微积分学示例

$\frac{d y}{d x} + x y = 6 x \sqrt{y}$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{y}$ 重写成 $y^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d y}{d x} + x y = 6 x y^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 2

要解微分方程，设 $v = y^{1 - n}$ ，其中 $n$ 是 $y^{\frac{1}{2}}$ 的指数。

$v = y^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 3

求解 $y$ 的方程。

$y = v^{2}$

解题步骤 4

取 $y$ 对 $x$ 的导数。

$y' = v^{2}$

解题步骤 5

取 $v^{2}$ 对 $x$ 的导数。

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解题步骤 5.1

取 $v^{2}$ 的导数。

$y' = \frac{d}{d x} [v^{2}]$

解题步骤 5.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = v$ 。

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解题步骤 5.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $v$ 。

$y' = \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [v]$

解题步骤 5.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$y' = 2 u_{1} \frac{d}{d x} [v]$

解题步骤 5.2.3

使用 $v$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$y' = 2 v \frac{d}{d x} [v]$

解题步骤 5.3

将 $\frac{d}{d x} [v]$ 重写为 $v'$ 。

$y' = 2 v v'$

解题步骤 6

在原方程 $\frac{d y}{d x} + x y = 6 x y^{\frac{1}{2}}$ 中将 $\frac{d y}{d x}$ 替换成 $2 v v'$ 并且将 $y$ 替换成 $v^{2}$ 。

$2 v v' + x v^{2} = 6 x {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 7

求解代入的微分方程。

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解题步骤 7.1

分离变量。

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解题步骤 7.1.1

求解 $\frac{d v}{d x}$ 。

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解题步骤 7.1.1.1

化简 $6 x {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 7.1.1.1.1

将 ${(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 7.1.1.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$2 v \frac{d v}{d x} + x v^{2} = 6 x v^{2 (\frac{1}{2})}$

解题步骤 7.1.1.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.1.1.1.1.2.1

约去公因数。

$2 v \frac{d v}{d x} + x v^{2} = 6 x v^{2 (\frac{1}{2})}$

解题步骤 7.1.1.1.1.2.2

重写表达式。

$2 v \frac{d v}{d x} + x v^{2} = 6 x v^{1}$

解题步骤 7.1.1.1.2

化简。

$2 v \frac{d v}{d x} + x v^{2} = 6 x v$

解题步骤 7.1.1.2

从等式两边同时减去 $x v^{2}$ 。

$2 v \frac{d v}{d x} = 6 x v - x v^{2}$

解题步骤 7.1.1.3

将 $2 v \frac{d v}{d x} = 6 x v - x v^{2}$ 中的每一项除以 $2 v$ 并化简。

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解题步骤 7.1.1.3.1

将 $2 v \frac{d v}{d x} = 6 x v - x v^{2}$ 中的每一项都除以 $2 v$ 。

$\frac{2 v \frac{d v}{d x}}{2 v} = \frac{6 x v}{2 v} + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

解题步骤 7.1.1.3.2

化简左边。

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解题步骤 7.1.1.3.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.1.1.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 v \frac{d v}{d x}}{2 v} = \frac{6 x v}{2 v} + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

解题步骤 7.1.1.3.2.1.2

重写表达式。

$\frac{v \frac{d v}{d x}}{v} = \frac{6 x v}{2 v} + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

解题步骤 7.1.1.3.2.2

约去 $v$ 的公因数。

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解题步骤 7.1.1.3.2.2.1

约去公因数。

$\frac{v \frac{d v}{d x}}{v} = \frac{6 x v}{2 v} + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

解题步骤 7.1.1.3.2.2.2

用 $\frac{d v}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d v}{d x} = \frac{6 x v}{2 v} + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

解题步骤 7.1.1.3.3

化简右边。

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解题步骤 7.1.1.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 7.1.1.3.3.1.1

约去 $6$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.1.1.3.3.1.1.1

从 $6 x v$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{d v}{d x} = \frac{2 (3 x v)}{2 v} + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

解题步骤 7.1.1.3.3.1.1.2

约去公因数。

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解题步骤 7.1.1.3.3.1.1.2.1

从 $2 v$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{d v}{d x} = \frac{2 (3 x v)}{2 (v)} + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

解题步骤 7.1.1.3.3.1.1.2.2

约去公因数。

$\frac{d v}{d x} = \frac{2 (3 x v)}{2 v} + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

解题步骤 7.1.1.3.3.1.1.2.3

重写表达式。

$\frac{d v}{d x} = \frac{3 x v}{v} + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

解题步骤 7.1.1.3.3.1.2

约去 $v$ 的公因数。

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解题步骤 7.1.1.3.3.1.2.1

约去公因数。

$\frac{d v}{d x} = \frac{3 x v}{v} + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

