ln (| x |) + C}$

解题步骤 6.2.3

去掉积分常数。

$e^{6 \ln (x)}$

解题步骤 6.2.4

使用对数幂法则。

$e^{\ln (x^{6})}$

解题步骤 6.2.5

指数函数和对数函数互为反函数。

$x^{6}$

解题步骤 6.3

每一项乘以积分因数 $x^{6}$ 。

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解题步骤 6.3.1

每一项乘以 $x^{6}$ 。

$x^{6} \frac{d v}{d x} + x^{6} (\frac{6}{x} v) = x^{6} (- \frac{9}{x^{2}})$

解题步骤 6.3.2

化简每一项。

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解题步骤 6.3.2.1

组合 $\frac{6}{x}$ 和 $v$ 。

$x^{6} \frac{d v}{d x} + x^{6} \frac{6 v}{x} = x^{6} (- \frac{9}{x^{2}})$

解题步骤 6.3.2.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.2.2.1

从 $x^{6}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x^{6} \frac{d v}{d x} + x \cdot x^{5} \frac{6 v}{x} = x^{6} (- \frac{9}{x^{2}})$

解题步骤 6.3.2.2.2

约去公因数。

$x^{6} \frac{d v}{d x} + x \cdot x^{5} \frac{6 v}{x} = x^{6} (- \frac{9}{x^{2}})$

解题步骤 6.3.2.2.3

重写表达式。

$x^{6} \frac{d v}{d x} + x^{5} (6 v) = x^{6} (- \frac{9}{x^{2}})$

解题步骤 6.3.2.3

使用乘法的交换性质重写。

$x^{6} \frac{d v}{d x} + 6 x^{5} v = x^{6} (- \frac{9}{x^{2}})$

解题步骤 6.3.3

使用乘法的交换性质重写。

$x^{6} \frac{d v}{d x} + 6 x^{5} v = - x^{6} \frac{9}{x^{2}}$

解题步骤 6.3.4

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.4.1

从 $- x^{6}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$x^{6} \frac{d v}{d x} + 6 x^{5} v = x^{2} (- x^{4}) \frac{9}{x^{2}}$

解题步骤 6.3.4.2

约去公因数。

$x^{6} \frac{d v}{d x} + 6 x^{5} v = x^{2} (- x^{4}) \frac{9}{x^{2}}$

解题步骤 6.3.4.3

重写表达式。

$x^{6} \frac{d v}{d x} + 6 x^{5} v = - x^{4} \cdot 9$

解题步骤 6.3.5

将 $9$ 乘以 $- 1$ 。

$x^{6} \frac{d v}{d x} + 6 x^{5} v = - 9 x^{4}$

解题步骤 6.4

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [x^{6} v] = - 9 x^{4}$

解题步骤 6.5

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [x^{6} v] d x = \int - 9 x^{4} d x$

解题步骤 6.6

对左边积分。

$x^{6} v = \int - 9 x^{4} d x$

解题步骤 6.7

对右边积分。

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解题步骤 6.7.1

由于 $- 9$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 9$ 移到积分外。

$x^{6} v = - 9 \int x^{4} d x$

解题步骤 6.7.2

根据幂法则， $x^{4}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{5} x^{5}$ 。

$x^{6} v = - 9 (\frac{1}{5} x^{5} + C)$

解题步骤 6.7.3

化简答案。

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解题步骤 6.7.3.1

将 $- 9 (\frac{1}{5} x^{5} + C)$ 重写为 $- 9 (\frac{1}{5}) x^{5} + C$ 。

$x^{6} v = - 9 (\frac{1}{5}) x^{5} + C$

解题步骤 6.7.3.2

化简。

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解题步骤 6.7.3.2.1

组合 $- 9$ 和 $\frac{1}{5}$ 。

$x^{6} v = \frac{- 9}{5} x^{5} + C$

解题步骤 6.7.3.2.2

将负号移到分数的前面。

$x^{6} v = - \frac{9}{5} x^{5} + C$

解题步骤 6.8

将 $x^{6} v = - \frac{9}{5} x^{5} + C$ 中的每一项除以 $x^{6}$ 并化简。

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解题步骤 6.8.1

将 $x^{6} v = - \frac{9}{5} x^{5} + C$ 中的每一项都除以 $x^{6}$ 。

$\frac{x^{6} v}{x^{6}} = \frac{- \frac{9}{5} x^{5}}{x^{6}} + \frac{C}{x^{6}}$

解题步骤 6.8.2

化简左边。

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解题步骤 6.8.2.1

约去 $x^{6}$ 的公因数。

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解题步骤 6.8.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x^{6} v}{x^{6}} = \frac{- \frac{9}{5} x^{5}}{x^{6}} + \frac{C}{x^{6}}$

解题步骤 6.8.2.1.2

用 $v$ 除以 $1$ 。

$v = \frac{- \frac{9}{5} x^{5}}{x^{6}} + \frac{C}{x^{6}}$

解题步骤 6.8.3

化简右边。

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解题步骤 6.8.3.1

化简每一项。

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解题步骤 6.8.3.1.1

约去 $x^{5}$ 和 $x^{6}$ 的公因数。

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解题步骤 6.8.3.1.1.1

从 $- \frac{9}{5} x^{5}$ 中分解出因数 $x^{5}$ 。

$v = \frac{x^{5} (- \frac{9}{5})}{x^{6}} + \frac{C}{x^{6}}$

解题步骤 6.8.3.1.1.2

约去公因数。

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解题步骤 6.8.3.1.1.2.1

从 $x^{6}$ 中分解出因数 $x^{5}$ 。

$v = \frac{x^{5} (- \frac{9}{5})}{x^{5} x} + \frac{C}{x^{6}}$

解题步骤 6.8.3.1.1.2.2

约去公因数。

$v = \frac{x^{5} (- \frac{9}{5})}{x^{5} x} + \frac{C}{x^{6}}$

解题步骤 6.8.3.1.1.2.3

重写表达式。

$v = \frac{- \frac{9}{5}}{x} + \frac{C}{x^{6}}$

解题步骤 6.8.3.1.2

将分子乘以分母的倒数。

$v = - \frac{9}{5} \cdot \frac{1}{x} + \frac{C}{x^{6}}$

解题步骤 6.8.3.1.3

将 $\frac{1}{x}$ 乘以 $\frac{9}{5}$ 。

$v = - \frac{9}{x \cdot 5} + \frac{C}{x^{6}}$

解题步骤 6.8.3.1.4

将 $5$ 移到 $x$ 的左侧。

$v = - \frac{9}{5 x} + \frac{C}{x^{6}}$

解题步骤 7

代入 $y^{- 3}$ 替换 $v$ 。

$y^{- 3} = - \frac{9}{5 x} + \frac{C}{x^{6}}$

微积分学 示例

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