微积分学示例

$(x^{3} y + 8 y) d x + (y + 1) d y = 0$

解题步骤 1

求 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 在 $M (x, y) = x^{3} y + 8 y$ 的值。

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解题步骤 1.1

将 $M$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{3} y + 8 y]$

解题步骤 1.2

根据加法法则， $x^{3} y + 8 y$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [x^{3} y] + \frac{d}{d y} [8 y]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{3} y] + \frac{d}{d y} [8 y]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d y} [x^{3} y]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $x^{3}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $x^{3} y$ 对 $y$ 的导数是 $x^{3} \frac{d}{d y} [y]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = x^{3} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [8 y]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = x^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [8 y]$

解题步骤 1.3.3

将 $x^{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = x^{3} + \frac{d}{d y} [8 y]$

解题步骤 1.4

计算 $\frac{d}{d y} [8 y]$ 。

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解题步骤 1.4.1

因为 $8$ 对于 $y$ 是常数，所以 $8 y$ 对 $y$ 的导数是 $8 \frac{d}{d y} [y]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = x^{3} + 8 \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = x^{3} + 8 \cdot 1$

解题步骤 1.4.3

将 $8$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = x^{3} + 8$

解题步骤 2

求 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 在 $N (x, y) = y + 1$ 的值。

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解题步骤 2.1

将 $N$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y + 1]$

解题步骤 2.2

根据加法法则， $y + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.3

因为 $y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $y$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 0$

解题步骤 2.5

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

解题步骤 3

判断 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 。

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解题步骤 3.1

将 $x^{3} + 8$ 代入 $\frac{\partial M}{\partial y}$ ，将 $0$ 代入 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$x^{3} + 8 = 0$

解题步骤 3.2

因为左边不等于右边，所以该方程不是恒等式。

$x^{3} + 8 = 0$ 不是恒等式。

解题步骤 4

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 。

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解题步骤 4.1

代入 $0$ 替换 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$\frac{0 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

解题步骤 4.2

代入 $x^{3} + 8$ 替换 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 。

$\frac{0 - (x^{3} + 8)}{M}$

解题步骤 4.3

代入 $x^{3} y + 8 y$ 替换 $M$ 。

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解题步骤 4.3.1

代入 $x^{3} y + 8 y$ 替换 $M$ 。

$\frac{0 - (x^{3} + 8)}{x^{3} y + 8 y}$

解题步骤 4.3.2

化简分子。

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解题步骤 4.3.2.1

运用分配律。

$\frac{0 - x^{3} - 1 \cdot 8}{x^{3} y + 8 y}$

解题步骤 4.3.2.2

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$\frac{0 - x^{3} - 8}{x^{3} y + 8 y}$

解题步骤 4.3.2.3

从 $0$ 中减去 $- (- x^{3} - 8)$ 。

$\frac{- x^{3} - 8}{x^{3} y + 8 y}$

解题步骤 4.3.2.4

以因式分解的形式重写 $- x^{3} - 8$ 。

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解题步骤 4.3.2.4.1

将 $- x^{3}$ 重写为 ${(- x)}^{3}$ 。

$\frac{{(- x)}^{3} - 8}{x^{3} y + 8 y}$

解题步骤 4.3.2.4.2

将 $8$ 重写为 $2^{3}$ 。

$\frac{{(- x)}^{3} - 2^{3}}{x^{3} y + 8 y}$

解题步骤 4.3.2.4.3

因为两项都是完全立方数，所以使用立方差公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = - x$ 和 $b = 2$ 。

$\frac{(- x - 2) ({(- x)}^{2} - x \cdot 2 + 2^{2})}{x^{3} y + 8 y}$

解题步骤 4.3.2.4.4

化简。

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解题步骤 4.3.2.4.4.1

对 $- x$ 运用乘积法则。

$\frac{(- x - 2) ({(- 1)}^{2} x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2})}{x^{3} y + 8 y}$

解题步骤 4.3.2.4.4.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{(- x - 2) (1 x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2})}{x^{3} y + 8 y}$

解题步骤 4.3.2.4.4.3

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(- x - 2) (x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2})}{x^{3} y + 8 y}$

