微积分学示例

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} - x y^{2} = 0$

解题步骤 1

重写微分方程以符合伯努利方程。

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解题步骤 1.1

在等式两边都加上 $x y^{2}$ 。

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = x y^{2}$

解题步骤 1.2

从 $\frac{y}{x}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{x} = x y^{2}$

解题步骤 1.3

将 $y$ 和 $\frac{1}{x}$ 重新排序。

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = x y^{2}$

解题步骤 2

要解微分方程，设 $v = y^{1 - n}$ ，其中 $n$ 是 $y^{2}$ 的指数。

$v = y^{- 1}$

解题步骤 3

求解 $y$ 的方程。

$y = v^{- 1}$

解题步骤 4

取 $y$ 对 $x$ 的导数。

$y' = v^{- 1}$

解题步骤 5

取 $v^{- 1}$ 对 $x$ 的导数。

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解题步骤 5.1

取 $v^{- 1}$ 的导数。

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- 1}]$

解题步骤 5.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v}]$

解题步骤 5.3

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 1$ 且 $g (x) = v$ 。

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

解题步骤 5.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 5.4.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

解题步骤 5.4.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$y' = \frac{v \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

解题步骤 5.4.3

化简表达式。

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解题步骤 5.4.3.1

将 $v$ 乘以 $0$ 。

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

解题步骤 5.4.3.2

从 $0$ 中减去 $\frac{d}{d x} [v]$ 。

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

解题步骤 5.4.3.3

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

解题步骤 5.5

将 $\frac{d}{d x} [v]$ 重写为 $v'$ 。

$y' = - \frac{v'}{v^{2}}$

解题步骤 6

在原方程 $\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = x y^{2}$ 中将 $\frac{d y}{d x}$ 替换成 $- \frac{v'}{v^{2}}$ 并且将 $y$ 替换成 $v^{- 1}$ 。

$- \frac{v'}{v^{2}} + \frac{1}{x} v^{- 1} = x {(v^{- 1})}^{2}$

解题步骤 7

求解代入的微分方程。

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解题步骤 7.1

将微分方程重写为 $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ 。

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解题步骤 7.1.1

将 $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + \frac{1}{x} v^{- 1} = x {(v^{- 1})}^{2}$ 中的每一项乘以 $- v^{2}$ 以消去分数。

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解题步骤 7.1.1.1

将 $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + \frac{1}{x} v^{- 1} = x {(v^{- 1})}^{2}$ 中的每一项乘以 $- v^{2}$ 。

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) + \frac{1}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

解题步骤 7.1.1.2

化简左边。

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解题步骤 7.1.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.1.1.2.1.1

约去 $v^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 7.1.1.2.1.1.1

将 $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) + \frac{1}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

解题步骤 7.1.1.2.1.1.2

从 $- v^{2}$ 中分解出因数 $v^{2}$ 。

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) + \frac{1}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

解题步骤 7.1.1.2.1.1.3

约去公因数。

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) + \frac{1}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

解题步骤 7.1.1.2.1.1.4

重写表达式。

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 + \frac{1}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

解题步骤 7.1.1.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

解题步骤 7.1.1.2.1.3

将 $\frac{d v}{d x}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

解题步骤 7.1.1.2.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} v^{- 1} v^{2} = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

解题步骤 7.1.1.2.1.5

通过指数相加将 $v^{- 1}$ 乘以 $v^{2}$ 。

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解题步骤 7.1.1.2.1.5.1

移动 $v^{2}$ 。

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} (v^{2} v^{- 1}) = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

解题步骤 7.1.1.2.1.5.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} v^{2 - 1} = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

解题步骤 7.1.1.2.1.5.3

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} v^{1} = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

解题步骤 7.1.1.2.1.6

化简 $- \frac{1}{x} v^{1}$ 。

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} v = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

解题步骤 7.1.1.2.1.7

组合 $v$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

解题步骤 7.1.1.3

化简右边。

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解题步骤 7.1.1.3.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = - x {(v^{- 1})}^{2} v^{2}$

解题步骤 7.1.1.3.2

将 ${(v^{- 1})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 7.1.1.3.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = - x v^{- 1 \cdot 2} v^{2}$

解题步骤 7.1.1.3.2.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = - x v^{- 2} v^{2}$

解题步骤 7.1.1.3.3

通过指数相加将 $v^{- 2}$ 乘以 $v^{2}$ 。

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解题步骤 7.1.1.3.3.1

移动 $v^{2}$ 。

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = - x (v^{2} v^{- 2})$

解题步骤 7.1.1.3.3.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = - x v^{2 - 2}$

