微积分学示例

$\frac{d r}{d θ} = \csc^{2} (7 θ) \cot (7 θ)$ , $r (\frac{π}{4}) = 3$

解题步骤 1

重写该方程。

$d r = \csc^{2} (7 θ) \cot (7 θ) d θ$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d r = \int \csc^{2} (7 θ) \cot (7 θ) d θ$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$r + C_{1} = \int \csc^{2} (7 θ) \cot (7 θ) d θ$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

使 $u_{2} = \csc (7 θ)$ 。然后使 $d u_{2} = - 7 \cot (7 θ) \csc (7 θ) d θ$ ，以便 $- \frac{1}{7} d u_{2} = \cot (7 θ) \csc (7 θ) d θ$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.1.1

设 $u_{2} = \csc (7 θ)$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d θ}$ 。

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解题步骤 2.3.1.1.1

对 $\csc (7 θ)$ 求导。

$\frac{d}{d θ} [\csc (7 θ)]$

解题步骤 2.3.1.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ 等于 $f' (g (θ)) g' (θ)$ ，其中 $f (θ) = \csc (θ)$ 且 $g (θ) = 7 θ$ 。

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解题步骤 2.3.1.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $7 θ$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\csc (u_{1})] \frac{d}{d θ} [7 θ]$

解题步骤 2.3.1.1.2.2

$\csc (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $- \csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ 。

$- \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{d}{d θ} [7 θ]$

解题步骤 2.3.1.1.2.3

使用 $7 θ$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$- \csc (7 θ) \cot (7 θ) \frac{d}{d θ} [7 θ]$

解题步骤 2.3.1.1.3

求微分。

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解题步骤 2.3.1.1.3.1

因为 $7$ 对于 $θ$ 是常数，所以 $7 θ$ 对 $θ$ 的导数是 $7 \frac{d}{d θ} [θ]$ 。

$- \csc (7 θ) \cot (7 θ) (7 \frac{d}{d θ} [θ])$

解题步骤 2.3.1.1.3.2

将 $7$ 乘以 $- 1$ 。

$- 7 \csc (7 θ) \cot (7 θ) \frac{d}{d θ} [θ]$

解题步骤 2.3.1.1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ 等于 $n θ^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 7 \csc (7 θ) \cot (7 θ) \cdot 1$

解题步骤 2.3.1.1.3.4

化简表达式。

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解题步骤 2.3.1.1.3.4.1

将 $- 7$ 乘以 $1$ 。

$- 7 \csc (7 θ) \cot (7 θ)$

解题步骤 2.3.1.1.3.4.2

重新排序 $- 7 \csc (7 θ) \cot (7 θ)$ 的因式。

$- 7 \cot (7 θ) \csc (7 θ)$

解题步骤 2.3.1.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$r + C_{1} = \int u_{2} \frac{1}{- 7} d u_{2}$

解题步骤 2.3.2

化简。

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解题步骤 2.3.2.1

将负号移到分数的前面。

$r + C_{1} = \int u_{2} (- \frac{1}{7}) d u_{2}$

解题步骤 2.3.2.2

组合 $u_{2}$ 和 $\frac{1}{7}$ 。

$r + C_{1} = \int - \frac{u_{2}}{7} d u_{2}$

解题步骤 2.3.3

由于 $- 1$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$r + C_{1} = - \int \frac{u_{2}}{7} d u_{2}$

解题步骤 2.3.4

由于 $\frac{1}{7}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{7}$ 移到积分外。

$r + C_{1} = - (\frac{1}{7} \int u_{2} d u_{2})$

解题步骤 2.3.5

根据幂法则， $u_{2}$ 对 $u_{2}$ 的积分是 $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ 。

$r + C_{1} = - \frac{1}{7} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C_{2})$

解题步骤 2.3.6

化简。

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解题步骤 2.3.6.1

将 $- \frac{1}{7} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C_{2})$ 重写为 $- \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C_{2}$ 。

$r + C_{1} = - \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C_{2}$

解题步骤 2.3.6.2

化简。

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解题步骤 2.3.6.2.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{7}$ 。

$r + C_{1} = - \frac{1}{2 \cdot 7} {u_{2}}^{2} + C_{2}$

解题步骤 2.3.6.2.2

将 $2$ 乘以 $7$ 。

$r + C_{1} = - \frac{1}{14} {u_{2}}^{2} + C_{2}$

解题步骤 2.3.7

使用 $\csc (7 θ)$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$r + C_{1} = - \frac{1}{14} \csc^{2} (7 θ) + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$r = - \frac{1}{14} \csc^{2} (7 θ) + K$

解题步骤 3

使用初始条件，通过将 $\frac{π}{4}$ 代入 $θ$ ，将 $3$ 代入 $r$ ，在 $r = - \frac{1}{14} \csc^{2} (7 θ) + K$ 中求 $K$ 的值。