解题步骤 4.3.2.4.4.4

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{(- x - 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2})}{x^{3} y + 8 y}$

解题步骤 4.3.2.4.4.5

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{(- x - 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{x^{3} y + 8 y}$

解题步骤 4.3.3

化简分母。

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解题步骤 4.3.3.1

从 $x^{3} y + 8 y$ 中分解出因数 $y$ 。

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解题步骤 4.3.3.1.1

从 $x^{3} y$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{(- x - 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{y x^{3} + 8 y}$

解题步骤 4.3.3.1.2

从 $8 y$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{(- x - 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{y x^{3} + y \cdot 8}$

解题步骤 4.3.3.1.3

从 $y x^{3} + y \cdot 8$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{(- x - 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{y (x^{3} + 8)}$

解题步骤 4.3.3.2

将 $8$ 重写为 $2^{3}$ 。

$\frac{(- x - 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{y (x^{3} + 2^{3})}$

解题步骤 4.3.3.3

因为两项都是完全立方数，所以使用立方和公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 2$ 。

$\frac{(- x - 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{y ((x + 2) (x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2}))}$

解题步骤 4.3.3.4

化简。

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解题步骤 4.3.3.4.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{(- x - 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{y ((x + 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2}))}$

解题步骤 4.3.3.4.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{(- x - 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{y ((x + 2) (x^{2} - 2 x + 4))}$

$\frac{(- x - 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{y (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}$

解题步骤 4.3.4

约去 $x^{2} - 2 x + 4$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.4.1

约去公因数。

$\frac{(- x - 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{y (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}$

解题步骤 4.3.4.2

重写表达式。

$\frac{- x - 2}{y (x + 2)}$

解题步骤 4.3.5

约去 $- x - 2$ 和 $x + 2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.5.1

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x) - 2}{y (x + 2)}$

解题步骤 4.3.5.2

将 $- 2$ 重写为 $- 1 (2)$ 。

$\frac{- (x) - 1 (2)}{y (x + 2)}$

解题步骤 4.3.5.3

从 $- (x) - 1 (2)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x + 2)}{y (x + 2)}$

解题步骤 4.3.5.4

将 $- (x + 2)$ 重写为 $- 1 (x + 2)$ 。

$\frac{- 1 (x + 2)}{y (x + 2)}$

解题步骤 4.3.5.5

约去公因数。

$\frac{- 1 (x + 2)}{y (x + 2)}$

解题步骤 4.3.5.6

重写表达式。

$\frac{- 1}{y}$

解题步骤 4.3.6

代入 $x^{3} y + 8 y$ 替换 $M$ 。

$- \frac{1}{y}$

解题步骤 4.4

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 。

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{y} d y}$

解题步骤 5

计算积分 $e^{\int - \frac{1}{y} d y}$ 。

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解题步骤 5.1

由于 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{y} d y}$

解题步骤 5.2

$\frac{1}{y}$ 对 $y$ 的积分为 $\ln (| y |)$ 。

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| y |) + C)}$

解题步骤 5.3

化简。

$μ (x, y) = e^{- \ln (| y |)} + C$

解题步骤 5.4

化简每一项。

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解题步骤 5.4.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- \ln (| y |)$ 。

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 1})} + C$

解题步骤 5.4.2

指数函数和对数函数互为反函数。

$μ (x, y) = {| y |}^{- 1} + C$

解题步骤 5.4.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$μ (x, y) = \frac{1}{| y |} + C$

解题步骤 6

在 $(x^{3} y + 8 y) d x + (y + 1) d y = 0$ 的两边同时乘以积分因数 $\frac{1}{y}$ 。

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解题步骤 6.1

将 $x^{3} y + 8 y$ 乘以 $\frac{1}{y}$ 。

$(x^{3} y + 8 y) \frac{1}{y} d x + (y + 1) d y = 0$

解题步骤 6.2

将 $x^{3} y + 8 y$ 乘以 $\frac{1}{y}$ 。

$\frac{x^{3} y + 8 y}{y} d x + (y + 1) d y = 0$

解题步骤 6.3

化简分子。

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解题步骤 6.3.1

从 $x^{3} y + 8 y$ 中分解出因数 $y$ 。

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解题步骤 6.3.1.1

从 $x^{3} y$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{y x^{3} + 8 y}{y} d x + (y + 1) d y = 0$