解题步骤 7.1.1.3.3.1.2.2

用 $3 x$ 除以 $1$ 。

$\frac{d v}{d x} = 3 x + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

解题步骤 7.1.1.3.3.1.3

约去 $v^{2}$ 和 $v$ 的公因数。

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解题步骤 7.1.1.3.3.1.3.1

从 $- x v^{2}$ 中分解出因数 $v$ 。

$\frac{d v}{d x} = 3 x + \frac{v (- x v)}{2 v}$

解题步骤 7.1.1.3.3.1.3.2

约去公因数。

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解题步骤 7.1.1.3.3.1.3.2.1

从 $2 v$ 中分解出因数 $v$ 。

$\frac{d v}{d x} = 3 x + \frac{v (- x v)}{v \cdot 2}$

解题步骤 7.1.1.3.3.1.3.2.2

约去公因数。

$\frac{d v}{d x} = 3 x + \frac{v (- x v)}{v \cdot 2}$

解题步骤 7.1.1.3.3.1.3.2.3

重写表达式。

$\frac{d v}{d x} = 3 x + \frac{- x v}{2}$

解题步骤 7.1.1.3.3.1.4

将负号移到分数的前面。

$\frac{d v}{d x} = 3 x - \frac{x v}{2}$

解题步骤 7.1.2

因数。

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解题步骤 7.1.2.1

从 $3 x - \frac{x v}{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 7.1.2.1.1

从 $3 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{d v}{d x} = x \cdot 3 - \frac{x v}{2}$

解题步骤 7.1.2.1.2

从 $- \frac{x v}{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{d v}{d x} = x \cdot 3 + x (- \frac{v}{2})$

解题步骤 7.1.2.1.3

从 $x \cdot 3 + x (- \frac{v}{2})$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{d v}{d x} = x (3 - \frac{v}{2})$

解题步骤 7.1.2.2

要将 $3$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{d v}{d x} = x (3 \cdot \frac{2}{2} - \frac{v}{2})$

解题步骤 7.1.2.3

组合 $3$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{d v}{d x} = x (\frac{3 \cdot 2}{2} - \frac{v}{2})$

解题步骤 7.1.2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{d v}{d x} = x \frac{3 \cdot 2 - v}{2}$

解题步骤 7.1.2.5

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{d v}{d x} = x \frac{6 - v}{2}$

解题步骤 7.1.3

两边同时乘以 $\frac{2}{6 - v}$ 。

$\frac{2}{6 - v} \frac{d v}{d x} = \frac{2}{6 - v} (x \frac{6 - v}{2})$

解题步骤 7.1.4

化简。

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解题步骤 7.1.4.1

组合 $x$ 和 $\frac{6 - v}{2}$ 。

$\frac{2}{6 - v} \frac{d v}{d x} = \frac{2}{6 - v} \cdot \frac{x (6 - v)}{2}$

解题步骤 7.1.4.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.1.4.2.1

约去公因数。

$\frac{2}{6 - v} \frac{d v}{d x} = \frac{2}{6 - v} \cdot \frac{x (6 - v)}{2}$

解题步骤 7.1.4.2.2

重写表达式。

$\frac{2}{6 - v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{6 - v} (x (6 - v))$

解题步骤 7.1.4.3

约去 $6 - v$ 的公因数。

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解题步骤 7.1.4.3.1

从 $x (6 - v)$ 中分解出因数 $6 - v$ 。

$\frac{2}{6 - v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{6 - v} ((6 - v) x)$

解题步骤 7.1.4.3.2

约去公因数。

$\frac{2}{6 - v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{6 - v} ((6 - v) x)$

解题步骤 7.1.4.3.3

重写表达式。

$\frac{2}{6 - v} \frac{d v}{d x} = x$

解题步骤 7.1.5

重写该方程。

$\frac{2}{6 - v} d v = x d x$

解题步骤 7.2

对两边积分。

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解题步骤 7.2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{2}{6 - v} d v = \int x d x$

解题步骤 7.2.2

对左边积分。

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解题步骤 7.2.2.1

由于 $2$ 对于 $v$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int \frac{1}{6 - v} d v = \int x d x$

解题步骤 7.2.2.2

使 $u_{2} = 6 - v$ 。然后使 $d u_{2} = - d v$ ，以便 $- d u_{2} = d v$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 7.2.2.2.1

设 $u_{2} = 6 - v$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d v}$ 。

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解题步骤 7.2.2.2.1.1

重写。

$\frac{- 1}{1}$

解题步骤 7.2.2.2.1.2

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 7.2.2.2.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$2 \int \frac{- 1}{u_{2}} d u_{2} = \int x d x$

解题步骤 7.2.2.3

将负号移到分数的前面。

$2 \int - \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int x d x$

解题步骤 7.2.2.4

由于 $- 1$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$2 (- \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}) = \int x d x$

解题步骤 7.2.2.5

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 2 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int x d x$

解题步骤 7.2.2.6

$\frac{1}{u_{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $\ln (| u_{2} |)$ 。

$- 2 (\ln (| u_{2} |) + C_{1}) = \int x d x$

解题步骤 7.2.2.7

化简。

$- 2 \ln (| u_{2} |) + C_{1} = \int x d x$

解题步骤 7.2.2.8

使用 $6 - v$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$- 2 \ln (| 6 - v |) + C_{1} = \int x d x$

解题步骤 7.2.3

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$- 2 \ln (| 6 - v |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