解题步骤 7.1.1.3.3.3

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = - x v^{0}$

解题步骤 7.1.1.3.4

化简 $- x v^{0}$ 。

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = - x$

解题步骤 7.1.2

从 $- \frac{v}{x}$ 中分解出因数 $v$ 。

$\frac{d v}{d x} + v (- \frac{1}{x}) = - x$

解题步骤 7.1.3

将 $v$ 和 $- \frac{1}{x}$ 重新排序。

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} v = - x$

解题步骤 7.2

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = - \frac{1}{x}$ 。

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解题步骤 7.2.1

建立积分。

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

解题步骤 7.2.2

对 $- \frac{1}{x}$ 积分。

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解题步骤 7.2.2.1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

解题步骤 7.2.2.2

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

解题步骤 7.2.2.3

化简。

$e^{- \ln (| x |) + C}$

解题步骤 7.2.3

去掉积分常数。

$e^{- \ln (x)}$

解题步骤 7.2.4

使用对数幂法则。

$e^{\ln (x^{- 1})}$

解题步骤 7.2.5

指数函数和对数函数互为反函数。

$x^{- 1}$

解题步骤 7.2.6

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1}{x}$

解题步骤 7.3

每一项乘以积分因数 $\frac{1}{x}$ 。

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解题步骤 7.3.1

每一项乘以 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{1}{x} \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} v) = \frac{1}{x} (- x)$

解题步骤 7.3.2

化简每一项。

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解题步骤 7.3.2.1

组合 $\frac{1}{x}$ 和 $\frac{d v}{d x}$ 。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} v) = \frac{1}{x} (- x)$

解题步骤 7.3.2.2

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} v) = \frac{1}{x} (- x)$

解题步骤 7.3.2.3

组合 $\frac{1}{x}$ 和 $v$ 。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{v}{x} = \frac{1}{x} (- x)$

解题步骤 7.3.2.4

乘以 $- \frac{1}{x} \cdot \frac{v}{x}$ 。

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解题步骤 7.3.2.4.1

将 $\frac{v}{x}$ 乘以 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x \cdot x} = \frac{1}{x} (- x)$

解题步骤 7.3.2.4.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{1} x} = \frac{1}{x} (- x)$

解题步骤 7.3.2.4.3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} (- x)$

解题步骤 7.3.2.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} (- x)$

解题步骤 7.3.2.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{1}{x} (- x)$

解题步骤 7.3.3

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = - \frac{1}{x} x$

解题步骤 7.3.4

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.4.1

将 $- \frac{1}{x}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{- 1}{x} x$

解题步骤 7.3.4.2

约去公因数。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{- 1}{x} x$

解题步骤 7.3.4.3

重写表达式。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = - 1$

解题步骤 7.4

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} v] = - 1$

解题步骤 7.5

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} v] d x = \int - 1 d x$

解题步骤 7.6

对左边积分。

$\frac{1}{x} v = \int - 1 d x$

解题步骤 7.7

应用常数不变法则。

$\frac{1}{x} v = - x + C$

解题步骤 7.8

求解 $v$ 。

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解题步骤 7.8.1

组合 $\frac{1}{x}$ 和 $v$ 。

$\frac{v}{x} = - x + C$

解题步骤 7.8.2

两边同时乘以 $x$ 。

$\frac{v}{x} x = (- x + C) x$

解题步骤 7.8.3

化简。

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解题步骤 7.8.3.1

化简左边。

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解题步骤 7.8.3.1.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 7.8.3.1.1.1

约去公因数。

$\frac{v}{x} x = (- x + C) x$

解题步骤 7.8.3.1.1.2

重写表达式。

$v = (- x + C) x$

解题步骤 7.8.3.2

化简右边。

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解题步骤 7.8.3.2.1

化简 $(- x + C) x$ 。

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解题步骤 7.8.3.2.1.1

运用分配律。

$v = - x \cdot x + C x$

解题步骤 7.8.3.2.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 7.8.3.2.1.2.1

移动 $x$ 。

$v = - (x \cdot x) + C x$

解题步骤 7.8.3.2.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$v = - x^{2} + C x$

解题步骤 7.8.3.2.1.3

将 $- x^{2}$ 和 $C x$ 重新排序。

$v = C x - x^{2}$

解题步骤 8

代入 $y^{- 1}$ 替换 $v$ 。

$y^{- 1} = C x - x^{2}$

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