解题步骤 6.3.1.2

从 $8 y$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{y x^{3} + y \cdot 8}{y} d x + (y + 1) d y = 0$

解题步骤 6.3.1.3

从 $y x^{3} + y \cdot 8$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{y (x^{3} + 8)}{y} d x + (y + 1) d y = 0$

解题步骤 6.3.2

将 $8$ 重写为 $2^{3}$ 。

$\frac{y (x^{3} + 2^{3})}{y} d x + (y + 1) d y = 0$

解题步骤 6.3.3

因为两项都是完全立方数，所以使用立方和公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 2$ 。

$\frac{y ((x + 2) (x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2}))}{y} d x + (y + 1) d y = 0$

解题步骤 6.3.4

化简。

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解题步骤 6.3.4.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{y ((x + 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2}))}{y} d x + (y + 1) d y = 0$

解题步骤 6.3.4.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{y ((x + 2) (x^{2} - 2 x + 4))}{y} d x + (y + 1) d y = 0$

$\frac{y (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{y} d x + (y + 1) d y = 0$

解题步骤 6.4

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 6.4.1

约去公因数。

$\frac{y (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{y} d x + (y + 1) d y = 0$

解题步骤 6.4.2

用 $(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)$ 除以 $1$ 。

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) d x + (y + 1) d y = 0$

解题步骤 6.5

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)$ 。

$(x \cdot x^{2} + x (- 2 x) + x \cdot 4 + 2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 4) d x + (y + 1) d y = 0$

解题步骤 6.6

化简每一项。

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解题步骤 6.6.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 6.6.1.1

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 6.6.1.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$(x^{1} x^{2} + x (- 2 x) + x \cdot 4 + 2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 4) d x + (y + 1) d y = 0$

解题步骤 6.6.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(x^{1 + 2} + x (- 2 x) + x \cdot 4 + 2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 4) d x + (y + 1) d y = 0$

解题步骤 6.6.1.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$(x^{3} + x (- 2 x) + x \cdot 4 + 2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 4) d x + (y + 1) d y = 0$

解题步骤 6.6.2

使用乘法的交换性质重写。

$(x^{3} - 2 x \cdot x + x \cdot 4 + 2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 4) d x + (y + 1) d y = 0$

解题步骤 6.6.3

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 6.6.3.1

移动 $x$ 。

$(x^{3} - 2 (x \cdot x) + x \cdot 4 + 2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 4) d x + (y + 1) d y = 0$

解题步骤 6.6.3.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$(x^{3} - 2 x^{2} + x \cdot 4 + 2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 4) d x + (y + 1) d y = 0$

解题步骤 6.6.4

将 $4$ 移到 $x$ 的左侧。

$(x^{3} - 2 x^{2} + 4 \cdot x + 2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 4) d x + (y + 1) d y = 0$

解题步骤 6.6.5

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$(x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + 2 x^{2} - 4 x + 2 \cdot 4) d x + (y + 1) d y = 0$

解题步骤 6.6.6

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$(x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + 2 x^{2} - 4 x + 8) d x + (y + 1) d y = 0$

解题步骤 6.7

合并 $x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + 2 x^{2} - 4 x + 8$ 中相反的项。

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解题步骤 6.7.1

将 $- 2 x^{2}$ 和 $2 x^{2}$ 相加。

$(x^{3} + 4 x + 0 - 4 x + 8) d x + (y + 1) d y = 0$

解题步骤 6.7.2

将 $x^{3} + 4 x$ 和 $0$ 相加。

$(x^{3} + 4 x - 4 x + 8) d x + (y + 1) d y = 0$

解题步骤 6.7.3

从 $4 x$ 中减去 $4 x$ 。

$(x^{3} + 0 + 8) d x + (y + 1) d y = 0$

解题步骤 6.7.4

将 $x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$(x^{3} + 8) d x + (y + 1) d y = 0$

