微积分学示例

$x (1 + x^{2}) d x + y (1 + y^{2}) d y = 0$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $x (1 + x^{2}) d x$ 。

$y (1 + y^{2}) d y = - x (1 + x^{2}) d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int y (1 + y^{2}) d y = \int - x (1 + x^{2}) d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

化简。

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解题步骤 2.2.1.1

运用分配律。

$\int y \cdot 1 + y \cdot y^{2} d y = \int - x (1 + x^{2}) d x$

解题步骤 2.2.1.2

将 $y$ 和 $1$ 重新排序。

$\int 1 \cdot y + y \cdot y^{2} d y = \int - x (1 + x^{2}) d x$

解题步骤 2.2.1.3

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$\int y + y \cdot y^{2} d y = \int - x (1 + x^{2}) d x$

解题步骤 2.2.1.4

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int y + y^{1} y^{2} d y = \int - x (1 + x^{2}) d x$

解题步骤 2.2.1.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int y + y^{1 + 2} d y = \int - x (1 + x^{2}) d x$

解题步骤 2.2.1.6

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\int y + y^{3} d y = \int - x (1 + x^{2}) d x$

解题步骤 2.2.1.7

将 $y$ 和 $y^{3}$ 重新排序。

$\int y^{3} + y d y = \int - x (1 + x^{2}) d x$

解题步骤 2.2.2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int y^{3} d y + \int y d y = \int - x (1 + x^{2}) d x$

解题步骤 2.2.3

根据幂法则， $y^{3}$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{4} y^{4}$ 。

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} + \int y d y = \int - x (1 + x^{2}) d x$

解题步骤 2.2.4

根据幂法则， $y$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{2} y^{2}$ 。

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{2} = \int - x (1 + x^{2}) d x$

解题步骤 2.2.5

化简。

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int - x (1 + x^{2}) d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

使 $u = 1 + x^{2}$ 。然后使 $d u = 2 x d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = x d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.1.1

设 $u = 1 + x^{2}$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.3.1.1.1

对 $1 + x^{2}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

解题步骤 2.3.1.1.2

根据加法法则， $1 + x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2.3.1.1.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2.3.1.1.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$0 + 2 x$

解题步骤 2.3.1.1.5

将 $0$ 和 $2 x$ 相加。

$2 x$

解题步骤 2.3.1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int - u \frac{1}{2} d u$

解题步骤 2.3.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $u$ 。

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int - \frac{u}{2} d u$

解题步骤 2.3.3

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = - \int \frac{u}{2} d u$

解题步骤 2.3.4

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = - (\frac{1}{2} \int u d u)$

解题步骤 2.3.5

根据幂法则， $u$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{2} u^{2}$ 。

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} u^{2} + C_{4})$

解题步骤 2.3.6

化简。

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解题步骤 2.3.6.1

将 $- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} u^{2} + C_{4})$ 重写为 $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C_{4}$ 。

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C_{4}$

解题步骤 2.3.6.2

化简。

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解题步骤 2.3.6.2.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = - \frac{1}{2 \cdot 2} u^{2} + C_{4}$

解题步骤 2.3.6.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = - \frac{1}{4} u^{2} + C_{4}$

解题步骤 2.3.7

使用 $1 + x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = - \frac{1}{4} {(1 + x^{2})}^{2} + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} = - \frac{1}{4} {(1 + x^{2})}^{2} + K$

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