微积分学示例

$y (\frac{d^{2} x}{d y^{2}}) = y^{2} + 1$

解题步骤 1

假设所有解都为 $x = e^{r y}$ 形式。

解题步骤 2

求 $y \frac{d^{2} x}{d y^{2}} = y^{2} + 1$ 的特征方程。

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解题步骤 2.1

求一阶导数。

$\frac{d x}{d y} = r e^{r y}$

解题步骤 2.2

求二阶导数。

$\frac{d^{2} x}{d y^{2}} = r^{2} e^{r y}$

解题步骤 2.3

代入微分方程。

$y (r^{2} e^{r y}) = y^{2} + 1$

解题步骤 2.4

将 $y (r^{2} e^{r y})$ 中的因式重新排序。

$y r^{2} e^{r y} = y^{2} + 1$

解题步骤 2.5

从 $y r^{2} e^{r y}$ 中分解出因数 $e^{r y}$ 。

$e^{r y} (y r^{2}) = y^{2} + 1$

解题步骤 2.6

由于指数永远不可能为零，在两边同时除以 $e^{r y}$ 。

$y r^{2} = y^{2} + 1$

解题步骤 3

求解 $r$ 。

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解题步骤 3.1

将 $y r^{2} = y^{2} + 1$ 中的每一项除以 $y$ 并化简。

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解题步骤 3.1.1

将 $y r^{2} = y^{2} + 1$ 中的每一项都除以 $y$ 。

$\frac{y r^{2}}{y} = \frac{y^{2}}{y} + \frac{1}{y}$

解题步骤 3.1.2

化简左边。

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解题步骤 3.1.2.1

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y r^{2}}{y} = \frac{y^{2}}{y} + \frac{1}{y}$

解题步骤 3.1.2.1.2

用 $r^{2}$ 除以 $1$ 。

$r^{2} = \frac{y^{2}}{y} + \frac{1}{y}$

解题步骤 3.1.3

化简右边。

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解题步骤 3.1.3.1

约去 $y^{2}$ 和 $y$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.3.1.1

从 $y^{2}$ 中分解出因数 $y$ 。

$r^{2} = \frac{y \cdot y}{y} + \frac{1}{y}$

解题步骤 3.1.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 3.1.3.1.2.1

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$r^{2} = \frac{y \cdot y}{y^{1}} + \frac{1}{y}$

解题步骤 3.1.3.1.2.2

从 $y^{1}$ 中分解出因数 $y$ 。

$r^{2} = \frac{y \cdot y}{y \cdot 1} + \frac{1}{y}$

解题步骤 3.1.3.1.2.3

约去公因数。

$r^{2} = \frac{y \cdot y}{y \cdot 1} + \frac{1}{y}$

解题步骤 3.1.3.1.2.4

重写表达式。

$r^{2} = \frac{y}{1} + \frac{1}{y}$

解题步骤 3.1.3.1.2.5

用 $y$ 除以 $1$ 。

$r^{2} = y + \frac{1}{y}$

解题步骤 3.2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$r = \pm \sqrt{y + \frac{1}{y}}$

解题步骤 3.3

化简 $\pm \sqrt{y + \frac{1}{y}}$ 。

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解题步骤 3.3.1

要将 $y$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{y}{y}$ 。

$r = \pm \sqrt{\frac{y \cdot y}{y} + \frac{1}{y}}$

解题步骤 3.3.2

在公分母上合并分子。

$r = \pm \sqrt{\frac{y \cdot y + 1}{y}}$

解题步骤 3.3.3

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$r = \pm \sqrt{\frac{y^{2} + 1}{y}}$

解题步骤 3.3.4

将 $\sqrt{\frac{y^{2} + 1}{y}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{y^{2} + 1}}{\sqrt{y}}$ 。

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1}}{\sqrt{y}}$

解题步骤 3.3.5

将 $\frac{\sqrt{y^{2} + 1}}{\sqrt{y}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ 。

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1}}{\sqrt{y}} \cdot \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$

解题步骤 3.3.6

合并和化简分母。

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解题步骤 3.3.6.1

将 $\frac{\sqrt{y^{2} + 1}}{\sqrt{y}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ 。

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{\sqrt{y} \sqrt{y}}$

解题步骤 3.3.6.2

对 $\sqrt{y}$ 进行 $1$ 次方运算。

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} \sqrt{y}}$

解题步骤 3.3.6.3

对 $\sqrt{y}$ 进行 $1$ 次方运算。

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} {\sqrt{y}}^{1}}$

解题步骤 3.3.6.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1 + 1}}$

解题步骤 3.3.6.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{2}}$

解题步骤 3.3.6.6

将 ${\sqrt{y}}^{2}$ 重写为 $y$ 。

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解题步骤 3.3.6.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{y}$ 重写成 $y^{\frac{1}{2}}$ 。

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 3.3.6.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{y^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 3.3.6.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 3.3.6.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.6.6.4.1

约去公因数。

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 3.3.6.6.4.2

重写表达式。

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{y^{1}}$

解题步骤 3.3.6.6.5

化简。

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{y}$

解题步骤 3.3.7

使用根数乘积法则进行合并。

$r = \pm \frac{\sqrt{(y^{2} + 1) y}}{y}$

解题步骤 3.3.8

将 $\pm \frac{\sqrt{(y^{2} + 1) y}}{y}$ 中的因式重新排序。

$r = \pm \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$

解题步骤 3.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$r = \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$

解题步骤 3.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$r = - \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$

解题步骤 3.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$r = \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$

$r = - \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$

$r = \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$

$r = - \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$

$r = \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$

$r = - \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$

解题步骤 4

使用求到的两个 $r$ 值，可以构建两个解。

$x_{1} = e^{\frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y} y}$

$x_{2} = e^{- \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y} y}$

解题步骤 5

根据叠加原理，二阶齐次线性微分方程的通解是其两个解的线性组合。

$x = c_{1} e^{\frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y} y} + c_{2} e^{- \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y} y}$

解题步骤 6

化简每一项。

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解题步骤 6.1

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.1

约去公因数。

$x = c_{1} e^{\frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y} y} + c_{2} e^{- \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y} y}$

解题步骤 6.1.2

重写表达式。

$x = c_{1} e^{\sqrt{y (y^{2} + 1)}} + c_{2} e^{- \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y} y}$

解题步骤 6.2

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1

将 $- \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$ 中前置负号移到分子中。

$x = c_{1} e^{\sqrt{y (y^{2} + 1)}} + c_{2} e^{\frac{- \sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y} y}$

解题步骤 6.2.2

约去公因数。

$x = c_{1} e^{\sqrt{y (y^{2} + 1)}} + c_{2} e^{\frac{- \sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y} y}$

解题步骤 6.2.3

重写表达式。

$x = c_{1} e^{\sqrt{y (y^{2} + 1)}} + c_{2} e^{- \sqrt{y (y^{2} + 1)}}$

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