$3 = - \frac{1}{14} \csc^{2} (7 \frac{π}{4}) + K$

解题步骤 4

求解 $K$ 。

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解题步骤 4.1

将方程重写为 $- \frac{1}{14} \cdot \csc^{2} (7 (\frac{π}{4})) + K = 3$ 。

$- \frac{1}{14} \cdot \csc^{2} (7 (\frac{π}{4})) + K = 3$

解题步骤 4.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

组合 $7$ 和 $\frac{π}{4}$ 。

$- \frac{1}{14} \cdot \csc^{2} (\frac{7 π}{4}) + K = 3$

解题步骤 4.2.1.2

通过在第一象限中求出具有同样三角函数值的角来应用参考角。将表达式变为负，因为余割在第四象限为负。

$- \frac{1}{14} \cdot {(- \csc (\frac{π}{4}))}^{2} + K = 3$

解题步骤 4.2.1.3

$\csc (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\sqrt{2}$ 。

$- \frac{1}{14} \cdot {(- \sqrt{2})}^{2} + K = 3$

解题步骤 4.2.1.4

对 $- \sqrt{2}$ 运用乘积法则。

$- \frac{1}{14} \cdot ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}) + K = 3$

解题步骤 4.2.1.5

通过指数相加将 $- 1$ 乘以 ${(- 1)}^{2}$ 。

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解题步骤 4.2.1.5.1

移动 ${(- 1)}^{2}$ 。

${(- 1)}^{2} \cdot - 1 \frac{1}{14} \cdot {\sqrt{2}}^{2} + K = 3$

解题步骤 4.2.1.5.2

将 ${(- 1)}^{2}$ 乘以 $- 1$ 。

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解题步骤 4.2.1.5.2.1

对 $- 1$ 进行 $1$ 次方运算。

${(- 1)}^{2} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{1}{14} \cdot {\sqrt{2}}^{2} + K = 3$

解题步骤 4.2.1.5.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

${(- 1)}^{2 + 1} \frac{1}{14} \cdot {\sqrt{2}}^{2} + K = 3$

解题步骤 4.2.1.5.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

${(- 1)}^{3} \frac{1}{14} \cdot {\sqrt{2}}^{2} + K = 3$

解题步骤 4.2.1.6

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$- \frac{1}{14} \cdot {\sqrt{2}}^{2} + K = 3$

解题步骤 4.2.1.7

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 4.2.1.7.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$- \frac{1}{14} \cdot {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + K = 3$

解题步骤 4.2.1.7.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{1}{14} \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + K = 3$

解题步骤 4.2.1.7.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$- \frac{1}{14} \cdot 2^{\frac{2}{2}} + K = 3$

解题步骤 4.2.1.7.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.7.4.1

约去公因数。

$- \frac{1}{14} \cdot 2^{\frac{2}{2}} + K = 3$

解题步骤 4.2.1.7.4.2

重写表达式。

$- \frac{1}{14} \cdot 2^{1} + K = 3$

解题步骤 4.2.1.7.5

计算指数。

$- \frac{1}{14} \cdot 2 + K = 3$

解题步骤 4.2.1.8

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.8.1

将 $- \frac{1}{14}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- 1}{14} \cdot 2 + K = 3$

解题步骤 4.2.1.8.2

从 $14$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{- 1}{2 (7)} \cdot 2 + K = 3$

解题步骤 4.2.1.8.3

约去公因数。

$\frac{- 1}{2 \cdot 7} \cdot 2 + K = 3$

解题步骤 4.2.1.8.4

重写表达式。

$\frac{- 1}{7} + K = 3$

解题步骤 4.2.1.9

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{7} + K = 3$

解题步骤 4.3

将所有不包含 $K$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 4.3.1

在等式两边都加上 $\frac{1}{7}$ 。

$K = 3 + \frac{1}{7}$

解题步骤 4.3.2

要将 $3$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{7}{7}$ 。

$K = 3 \cdot \frac{7}{7} + \frac{1}{7}$

解题步骤 4.3.3

组合 $3$ 和 $\frac{7}{7}$ 。

$K = \frac{3 \cdot 7}{7} + \frac{1}{7}$

解题步骤 4.3.4

在公分母上合并分子。

$K = \frac{3 \cdot 7 + 1}{7}$

解题步骤 4.3.5

化简分子。

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解题步骤 4.3.5.1

将 $3$ 乘以 $7$ 。

$K = \frac{21 + 1}{7}$

解题步骤 4.3.5.2

将 $21$ 和 $1$ 相加。

$K = \frac{22}{7}$

解题步骤 5

代入 $\frac{22}{7}$ 替换 $r = - \frac{1}{14} \csc^{2} (7 θ) + K$ 中的 $K$ 并化简。

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解题步骤 5.1

代入 $\frac{22}{7}$ 替换 $K$ 。

$r = - \frac{1}{14} \csc^{2} (7 θ) + \frac{22}{7}$

解题步骤 5.2

组合 $\csc^{2} (7 θ)$ 和 $\frac{1}{14}$ 。

$r = - \frac{\csc^{2} (7 θ)}{14} + \frac{22}{7}$

微积分学 示例

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