解题步骤 6.8

将 $y + 1$ 乘以 $\frac{1}{y}$ 。

$(x^{3} + 8) d x + (y + 1) \frac{1}{y} d y = 0$

解题步骤 6.9

将 $y + 1$ 乘以 $\frac{1}{y}$ 。

$(x^{3} + 8) d x + \frac{y + 1}{y} d y = 0$

解题步骤 7

使 $f (x, y)$ 等于 $M (x, y)$ 的积分。

$f (x, y) = \int x^{3} + 8 d x$

解题步骤 8

对 $M (x, y) = x^{3} + 8$ 积分以求 $f (x, y)$ 。

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解题步骤 8.1

将单个积分拆分为多个积分。

$f (x, y) = \int x^{3} d x + \int 8 d x$

解题步骤 8.2

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$f (x, y) = \frac{1}{4} x^{4} + C + \int 8 d x$

解题步骤 8.3

应用常数不变法则。

$f (x, y) = \frac{1}{4} x^{4} + C + 8 x + C$

解题步骤 8.4

化简。

$f (x, y) = \frac{1}{4} x^{4} + 8 x + C$

解题步骤 9

由于 $g (y)$ 的积分将包含一个积分常数，可以用 $g (y)$ 替换 $C$ 。

$f (x, y) = \frac{1}{4} x^{4} + 8 x + g (y)$

解题步骤 10

设置 $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ 。

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{y + 1}{y}$

解题步骤 11

求 $\frac{\partial f}{\partial y}$ 。

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解题步骤 11.1

将 $f$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{4} x^{4} + 8 x + g (y)] = \frac{y + 1}{y}$

解题步骤 11.2

根据加法法则， $\frac{1}{4} x^{4} + 8 x + g (y)$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d y} [8 x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ 。

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d y} [8 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y + 1}{y}$

解题步骤 11.3

因为 $\frac{1}{4} x^{4}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $\frac{1}{4} x^{4}$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d y} [8 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y + 1}{y}$

解题步骤 11.4

因为 $8 x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $8 x$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$0 + 0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y + 1}{y}$

解题步骤 11.5

使用函数法则进行微分，即 $g (y)$ 的导数为 $\frac{d g}{d y}$ 。

$0 + 0 + \frac{d g}{d y} = \frac{y + 1}{y}$

解题步骤 11.6

合并项。

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解题步骤 11.6.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0 + \frac{d g}{d y} = \frac{y + 1}{y}$

解题步骤 11.6.2

将 $0$ 和 $\frac{d g}{d y}$ 相加。

$\frac{d g}{d y} = \frac{y + 1}{y}$

解题步骤 12

求 $\frac{y + 1}{y}$ 的不定积分，以求出 $g (y)$ 。

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解题步骤 12.1

对 $\frac{d g}{d y} = \frac{y + 1}{y}$ 的两边积分。

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{y + 1}{y} d y$

解题步骤 12.2

计算 $\int \frac{d g}{d y} d y$ 。

$g (y) = \int \frac{y + 1}{y} d y$

解题步骤 12.3

将分数分解成多个分数。

$g (y) = \int \frac{y}{y} + \frac{1}{y} d y$

解题步骤 12.4

将单个积分拆分为多个积分。

$g (y) = \int \frac{y}{y} d y + \int \frac{1}{y} d y$

解题步骤 12.5

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 12.5.1

约去公因数。

$g (y) = \int \frac{y}{y} d y + \int \frac{1}{y} d y$

解题步骤 12.5.2

重写表达式。

$g (y) = \int d y + \int \frac{1}{y} d y$

解题步骤 12.6

应用常数不变法则。

$g (y) = y + C + \int \frac{1}{y} d y$

解题步骤 12.7

$\frac{1}{y}$ 对 $y$ 的积分为 $\ln (| y |)$ 。

$g (y) = y + C + \ln (| y |) + C$

解题步骤 12.8

化简。

$g (y) = y + \ln (| y |) + C$

解题步骤 13

在 $f (x, y) = \frac{1}{4} x^{4} + 8 x + g (y)$ 中代入 $g (y)$ 。

$f (x, y) = \frac{1}{4} x^{4} + 8 x + y + \ln (| y |) + C$

解题步骤 14

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $x^{4}$ 。

$f (x, y) = \frac{x^{4}}{4} + 8 x + y + \ln (| y |) + C$

微积分学 示例

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