微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = x^{3} - 2 x y$

解题步骤 1

在等式两边都加上 $2 x y$ 。

$\frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{3}$

解题步骤 2

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 2.1

建立积分。

$e^{\int 2 x d x}$

解题步骤 2.2

对 $2 x$ 积分。

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解题步骤 2.2.1

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$e^{2 \int x d x}$

解题步骤 2.2.2

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$e^{2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

解题步骤 2.2.3

化简答案。

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解题步骤 2.2.3.1

将 $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ 重写为 $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ 。

$e^{2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C}$

解题步骤 2.2.3.2

化简。

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解题步骤 2.2.3.2.1

组合 $2$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$e^{\frac{2}{2} x^{2} + C}$

解题步骤 2.2.3.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.3.2.2.1

约去公因数。

$e^{\frac{2}{2} x^{2} + C}$

解题步骤 2.2.3.2.2.2

重写表达式。

$e^{1 x^{2} + C}$

解题步骤 2.2.3.2.3

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$e^{x^{2} + C}$

解题步骤 2.3

去掉积分常数。

$e^{x^{2}}$

解题步骤 3

每一项乘以积分因数 $e^{x^{2}}$ 。

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解题步骤 3.1

每一项乘以 $e^{x^{2}}$ 。

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + e^{x^{2}} (2 x y) = e^{x^{2}} x^{3}$

解题步骤 3.2

使用乘法的交换性质重写。

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = e^{x^{2}} x^{3}$

解题步骤 3.3

将 $e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = e^{x^{2}} x^{3}$ 中的因式重新排序。

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 x y e^{x^{2}} = x^{3} e^{x^{2}}$

解题步骤 4

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}} y] = x^{3} e^{x^{2}}$

解题步骤 5

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [e^{x^{2}} y] d x = \int x^{3} e^{x^{2}} d x$

解题步骤 6

对左边积分。

$e^{x^{2}} y = \int x^{3} e^{x^{2}} d x$

解题步骤 7

对右边积分。

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解题步骤 7.1

使 $u = x^{2}$ 。然后使 $d u = 2 x d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = x d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 7.1.1

设 $u = x^{2}$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 7.1.1.1

对 $x^{2}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 7.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x$

解题步骤 7.1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$e^{x^{2}} y = \int u e^{u} \frac{1}{2} d u$

解题步骤 7.2

化简。

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解题步骤 7.2.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $u$ 。

$e^{x^{2}} y = \int \frac{u}{2} e^{u} d u$

解题步骤 7.2.2

组合 $\frac{u}{2}$ 和 $e^{u}$ 。

$e^{x^{2}} y = \int \frac{u e^{u}}{2} d u$

解题步骤 7.3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} \int u e^{u} d u$

解题步骤 7.4

利用公式 $\int w d v = w v - \int v d w$ 来分部求积分，其中 $w = u$ ， $dv = e^{u}$ 。

$e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} (u e^{u} - \int e^{u} d u)$

解题步骤 7.5

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} (u e^{u} - (e^{u} + C))$

解题步骤 7.6

化简。

$e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} (u e^{u} - e^{u}) + C$

解题步骤 7.7

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} (x^{2} e^{x^{2}} - e^{x^{2}}) + C$

解题步骤 7.8

化简。

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解题步骤 7.8.1

运用分配律。

$e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} (x^{2} e^{x^{2}}) + \frac{1}{2} (- e^{x^{2}}) + C$

解题步骤 7.8.2

乘以 $\frac{1}{2} (x^{2} e^{x^{2}})$ 。

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解题步骤 7.8.2.1

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$e^{x^{2}} y = \frac{x^{2}}{2} e^{x^{2}} + \frac{1}{2} (- e^{x^{2}}) + C$

解题步骤 7.8.2.2

组合 $\frac{x^{2}}{2}$ 和 $e^{x^{2}}$ 。

$e^{x^{2}} y = \frac{x^{2} e^{x^{2}}}{2} + \frac{1}{2} (- e^{x^{2}}) + C$

解题步骤 7.8.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $e^{x^{2}}$ 。

$e^{x^{2}} y = \frac{x^{2} e^{x^{2}}}{2} - \frac{e^{x^{2}}}{2} + C$

解题步骤 7.9

重新排序项。

$e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} x^{2} e^{x^{2}} - \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C$

解题步骤 8

将 $e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} x^{2} e^{x^{2}} - \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C$ 中的每一项除以 $e^{x^{2}}$ 并化简。

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解题步骤 8.1

将 $e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} x^{2} e^{x^{2}} - \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C$ 中的每一项都除以 $e^{x^{2}}$ 。

$\frac{e^{x^{2}} y}{e^{x^{2}}} = \frac{\frac{1}{2} x^{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{- \frac{1}{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

解题步骤 8.2

化简左边。

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解题步骤 8.2.1

约去 $e^{x^{2}}$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.1.1

约去公因数。

$\frac{e^{x^{2}} y}{e^{x^{2}}} = \frac{\frac{1}{2} x^{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{- \frac{1}{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