解题步骤 7.2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$- 2 \ln (| 6 - v |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

解题步骤 7.3

求解 $v$ 。

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解题步骤 7.3.1

将 $- 2 \ln (| 6 - v |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$ 中的每一项除以 $- 2$ 并化简。

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解题步骤 7.3.1.1

将 $- 2 \ln (| 6 - v |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$ 中的每一项都除以 $- 2$ 。

$\frac{- 2 \ln (| 6 - v |)}{- 2} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 2} + \frac{C}{- 2}$

解题步骤 7.3.1.2

化简左边。

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解题步骤 7.3.1.2.1

约去 $- 2$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 2 \ln (| 6 - v |)}{- 2} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 2} + \frac{C}{- 2}$

解题步骤 7.3.1.2.1.2

用 $\ln (| 6 - v |)$ 除以 $1$ 。

$\ln (| 6 - v |) = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 2} + \frac{C}{- 2}$

解题步骤 7.3.1.3

化简右边。

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解题步骤 7.3.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 7.3.1.3.1.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$\ln (| 6 - v |) = \frac{\frac{x^{2}}{2}}{- 2} + \frac{C}{- 2}$

解题步骤 7.3.1.3.1.2

将分子乘以分母的倒数。

$\ln (| 6 - v |) = \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{- 2} + \frac{C}{- 2}$

解题步骤 7.3.1.3.1.3

合并。

$\ln (| 6 - v |) = \frac{x^{2} \cdot 1}{2 \cdot - 2} + \frac{C}{- 2}$

解题步骤 7.3.1.3.1.4

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\ln (| 6 - v |) = \frac{x^{2}}{2 \cdot - 2} + \frac{C}{- 2}$

解题步骤 7.3.1.3.1.5

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$\ln (| 6 - v |) = \frac{x^{2}}{- 4} + \frac{C}{- 2}$

解题步骤 7.3.1.3.1.6

将负号移到分数的前面。

$\ln (| 6 - v |) = - \frac{x^{2}}{4} + \frac{C}{- 2}$

解题步骤 7.3.1.3.1.7

将负号移到分数的前面。

$\ln (| 6 - v |) = - \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}$

解题步骤 7.3.2

要求解 $v$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (| 6 - v |)} = e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}$

解题步骤 7.3.3

使用对数的定义将 $\ln (| 6 - v |) = - \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}} = | 6 - v |$

解题步骤 7.3.4

求解 $v$ 。

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解题步骤 7.3.4.1

将方程重写为 $| 6 - v | = e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}$ 。

$| 6 - v | = e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}$

解题步骤 7.3.4.2

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$6 - v = \pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}$

解题步骤 7.3.4.3

从等式两边同时减去 $6$ 。

$- v = \pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}} - 6$

解题步骤 7.3.4.4

将 $- v = \pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}} - 6$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 7.3.4.4.1

将 $- v = \pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}} - 6$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- v}{- 1} = \frac{\pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}}{- 1} + \frac{- 6}{- 1}$

解题步骤 7.3.4.4.2

化简左边。

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解题步骤 7.3.4.4.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{v}{1} = \frac{\pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}}{- 1} + \frac{- 6}{- 1}$

解题步骤 7.3.4.4.2.2

用 $v$ 除以 $1$ 。

$v = \frac{\pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}}{- 1} + \frac{- 6}{- 1}$

解题步骤 7.3.4.4.3

化简右边。

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解题步骤 7.3.4.4.3.1

化简每一项。

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解题步骤 7.3.4.4.3.1.1

移动 $\frac{\pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}}{- 1}$ 中分母的负号。

$v = - 1 \cdot (\pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}) + \frac{- 6}{- 1}$

解题步骤 7.3.4.4.3.1.2

将 $- 1 \cdot (\pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}})$ 重写为 $- (\pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}})$ 。

$v = - (\pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}) + \frac{- 6}{- 1}$

解题步骤 7.3.4.4.3.1.3

用 $- 6$ 除以 $- 1$ 。

$v = - (\pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}) + 6$

解题步骤 7.4

将常数项组合在一起。

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解题步骤 7.4.1

化简积分常数。

$v = - (\pm e^{- \frac{x^{2}}{4} + C}) + 6$

解题步骤 7.4.2

将 $e^{- \frac{x^{2}}{4} + C}$ 重写为 $e^{- \frac{x^{2}}{4}} e^{C}$ 。

$v = - (\pm e^{- \frac{x^{2}}{4}} e^{C}) + 6$

解题步骤 7.4.3

将 $e^{- \frac{x^{2}}{4}}$ 和 $e^{C}$ 重新排序。

$v = - (\pm e^{C} e^{- \frac{x^{2}}{4}}) + 6$

解题步骤 7.4.4

用加号或减号合并常数。

$v = - (C e^{- \frac{x^{2}}{4}}) + 6$

解题步骤 8

代入 $y^{\frac{1}{2}}$ 替换 $v$ 。

$y^{\frac{1}{2}} = - (C e^{- \frac{x^{2}}{4}}) + 6$

微积分学 示例

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