解题步骤 8.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\frac{1}{2} x^{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{- \frac{1}{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

解题步骤 8.3

化简右边。

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解题步骤 8.3.1

化简每一项。

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解题步骤 8.3.1.1

约去 $e^{x^{2}}$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.1.1.1

约去公因数。

$y = \frac{\frac{1}{2} x^{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{- \frac{1}{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

解题步骤 8.3.1.1.2

用 $\frac{1}{2} x^{2}$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{- \frac{1}{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

解题步骤 8.3.1.2

约去 $e^{x^{2}}$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.1.2.1

约去公因数。

$y = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{- \frac{1}{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

解题步骤 8.3.1.2.2

用 $- \frac{1}{2}$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

解题步骤 8.3.2

从 $\frac{1}{2} x^{2}$ 中减去 $\frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 8.3.2.1

将 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 重新排序。

$y = x^{2} \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

解题步骤 8.3.2.2

要将 $x^{2} \frac{1}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y = x^{2} \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

解题步骤 8.3.2.3

组合 $x^{2} \frac{1}{2}$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$y = \frac{x^{2} \frac{1}{2} \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

解题步骤 8.3.2.4

在公分母上合并分子。

$y = \frac{x^{2} \frac{1}{2} \cdot 2 - 1}{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

解题步骤 8.3.3

化简分子。

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解题步骤 8.3.3.1

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$y = \frac{\frac{x^{2}}{2} \cdot 2 - 1}{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

解题步骤 8.3.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.3.2.1

约去公因数。

$y = \frac{\frac{x^{2}}{2} \cdot 2 - 1}{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

解题步骤 8.3.3.2.2

重写表达式。

$y = \frac{x^{2} - 1}{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

解题步骤 8.3.3.3

以因式分解的形式重写 $x^{2} - 1$ 。

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解题步骤 8.3.3.3.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$y = \frac{x^{2} - 1^{2}}{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

解题步骤 8.3.3.3.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$y = \frac{(x + 1) (x - 1)}{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

解题步骤 8.3.4

要将 $\frac{(x + 1) (x - 1)}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}}$ 。

$y = \frac{(x + 1) (x - 1)}{2} \cdot \frac{e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

解题步骤 8.3.5

要将 $\frac{C}{e^{x^{2}}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y = \frac{(x + 1) (x - 1)}{2} \cdot \frac{e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}} \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 8.3.6

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $2 e^{x^{2}}$ 的形式。

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解题步骤 8.3.6.1

将 $\frac{(x + 1) (x - 1)}{2}$ 乘以 $\frac{e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}}$ 。

$y = \frac{(x + 1) (x - 1) e^{x^{2}}}{2 e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}} \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 8.3.6.2

将 $\frac{C}{e^{x^{2}}}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y = \frac{(x + 1) (x - 1) e^{x^{2}}}{2 e^{x^{2}}} + \frac{C \cdot 2}{e^{x^{2}} \cdot 2}$

解题步骤 8.3.6.3

重新排序 $e^{x^{2}} \cdot 2$ 的因式。

$y = \frac{(x + 1) (x - 1) e^{x^{2}}}{2 e^{x^{2}}} + \frac{C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

解题步骤 8.3.7

在公分母上合并分子。

$y = \frac{(x + 1) (x - 1) e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

解题步骤 8.3.8

化简分子。

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解题步骤 8.3.8.1

使用 FOIL 方法展开 $(x + 1) (x - 1)$ 。

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解题步骤 8.3.8.1.1

运用分配律。

$y = \frac{(x (x - 1) + 1 (x - 1)) e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

解题步骤 8.3.8.1.2

运用分配律。

$y = \frac{(x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)) e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

解题步骤 8.3.8.1.3

运用分配律。

$y = \frac{(x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

解题步骤 8.3.8.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 8.3.8.2.1

化简每一项。

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解题步骤 8.3.8.2.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$y = \frac{(x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

解题步骤 8.3.8.2.1.2

将 $- 1$ 移到 $x$ 的左侧。

$y = \frac{(x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1) e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

解题步骤 8.3.8.2.1.3

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$y = \frac{(x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1) e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

解题步骤 8.3.8.2.1.4

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{(x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1) e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

解题步骤 8.3.8.2.1.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{(x^{2} - x + x - 1) e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

解题步骤 8.3.8.2.2

将 $- x$ 和 $x$ 相加。

$y = \frac{(x^{2} + 0 - 1) e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

解题步骤 8.3.8.2.3

将 $x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$y = \frac{(x^{2} - 1) e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

解题步骤 8.3.8.3

运用分配律。

$y = \frac{x^{2} e^{x^{2}} - 1 e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

解题步骤 8.3.8.4

将 $- 1 e^{x^{2}}$ 重写为 $- e^{x^{2}}$ 。

$y = \frac{x^{2} e^{x^{2}} - e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

解题步骤 8.3.8.5

将 $2$ 移到 $C$ 的左侧。

$y = \frac{x^{2} e^{x^{2}} - e^{x^{2}} + 2 C}{2 e^{x^{2}}}$

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